Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 46
Текст из файла (страница 46)
65). Остальные линии тока легко получить, задавая различные значения кепс!лат в уравнении г ае 1! — —,, ~!у=- сопв1. х- + у~ ~ плоское вгзвихгевов движение жидкости [гл. вг Полная картина движения состоит из двух областей — вне и внутри круга. Первую область можно рассматривать как обтекание круглого цилиндра радиуса а плоскопараллельным потоком, имеющим на беско. нечности скорость вг; этот поток имеет комплексный потенциал у= И (а+ — ) ~л~==.а.
(44) Вторая область представляет картину течения, образуемого находящимся в начале координат диполем с моментом га внУтРи круга радиуса а; этому потоку соответствует комплексный потенциал мав( + аз) ~а~==а. Остановимся несколько подробнее на первом потоке, Найдем распределение скоростей. Имеем, по предыдущему: По этой формуле можно найти сопряженную скорость У, а следовательно, и комплексный вектор скорости И в любой точке потока Рнс.
65. с комплексной координатой а. Определим, например, распределение скоростей по контуру обтекаемого цилиндра. Для этого положим (6 †уг между радиусом контура цилиндра и осью Ох) я=аев 241 ь' 391 пвгкканив кРуГАОГО пнлнндРл н будем иметь по предыдущей формуле: (Г)1я1=аа — — !Я (1 — е-вь)= Ь'„е-ача(егь — е-'ь) = 2!Р' е-'ьа1п О, откуда определим модуль скорости на контуре круга ~ )'! = 2 1' з! и О. (45) Из этой формулы следует, что при плоском безвихревом обте- кании круглого цилиндра идеальной жидкостью скорости на его поверхности распределяются по аакону синуса. В точках А и В раз- ветвления потока 0=я и 0=0 скорость обращается в нуль.
Точки потока, где скорость движения обращается в нуль, называют крити- ческизьи точками потока. При направлении движения, указанном нз рис. 65, точка А называется „передней" критической точкой, точка  — „задней". Скорость на поверхности цилиндра принимает свое максимальное значение при 0 = ': — в точках С и !! миделевого сечения цн- 2 линдра; это максизгальное значение скорости равно ~ 1Я) ах = 2У, т. е.
удвоенной скорости набегающего нотона (скорости на беско- не ~ности). Иногда приходится иметь дело с обтеканием цилиндра плоско- параллельным потоком, скорость которого !я направлена под неко- торым углом 0 к оси Ок. Заметим, что в этом более общем случае комплексный потенциал обтекания будет иметь внл: ая у = 1г г+ 1г (46) где 1Г, являетса уже не действительной величиной, а комплексным векгором, равным 1Г =( 1Г (еа а. Выражение комплексного потенциала (46) легко получить ич Равенства (44), если ввести в рассмотрение дополнитеатьную плоскосг' г', действительная ось которой наклонена к действительной Осн плоскости г под углом 0 . Тогда в плоскости г' скорость на бесконечности будет представляться действительной величиной ~ 1г и по (44) получим: у (~') = ! Р'-1' +! 11одставляя сюда выражение г' через т — и г =ге л' кзькем правильность формулы (46): у(г)=~ Ь' ~1е г+~ Ь' 1е — = 1Я„г+ 1Г 1П Зая, аен, Л Г, Лоеааяяаяаа.
242 плоское везвихРВВОВ ЕВижение жидкости Обратимся теперь к рассмотрению соответствующего формуле (45) распределении давлений по контуру цилиндра. Для этого вспомним, что при безвихревом движении несжимаемой жидкости давление р связано с величиной скорости ! У~ формулой Бернулли Я 36, равенство (12')К ь' 12 Р+ = СОП51. 2 Константу определим из условия на бесконечности (возврзщаемсв к обозначению ~ У~ = У) р + — = сопз1, тогда буден иметь, вводя безразмерный коэффициент давлении р: Р Р, 2 р — — 1 ' ) — 1 4Е1пз0. ~ $'сч.) (47) Из формулы (47) следует, что распределение по контуру цилиндра безразмерного коэффициента давления р пе зависит ни от размеров цилиндра, ни от величины скорости н давления на бесконечности.
Вот почему так удобно пользоваться этим коэффициентом прн изу~ении давления потока на поверхности обтекаемого жидкостью цилиндра. В дальнейшем будет показано, как эти свойстяа коэффициента лавления распрострапяюгся и на тела других форм. Вернемся к формуле (47) и условимся угол 0 отсчитывать от передней критической точки А против часовой стрелки. Тогда график теоретического распределения р, согласно (47), представится нижней кривой па рис. 66.
В лобоеоп критической точке А (О = 0) имеем р = 1; разлгерное давление р в этой точке равно полному напору набегающего потока, т. е. сумме давления р и скоростного напора 1 з в — рУ набегаюпгего потока. При 0= - — т. е. в миделевой пло- 2 2" скости, коэффициент р приобретает максимальное по абсолютной величине отрицательное значение ры = — 3. В этих точках на поверхности цилиндра наблюдается максимальное разрелсение. Давление здесь меньше чем р (например, атмосферное при продувке цилиндра в аэродинамической трубе с открытой рабочей частью) на три скоростных напора. На участке п12=-0- . и теоретическая кривая повторяет кривую для 0 ~ 0~я/2.
Эксперименгпально замеренное распределение давления не подтверзкдает эту теоретическую кривую. В зависимости от некоторых условий, о которых булет идти речь в конце курса, на опыте получаются две разных формы кривых распределения давления (! и 7! на рис. 66), но даже и более близкая к теоретической кривая ! й 301 овтекьние кгтглого цилиндвл все же находится в резком расхождении с теориеИ. Г!ричнной этого расхождения служит отсутствие в действительности безотрывного плавного обтекания цилиндра, подобного теоретическому обтеканию, показанному на рис. 65.
На самом деле цилиндр представляет собо|о плохо обтекаемое тело. Набегающий поток, разветвившись в передней критической точке А (рис. 66), омывает поверхность цилиндра лишь до точек ЯЯ, находящихся примерно на 6='."..84', т. е. до миделевои плоскости в в случае кривой давлении У и на 6 = 120'-- Р О -70 -3,0 0' 30' 00' 50' 1И' !50' И0' ч Рнс. 66. в случае П, после чего ноток отрывается, уступая место жидкости, подсасываюшейся из кормовой области. Н в том и в другом случае получаются картины обтекания, далекие от безотрывного обтекания всей поверхности от передней А до задней В критических точек, предписываемого теорией безвихревого движения идеальной жидкости, Как будет показано в дальнейшем, образовавшийся из-за наличия внутреннего трения в жидкости пограничный слоИ не выдерживает резкого восстановления давления при 6 ) 90', отрывается и искажает всю картину обтекания.
Об этом подробно будет рассказано в главе о движении вязкой жидкости. Бьшо бы, однако, неправильно сделать отсюда вывод, что теория безвнхревого движения идеальной жидкости вообще не может применяться для описания действительных обтеканий. На рнс. 67 при~елены кривые распределения давления по поверхности двух „хорошо обтекаемых" симметричных профилей Жуковского. Один профиль имеет относительную толщину — = 15%, другой — .== 40%. Как Ь плосков ввзвихтввов движения жидкости [гл.
в Р,О ' О О, Р О, Ь О, О Е'ис. 67 показывают кривые, в этих случаях теория дает прекрасное совпадение с опытом. Более или менее значительное расхождение наблюдается только у толстого сорокапроцентного профиля, да и то главным образом вблизи кормовой области, где пограничный слой не удержи. вается на поверхности профиля и отрывается. Можно утверждать, что теорети1сский расчет распределения давления вполне удовлетворительно совпадает с опьипом для хорото обтекаемых тел и тем более расходится с опытом, чем толще пограничный слой, чем ближе обтекание подходит к отрывному.
С этой оговоркой и следует воспринимать все последующие теоретические расчеты распределения скоростей или давлений по 0 .р* ж 1. ЮЪ Заметим, что теоретиче, 1ГВ = 10.~, 1 СКОЕ Распределение давлений по цилиндру не дает результирующей силы; это прямо следует из симметрии обтекания относительно двух -1О взаимно перпендикулярных осей: оси потока н перпендикулярной к ней оси (ри) сунок 65).
На самом деле, ОО '10 в действительном обтекаге нии, как это следует из кривых У и П ~рис. 66), главный вектор сил давлений будет отличен от нуля и направлен по оси течения в сторону движения набегающей жидкости. Эта равнодействующая нормальных сил, сложенная еще с равнодействующей касательных сил трения жидкости о поверхность цилиндра, даст полную силу сопротивления. Теоретическое безотрывное обтекание силы сопротивления не дает и, как в дальнейшем будет показано, принципиально дать не может.
Перейдем к рассмотрению несколько более сложного потока, Возьмем только гго изученное теоретическое обтекание круглого цилиндра и наложим на него круговой циркуляционный поток вокруг вихря (42), причем сам вихрь поместим в центр контура цилиндра Такое обтекание в отличие от предыдущего, „бесциркуляционного', будем называть лиркулялионным обтеканием цилиндра. Подобный поток будет наблюдаться в действительности, если обтекаемый цилиндр вращать вокруг оси; тогда окружающая цилиьщр жидкость, увлекаемая внутренним трением, придет в круговое, циркуляционное движение, которое сложится с бесциркуляционным обтеканием цилиндра и даст картину, напоминающую рассматриваемое теоретическое обтека" ние; основное отличие между теоретическим и действительным обтеканием произойдет из-за отрыва жидкости от поверхности, а также за счет возникновения поперечных, перпендикулярных к плоскости 4 Зй) овтсклиие кгшлого цилиндпл Х(в)= 1' (л+ — )+ — 1пл, (48) ч го при Г ) 0 соответствует ваправлению циркуляциоииого движения по часовой стрелке.
Определим сопряженную скорость — ВХ l аг, 1 1т 'г'= — = Ъ' 1 — — '-1-— Лв "''1 ег( ~ эг,а С4й) и найдем положение критических точек, решая уравнение или, что то же, квадратиое уравнение + — в — аз= О. Гг 2я Ъ', Корни его будут: я= — — - ф' ая— Гг 4в 1~~, 1бчг Р~ В зависимости от величины циркуляции возможны три типа обтекания: 1". Циркуляция достаточно велика, а именно Г)4яаУ .
В этом случае под знаком радикала будет стоять отрицательная величина, и можно написать Оба корня квадратного уравнения мнимы, причем модуль одного больше радиуса цилиццра, другого — меньше; действительно, корень имеет модуль у гт г — 4„1 1б..'-'р' 4'" ю теоретического течения вторичных потоков, сопровожданпцих в действительности циркуляционное течение. Комплексный потенциал циркуляциониого обтекания цилиндра калишем в виде 646 плоское везвихгввов движение жидкости [гл, чг второй корень ~4а 1/, имеет модуль Г Г Гз 4 Ъ', 1бчаыа Гз 4г1' 1бч" 1I'- меньший чем выражение, которое получим справа, если заменим в знаменателе Г4п$' па меньшую величину а, т. е.
ае ~г ~( — =а. Первый корень г, дает критическую точку А 1'рис. 68а), лежащую на огрнцательной стороне мнимой оси вне цилиндра, второй— критическую точку В, лежащую на той же оси внутри цилиндра. 2'. Предельный случай Г = 4пар' дает двойной корень Г г, =ге= — — = — а; 4пР в этом случае обе критические точки А и В попадают в одну, расположенную на контуре цилиндра в точке пересечения контура с мнимой осью (рве.
68б). 3'. Наконец, в случае малой циркуляции 1' 4па 1г комплексные корни Ге Г иэ 1бпе $"- 4в 1Г имеют общую ординату — мнимую часть: à — — ) — а 4ч ~' и отличающиеся знаками абсциссы: Ге — п( ~-1 ая — — Са, 1бв~ Ра также по модулю меньшие а. Положение критических точек А и В показано на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
