Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Если сравнить только что разобранное разрывное обтекание пластинки с непрерывным (55), имеющим комптексный потенциал у (л) = 1о ггз' — с-", то можно заключить, что симметричное относительно обеих асей координат непрерывное обтекание с бесконечными скоростями на острых краях плартннки (рис. 82 б) должно давать сопротивление, равное нулю, и распределений $41) плоское дниженис с от1ывом стткй 267 давлений, рсзко отличающееся от экспериментального. Простое сравнение картин обтекания (рис. 82 а и б) со схемой действительного обтекания (рнс.
82 а) показывает, что применение теории разрывного потенциала дает более правильную форму течения, чем теория непрерывного потенциала. Следует подчеркнуть, что разрывные картины обтекания с хииелгатичсской стороны ближе подходят к опыту, чем с динамической. Общий вид лпний тока и распределение скоростей зне .мертвой зоны" обычно полу~аются весьма схожими с реальным обтеканием, силовые кге характеристики, зависящие от структуры потока з мертвой зоне и наличия сил трспия, получаются, как правило, резко заниженными. Подтвердим это закшочснне ещс одвим характерным примером, Рассмотрим функцию Р(у) =е т = а (ч+~й) =е' ч(соз ф — (з(пф), сохраняющую дсйствнтельиос значение при ф = О и ф = г.
и пмсющую чисто мппмос значение при ф =— Составляя вновь осиовнос дифференциальное уравнение (68) г(з дх . ду,, — зь дч ду — = — +1 — = с ч (соэ ф — )кйп ф) + )' а ' (соз 2ф — 1 зш 2ф), г будем пясть для линни тока ф = — : 2 ' д. д — =О, — = -е ч-) ) е зч+1; дч ' ду э~о — линия х = сопзг, которую выбором положения осей координат мо'кно припять за ось Оу(х = 0). Вдоль втой линии скорость не остается постоянной: при ч = — оз скорость равна нулю, при у = + со†единице; следовательно, линяя тока ф = -л — не .свободная .
Линии тока ф = О соответствует дифференциальное уравнение — +г — =е ч+ е "— 1. дх, ду дч ду Если з †.О, то подкоренное выражение не отрицательно и уравнеиис (73) приводится к системе двух уравнений: — =е в+3~а зч — 1, д, ду — = О. ду Интегрируя, найдем: *к- — ° — ' — Ь' " — ' — «а Г " — ' у= сопз1 =О, где и неопределенная константа интегрирования, а линия тока у = сопз1 выбрана за ось х.
Определим, какая часть Ох совпадает с рассматриваемым участком линии тока ф = О. для этого заметим, что: при Ч = — со, х = — со' при я=О, х= — а — 1 268 плоское ввзвивнввои движвниг. жидкости (гл. ч Это означает, что отрезок линии тока ф =О, соответствующий у~О, представляется отрицательной стороной В'В оси Ох (рис. 83 а), причем пока можно только утверждать, что — (а+1) ч. О, так яак в противном случае я линна тока ф = О пересеклась бы с линией тока ф = — . 2' Ю !т Рис. 83. При ~= О уравнение (73) дает систеиу дифференциальных уравнений сеободнои струи: дх — ду у" — з дч ' дч Интегрируя и определяя константы из условия непрерывного перехода предыдущего участка линии тока в свободную линию, найдем; х= — а — е 'г, у= 1 — е ет+ — !ой 2 1( 1 — е ет Кривая ВК' выходит нз точки В [в=О, х = — (а-(-1)) по касательной к оси Ох н опускается вниз, стремясь при ч =-+со к аснмптоте х= — а, прнчеи по условию непересекаемости линий тока а) О.
Аналогично ведет себя н свободная линия тока ф= я, являющаяся зеркальным отображением линни ф = О в оси Оу (рис. 83 а). $42) пгямья задача тзогии плоского движвни» 2йй чтобы найти положительн)чо постоянную а, заметим, что расход через полное сечение струн, по определению функции тока [формула [28), $27), будЕт раВЕН тл С дРУГОй СТОРОНЫ, Прн УдаЛЕНИИ От ВЫХОДНОГО ОтВЕретИя в сечениях струи асимптотически устанавливается однородный поток со скоростью, равной единице; отсюда следует я я=— 2 Полученная картина течения представляет, таким образом, вытекание жидкости из безграничного горизонтального резервуара сквозь отверстие АВ ширины 2 (а + 1) = 2 ~ — + 1) .
Как видно из рисунка, струя при выходе яз ~2 отверстия сжимается, причем коэффициент сжатия струн равен 2[а+1) я-1-2 = — = 0,611. Эта цифра с большой точностью совпадает с действительно наблюдаемым значением коэффициента сжатия при плоских истечениях водяной струн в воз- дух. На рис. 83 б приведена для сравнения другая теоретическая картина вытекания жидкости, рассчитанная при помощи непрерывного комплексного потенциала„который легко получить из [57), если поменять местами ливии тока и изопотенциальиые линии; для этого, как известно, достаточно заме- нить у на 1т, Будем иметь для отверстия с полушнриной, равной единице, Х = 1агс з1п г.
Линиями тока являются гиперболы, причем в точках отверстия А и В, в отличие от разрывного вытекаиия, скорости обращаются в бесконечность а давление — в отрицательную бесконечность, что физически невозможно. 11ри одном взгляде на обе картины течения сразу видно преимущество разрывного течения, почти точно отражающего действятельную картину истечения. $42.
Прямая задача в теории плоского движения идеальной несжимаемой жидкости. Применение метода конформных отображений. Гипотеза Чаплыгина о безотрывном обтекании задней кромки профиля. Формула циркуляции В предыдущих параграфах рассматривалась простейшая задача плоского движения. По заданному комплексному потенциалу определялась форма линий тока, часть которых принималась за контуры обтекаемых тел, часть — за обыкновенные жидкие линии тока и, наконец, в случае разрывных обтеканий некоторые линии тока играли особую роль „свободных' линий тока, сорвавшихся с острых кромок обтекаемых тел.
Такая задача определения формы обтекаемого тела по ззданному комплексному потенциалу течения могла бы быть названа »обратной" задачей. Гораздо большее значение имеет прижал задача разыскания плоского обтекания тел заданной формы. Для решения этой основной задачи существуют два пути: 1) непосредственное решение уравнений Лапласа, которым удовлетворяют потенциал скоростей н функция тока, 270 плоское явзвихлевов движение жидкости (гл. 1~ или заменяьощнх зти уравнения интегральных уравнения и 2) применение методов конформных отображений. Второй метод, как практически наиболее простой, получил в последнее время широкое распространение. Основная идея метода заключается в следующем.
Желая определить обтекание тела заданной, подчас очень сложной формы в физической плоскости комплексного переменного г, производят конформное отображение течения на вспомогательную плоскость комплексного переменного ь при помощи некоторой аналитической функции =У(С), (74) причем предполагается, что преобразованное течение в плоскости ь проще, чем в плоскости с, и комплексный его потенциал Хп(1) уже известен. Искомый комплексный потенциал у (г) течения в физической плоскости в находится как результат исключения вспомогательного переменного ь из системы равенств: у=у У~))=х" (~), = У(~) (75) причем в некоторых случаях это исключение не представляет труда и приводит к равенству у. =Х(г) в других случаях оказывается проще пользоваться параметрическим определением у(г) при помощи системы аь Еипапееи ппьфипь (75).
В последнем случае сопряженная скорость Р определится в результате исключения ч из системы равенств: — ~х Ф, в"- 'х*'(~1 ипиь (76) 2 = й (' ). Наконец, в некоторых особо слож- 9 Нсеи ьпыи Спиппъспьпй паппьпь ных случаях приходится для упрощения решетки прибегать к нескольким вспомогательным плоскостям. г1пееиппььй аппьиеиый ппптпьь Остановимся подробнее на наиболее у й важной для дальнейшего задаче внешнего обтекания замкнутого гладкого контура с одной или двумя угловыми точками.
Такого типа контуры (рис. 84) используются как профили винта а я крыла б самолета, лопаток рабочих колес в, г и направляющих аппаратов турбомашин и др. Набегающий поток зададим вектором скорости на бесконечности. т прыппппи ппптипь Ряс. 84 $42) ИРИИАИ зАЛАИА теОРии плоского движения 271 В этом конкретновг случае будем предполагать, что аналитическая функция (74) дает конформное отображение внешней по отношению к контуру С (рис. 85) части плоскости з, включая и,бесконечно удаленную точку" з = со, на внешнюю, по отношению к контуру Сь круга радиуса а, часть плоскости с, также со включением точки ь = Оо.
для того чтобы такое отображение было взаимно-однозначным, необходимо, как известно, потребовать, чтобы бесконечно удаленная точка с вслльаглмсльлав ллвжвссь шлю чсслал ллжлвслм Рис. 85. з = ОО переходила в бесконечно удаленную точку ь =- Оо и чтобы в этой точке сохранялось направление некоторой прямой, например, направление скорости на бесконечности гс ; при г -+ ОО, з — + со, аги Г = агд Г . Замечая, что по первому равенству (7б) где под комплексной величиной си здесь и в дальнейшем будем понимать коэффициент конформного преобразования си = — „, Гс(С), заключим, что условие 0 = агд ~с = 9 =агд К эквивалентно требованию, чтобы коэффициент конформного преобразования в бесконечно удаленной точке т, был действисилльной и Сголожитвзвной вЕличиной си =7' (ОО) ) О, и, следовательно, ~ 1с (=Си.
° ~ ГС 'Р Си =~ Р '272 плоское Везвихгевое движеииВ жидкости !Ел* р Комплексный потенциал обтекания кругл в плоскости ч известен и будет равен, по (46) и (48): Х* (С) =- 1l С + Ь' — + — 1и С = = „(1„~+1г„— „)+~.Ы, (77) Х=ХВ(.)= ~1«+1 "— „')+„— „.1ВС,1 (78) з =У(~). Докажем, что циркуляция скорости Г по любому аамкнутому контуру С, (на рис. 85 показанному пунктиром), один раз опоясывающему крыловой контур С, будет равна наложенной на обтекание круга в плоскости ч циркуляции Г~.
Для этого заметим, что по определению циркуляции и по (78) можно написать (д. ч. †симв действительной части): г = ~ р ш ч- чч -7 э = г ЛХ* г =д . ~ — Г;=д . буи=ге. 'галс Эта общая для обеих плоскостей постоянная Г является характерной для данного течения з двусвязной области и может (см. $35) рассматриваться как „циклическая постоянная" двусвязной области плоскости е вне контура С.
При конформном отображении этой двусзязиой области на плоскость ч циклическая постоянная сохраняет свое значение. Из системы равенств (78) следует, что задача об обтекании профиля С потоком заданной по величине и направлению скорости на бесконечности имеет бесчисленное множество решений, зависящих от выбора величины циркуляции Г. С точки зрения математической теории идеальной жидкости такой произвол отвечает сущности вопроса Как уже было показано раньше для случая обтекания окружности> налагая ту или другую циркуляцию, можно получить бесчисленное множество форм обтекания кругового цилиндра с различным расположением критических точек (типичные обтекания показаны на рис.
68). Точно так же для одного и того же крылового профиля с угловой где Г* — произвольная, наложенная на круговой цилиндр циркуляция; одну из постоянных (коэффициент преобразования т или радиус круга а) можно задавать совершенно произвольно, например, полагать равной единице. Таким образом, решение задачи внешнего обтекания контура С свелось к исключению параметра ч нз системы уравнений: пеямья зьдьчь теоеии плоского движения 273 гочкой на задней кромке н при той же по величине и направлении скорости на бесконечности теоретически возможны три указанные на рис. 86 типа обтекания, В случае а, так же как и в случае в, жидкость должна перетекать с одной стороны поверхности крыла на другую; с верхней на нижнюю в случае в и с нижней на верхнюю в случае а.
При этом на острой кромке должны образовываться либо бесконечно большие скорости, что приводит к физичес)ги невозможным бесконечно большим отрицательным давлениям, либо происходить срывы потока с поверхности профиля и внхреобразования. Среди трех указанных возможных форм обтекания только одна форма „б" приводит к плавному стекинию струй жидкости с задней острой ю кромки крыла с конечной скорое>пью в этой угловои точке В. Естественно, встают вопросы: осуществляется ли такая форма обтекания в действительности, А устойчива лн она и сохраняется ли при б) достаточно широком диапазоне углов атаки. На эти важные вопросы впервые в конце 1909 г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
