Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Иначе еще теорему Кельвина можно трактовать с вариационной точки зрения как утверждение о минимальности кинетической энергии при безвихревом движении (на „прямом пути' ) по сравнению с любым другим вихревым движением („ окольным путем" ), если только эти движения совпадают па границе области движения. Из теоремы Кельвина можно сделать следующее заключение: если на границе одиосвязной области скорости равны нулю, то единственным возможным безвихревым движением несжимаемой жидкости внутри области ягьтяется покой. Действительно, всегда можно представить себе произвольное (вихревоей сколь угодно медленное движение, при котором иа границах скорости равны нулю; кинетическая энергия такого вихревого движения будет как угодно мала, а кинетическая энергия соответствующего по теореме Кельвина безвихревого движения, будучи положительной величиной, меньшей другой сколь угодно малой величины, должна быть тождественно равна нулю во всей области.
К тому же результату можно придти и непосредственно, пе пользуясь теоремой Кельвииа. Для этого выведем общую формулу для кинетической энергии односвязного объема несжимаемой жидкости, движущейся безвихревым образом с однозначным потенциалом скоростей. Имеем 222 плоское ввзвихкввое движание жидкости [гл. зг $37. Плоское безвихревое движение несжимаемой жидкости. Потенциал скоростей и функция тока. Применение функций комплексного переменного.
Комплексный потенциал и сопряженная скорость Изучение безвихревых движений начнем с простейшего класса такого рода движений — плоского стационарного движения несжимаемой жидкости, Определение плоского движения в гидродинамике ничем не отличается от соответствующего определения кинематики твердого тела. При плоском движении все частицы жидкости получают перемещения, параллельные некоторой плоскости, которую примем за плоскость хОу. Поскольку во всех параллельных плоскостях движения тождественны, будем рассматривать лишь движение в плоскости хОу, подразумевая, конечно, что на самом деле разговор идет о движении слоя жидкости, бесконечной в направлении, перпендикулярном к плоскости течения, толщины. Каждая линия я таком плоском движении, проведенная в плоскости хОу, является на самом деле направляющей цилиндрической поверхности с образующими, перпендикулярными к плоскости хОу.
Контур обтекаемого тела представится некоторой линией в плоскости, хотя на самом деле происходит обтекание цилиндрического тела и т. д. Все величины расходов жидкости, сил, приложенных к обтекаемым телам, и др. будем относить к единице длины в направлении перпендикуляра к плоскости хОу, т. е. в направлении оси О». Как уже упоминалось в предыдущем параграфе, в рассматриваемом случае задача сводится прежде всего к решению уравнения Лапласа, которое для плоского случая имеет вид: 7 а= — + — =О.
дзт, дтч — дхт ) дуа— (22) Граничные условия в задаче обтекания тела плоским, однородным на бесконечности потоком со скоростью Ч будут состоять из условия нелронииаемоети границ тела: Ч' = — О на контуре тела С да ди (23) Невозмогкиость существования безвихревого движения с однозначным потенциалом в одиосвязиой области, иа границе которой скорости равны нулю, производит иа первый взгляд парадоксальное впечатление. В дальнейшем станет ясно, что такого рода движения в идеальной жидкости образуются и происходят зв счет создания внутри объема некоторых „особенностей" вихрей, нарушающих однозначность потенциала скоростей, источников, стоков или липолей, приводящих к нарушению конечности значений потенциала в точках внутри области течения и др. Вместе с тем отсюда вытекает и важность рассмотрения безвихревых потоков с,особеиностями" для приближения к действительно существующим движениям.
223 плоског. везвикьсяое движение и условий на бесконечносл~и и= д = ч сояйж, о= д = Ъ~зп!0~, (24) где ΄— угол между вектором скорости Ч и осью Ох. Такого рода задача представляет классическую задачу Неймана, и решению ее посвящены многочисленные математические исследовапшь В настоящем курсе удовольствуемся изложением одного, наиболее мощного метода решения этой задачи —.иелаода теории функций комплексного переменного. Из уравнения неразрывности ди до д!ч Ч = — + — =--.
О дх+ ду (25) дф ду ' дх' (26) действительно, подстановка этих величин в уравнение (25) превращает его в тождество. Функция ф(х, у) имеет простой гивродинамический смысл. В самом деле, напишем дифференциальное уравнение линий тока (формула (34) гл. 1( и поле ьаяим в пего зла ~ения проекций скорости по (26), тогда будем имеил йх йу д~,'ду — д ь,~дх нли — ах+ — 'йу .= йф = О. д, дф дх дч Из последнего равенства следует, ~го функция ф сохраняет лосльоянное значение вдоль линий тока, иными словами> семейство л"нлй уровня функции (27) ф(х,у).=-С "Редставляет совокупность линий тока. Функция ф(х,у) в связи с э им называется функцией тока.
Нроведем в плоскости течения контур МоМ1 (рис. 54) и вычислим секундный объемный расход ь2 (отнесенный, конечно, к единице длины направлении, перпендикулярном к плоскости течения) через это вытекает, что всегда можно найти функцию ф(х,у), тождественно удовлетворяющую уравнению (25) и связанную с проекциями скоросты и и и Равенствами: плоског вазвих1 азов движения жидкости (гл.
ть сечение; будем иметь (п. „и„— направля|ощне косинусы нормали н к элементу де): Г 1г ье= Г(ип +опе)ье= Г(и йз. и,„+о:,з * пч) = ьй = ~ (игу — одх), ге или по (26): Р/дФ . дФ ° Ц ьу + ьх) ~ ЗФ = Ф(М1) Ф (Мо) = Ф1 — Фь. .! ~ду дх Ж, (28) Следовательно, разносить значений функлии тока в двух каких- нибудь точках потока равна секундному обьемному расходу сквозь сечение трубки тока, ограниченной линиями тока, проходящими через выбранные точки. Напомним, что в плоском движении часть плоскости, ограниченная двумя линиями тока, например, проходящими через точки М„н Мь Рнс.
54. на рис. 54, представляет на самом деле трубку тока, образованнуго двумя цилиндрическими поверхностями тока, имеющими в качестве направляющих линии тока в плоскости хОу, а образующих — перпендикуляры к этой плоскости, и двумя плоскостями, параллельными координатной плоскости хОу и отстоящими друг от друга на расстоянии, равном единице длины.
225 плоское вззвихззвоз движзнив Условимся в дальнейшем совершенно произвольно одну какую- нибудь линию тока рассматривать как нулевую, полагая 6(х, у) == О, и выражения (26) тех же проекций через функцию тока ); будем иметь следующую систему соотношений: дт дф и=— дх ду' дт др .:=') ду дх' ) (ЗО) Функции о и 6 не являются независимыми друг от друга функци»ми, они связаны дифференциальными соотношениями (30), обычно называемыми условиялги Коши — Рамаяна, при выполнении которых комплексная величина у р+ г'ф = о (х, у) + еь (х, у) (з1) будет не просто функцией двух переменных (координат х, у), а функцией одной комплексной переменной л = х+ ~у. Лействительно, если величина у есть функция только положения точки М с координатой х, то производная от нее в втой точке в свою очередь должна быть функцией только положения точки, т.
е. координаты л, и не зависеть ош направления дифференцирования в плоскости. Иными словами, можно, например, утверждать равенство производной по любому направлению — производным по направлениям действительной и мни- дХ ал мой осей: ах ах де ах а ОУ) (52) За»ела», что: ах д(я+ЬР) дт, . дт +г — ~ ах дх дх дх ' д(з+гр) д' — — Б — у а Оу) = ду = дУ дУ ' 15 з»к. нкь л.
г. л»в»»»и»»ь чго можно всегдз сделать, так как, согласно системе равенств (26), функция тока определяется с точностью до аддитивной постоянной. ~если принять такое условие, то можно сказать, что значение константы в (27) на некоторой линии тока равно секундному объемному расходу жидкости сквозь сечение трубки тока, образованной этой линией тока н выбранной произвольно нулевой линией.
Сопоставим выражения проекций скорости через потенциал скоростей (5) предыдущего параграфа, которые в случае плоского движения сводятся к системе двух равенств дч дх' ду' (29) 226 (гл. ч плоское ввзвихгввоя движение жидкости и приравнивая„согласно равенству (32), друг другу правые часгн этих равенств, получим те же выражения условий Коши — Риманна (30). Отсюда сразу следует, что, отделяя в любой функции комплексного аргумента у(з) действительную (д. ч.) и мнимую (м. ч.) части, получим потенциал скоростей ф (х, у) и функцию тока ф (х, у) некоторого плоского безвихревого движения: сь(х,у) =д. ч.
2(е), ф(х,у)=м. ч. 7(е). Приравнивая функцию ф(х,у) различным постоянным значениям ф(х,у) = С, получим семейство изопотенциальных линий (следов пересечения плоскости хОу цилиндрическими изопотенциальными поверхностями); аналогично совокупность равенств ф(х,у) = С', согласно (27), представит семейство линий тока. Легко убедиться, что изопотенциальные линии и линии псона взаимно оргпогональны, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
