Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 44
Текст из файла (страница 44)
е. пересекаются под прямым углом. Для этого достаточно вычислить скалярное произведение между ортами и и и' нормалей к рассматриваемым линиям в любой точке потока: ягай т агась ф ~дгайт~ )дгайф~ ' Вычнслгся скалярное произведение грздиентов и применяя соотношения Коши — Рнманпа (30), получим: Кгай ф ° афтаб ф = — ° -"+ — ° — ' = — ( — — (+ ~- — ' гыс О, дт д4 дт дф дт / дтт дт де дх дх ду ду дх с, ду,) ду дх что и доказывает взаимную ортогональность нзопотенциальных линий и линий тока. Совокупность равенстш ф = сь (х, у), ф = ф (х, у) можно рассматривать как формулы перехода от декартовых координат х, у некоторой точки к криволинейным ее координатам ф и ф.
При этом изопотенцпальные линии ф = С и линии тока ф = С' представят ортогональную сетку координатных линий, т. е. криволинейные координаты ф и ф, полученные путем отделения действительной и мнимой частей в некоторой функции комплексного переменного, будут всегда ортогональныыи координатами. установление взаимной связи между двумя, на первый взгляд разнородными вопросами — плоским безвнхревым движением и ортогональными криволинейными координатами на плоскости — окажется в дальнейшем полезным. 227 плоскоз везвихгввов дпигкенив Рис. 55 если предположить, что вектор А перпендикулярен плоскости движения. В самом деле, при А = А, = О, А, =- ' Маем иметь в полном согласии с формулой (26): дА, и =— ду дА о= —— де дАе др (34) дАе Ю= —— дх В теории магнетизма напряженность магнитного поля можно определять как градиент скалярного потенциала или как вихрь векторного потенциала; так и в гидродинамике плоского движения поле скоростей может быть определено заданием либо скалярного потенциала в, либо проекцией на ось г векторного потенциала А.
Пользуясь представлением о векторном потенРа пиале, легко дать простой и непосредственный вывод формулы расхода (28). ассмотрим секундный объемный расход жидкости О сквозь сечение потока е (Рнс. 55), образованное некоторой поверхностью, опирающейся на контур М гМ,М,М, составленный из двух одинаковых контуров М М и М М, рас"оложеииых в параллельных плоскостях, и из отрезков перпендикуляров МоМ 15* Коли вместо функции у(л) рассмотреть функцию г;((з), го в новом движении потенциал скоростей поыеняется местами с функцией тока, з изопотеициальиые линии — с линиями тока; этны приемом часто приходится пользоваться при построении обтеканий.
Отсюда следует, что функция тока т(х, у) всегда играет сопряженную роль с функцией о (х, у) потенциала скоростей: каждая из этих 7 функций может быть как функцией тока, так и потенциалом скоростей в двух сопряженных между собою Ь безиихревых плоских е движениях идеальной жидкости. Заметим, что функ- ъ ~е=(а цию тока (~ (х, у) в пло- е скоп движении можно г рассматривать как прося- а цию на перпендикулярную к плоскости двнжс- и иия ось Ое векторного ломенциала А, связанного с вектором скорости 1) равенством г ге т7= гот А, (33) 223 плосков ввзвихггвов дни>кениг.
жидкости (гл. тг и М>М> к плоскости лОу, равных по длине едппнпе. Ьудем чисть по (38) и формуле Стокса: Я= ) рвйо= ~ гой>Ай>= — ~А ° с>г, где контурный интеграл берется по замкнутому контуру М М М М . Заметив, что криволинейные интегралы по отрезкам контура МоМ, и М,Мо, по определению плоского движения, взаимно сократятся и что по той же причине вдоль всего отрезка М М будет А,= ф, а вдоль отрезка М М, соответственно, А = ф,, получим по (35) прн П = 1: ~1 Ме лг, мо Я= ~ А ог(- ) А аг= ~ ф>аг ~ фоал — ф> фм Ж, зг' ж, о т.
е. ту же самую формулу (28). О своеобразной аналогии между магнитными н гндродннамнческнмн явлениями будет сказано в гл. Ч11 в связи с решением задачи о поле скоростей вокруг вихрей, где понятие векторного потенциала будет иметь особо существенное значение. Функцию у(е), объединяющую, согласно (31), в один комплекс оба „потенциала": скалярный — потенциал скоростей и проекцию векторного — функцию тока, называют комплексным потенциплом или характеристической функцией течения. Покажем как, зная комплексный потенциал у (л), определить вектор скорости Ч или его проекции и и чь Как известно, каждому комплексному числу можно сопоставить н плоскости вектор с проекциями, соответственно равными действительной и мнимой частям этого комплексного числа.
Условимся при изложении плоского дни>кения обозна ягь через 1> комплексную скорость Г=- и+>и, а для величины скорости сохраним обычное обозначение модуля ком- плексного чис..а: ~ У~ =-)- У'па+по. Наряду с комплексной скоростью 1г, введем в рассмотрение Сопряженную скорость Р, равную Р= и — 1п, Если 3 — угол, образованный вектором (комплексной скорост>по У с действительной осью, то будем иметь: Ъ' — и+ 1п= ~ 'т~(соя О+1з)пй) = ~ 1г(е", (36) ь> =и — Ы=~ )г1(соя 3 — 1з)пй) =~ Ь'')е — ". ) поппошуив шоствйшнх но:шй твчвния 229 й 38! л'у 1еассмоурньу геперь производную — комплексного погегщиала по комплексному аргументу.
По основному свойству функции комплексной » ре. «ой — — — (т + УФ) дт др = — + У вЂ”. сУе дх дх дх дх ' о~куда, согласно (30), сразу следует: — =и — Уо= Р=) 111е — ™, (37) г, е. производния от комплексного потенциала (харатперигтической функции) по комгглексной координате равна сопрязюснной скорости. 1!роекдии скорости и и и определятся, с соответс.геенно, как действительная и с обратным знаком мнимая части производной от характеристической функции по комплексной координате и= — д. ч. —, о= и.
ч - (33) дх дг ' Сопряженная скорость имеет ту же величину (модуль), что и комплексная скорость, Рис. 56. но направлена по зеркальному отображению комплексной скорости относительно действительной оси (рис. 56), Обратная величина 1 1 1 (39) ай 1г и — у'о имеет обратный модуль, но направлена так же, как и комплексная скорость. Совокупность комплексных координат частиц жидкости х образует область течения жидкости в плоскости хОу, которую в связи с этим называют физической плоскостью или плоскоппью течения. Совокупность значений комплексной скорости Ъ' образует плоскость годографа скорости или просто плоскость годографа; в этой плоскости расположатся годографы скорости, т.
е. геометрические места проведенных из начала О (рис. 56) концов векторов скорости частиц жидкости. й 38. Построение полей течения по заданной характеристической функции. Простейшие плоские потоки и их наложение Будем задаваться некоторыми простейшими выражениями для ком „ очплексного потенциала и посмотрим, каким плоским безвихревым д"ижениям такое зздание будет соответствовать.
1е . Линейная функция у(е) =ах+ д, где а и д — комплексныс постоянные, причем, как уже ранее упоминалось, аддитивнвя пост остоянная 5 без ущерба для дела может быть просто опущена, плоскОе Бсзвихиевов движение жидкости 1гл, т Составлги~ сопряженную скорость Р =- —;; = а =- сои з1 = ио — гоо = — ~ Я асов йо — г з1 и йо), видим, что комплексная константа представляет одинакову~о ио вели- ~иггс и направлению во исси потоке соиряжеииук1 скорость.
Олина- ковои будсг и комплекпгав скорость 1 Ьо гго+-го — — ( 1го(е Следоватслыю, линейная функция оирелегаег комплексный потенциал однородиоги потока со скоростью ! Ь'о~, наклоненного к действительной оси физической плоскости Ч иод углом йо= а (рис. 57): у=(ао 'оо) г=! 17о!г =-) 17о~(сиза — Хз1иа)г. (40) Отделги~ действительную и мнимую части, найдем потенциал скоростей 9 = аох+ иоу = = ~ 1го(хсоза+у гйи л) и функцию тока Ф = оох+ аоу = =- ~ $го[( — хьбиа+усова). Рис. 57.
В частных случаях а = О и а = — получим: 2 ' ири а=О о= — ~ Ъ'1х, ф=11" 1У, иРи = 2 Р=!~о1У Ф= ! о1х. Это будут потенциалы скоростей и функции тока однородных потоков, направленных вдоль осей х и у. 2'. Степенная функция у(г)=аг" (и — действительная величина). Заметим, что в этом случае сопряженная скорость Р= — =- паг"-' — дт дг будет стремиться к бесконечности при г-+ со, если и ) 1, и к нулю при п (1; случай и=1 уже рассмотрен в 1'. Введем полярные координаты, положив постгоапня и осюй<ннх п<шгй тяпы<ив й 381 тоглш у (з) = — а<и (соя ле -,' й я и гш), <1(г, е) = аг" созна, ф(г, е):=.
агияп ггз. ,||пи<<<< тока оулут <йрелстаз:Иться ссмейстзоз! < и яп <и .=: СС | |<<нагая злесь е=-О, с =. '. — = а, нилин, п <то при этом С'=- О, т. е. роль нулевой зинин тока играет совокупность лучей„ выхоляйцих из начала координат. Областью течения являются части плоскости, заключенные в углах и= —. и' Рассмотрим простейшие случаи. При и=1, 2, 3 но гоки булут иметь вил, изображенный на ряс. 58.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
