Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Литература в этой области весьма обширна и разнообразна. ГЛАВА Ч БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ. ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ф 35. Сохранение циркуляции скорости в потоке идеальной жидкости. Теорема Кельвииа и Лагранжа. Безвихревое движение. Потенциал скоростей Рассмотрев в предыдущей главе одномерное движение в идеальной жидкости, перейдем теперь к следующим в порядке сложности классам двигкений — двух- и трехмерным. Таковы, прежде всего, плоское движение жидкости, затем осесимметричное и, наконец, общее пространственное движение.
Исследование этих случаев представляет, по сравнению с одномерным потоком, большие математические трудности. Чтобы сделать решение возможным для интересующих практику конкретных задач, необходимо принять некоторые дополнительные упрощающие допущения об общем характере движения. В обосновании выбора этих допущений оснояную роль играют следующие две общие теоремы динамики идеальной жидкости. Теорема Кельвнна о сохранении циркуляции скоРости: при бароьпропном движении идеального газа под дгйспгвием потенциального поля обьемных сил циркуляция, скорости по любому за кинутому жидкому контуру сохраняет свое значение. Эта теорема легко доказывается при помощи изложенной в конце в 1З кннеиатнческой теоремы Кельвина об изменении во времени циркуляции сьоростл.
Согласно этой теореме, индивидуальная производная по времени от циркуляции скорое>пи равна циркуляции ускорении: — „~(Ч ° йг) = ~ (Ч ° 3г). Подставим в правую часть выражение ускорения по основному уравнению Эйлера (5) гл. П1, которое в случае потенциальных объемных . ь'х сил и баротропности движения может быть переписано в виде Ч = — йтад (П + У)1 тогда получим д Г ~гад (П+ м) . " = 1аь плоское пвзвихгввов движения яшдкости (гл. и — 01 (Ч ° йг) = 0 т .> (Ч ьг) = сопз1, и„ следовательно, что и доказывает теорему Кельвина.
Вспоминая, что циркуляция скорости по замкнутому контуру равна суммарной интенсивности вихревых трубок, опоясанных этим контуром, можем на основании теоремы Кельвина заключить, что при принятых оговорках о баротропности движения и потенциальности обьемных сил сохранив>пел н интенсивноппи вихревых трубок; (го1 Ч)„йе = сопз1. ы Предположим теперь, что в данный момент времени во всех точках некоторого жидкого объема отсутствует взвихренность (го1 Ч = О), т. е. жидкость в этом объеме движется без вращения, совершая лишь поступательное и деформационное движение; тогда, согласно (1), и в любой другой момент времени ~ (го1Ч)пйо=О. (2) В силу произвольности выбора величины и ориентации поверхности а из равенства (2) вытекает, что в любой момент времени в рассматриваемом движущемся объеме жидкости или газа будет выполняться условие отсутствия завихренности го1Ч = О.
Это чрезвычайно важное следствие теоремы Кельвииа приводит ко второй теореме — теореме Лагранжа о сохранении безвихревого дяиж ения: если во всех точках некоторой баротропно движуиьейсп под дейапвием обьемных сил с однозначным потенциала.к идеальной жидкотпи вихрь скорости в данный момент равен нулю, то и в любой другой момент движение будет безвихревым. Предположим, например, что твердое тело совершает движение сквозь неподвижную идеальную жидкую или газообразную среду. так как скалярное произведение градиента от некоторой функции на ориентированный в пространстве элемент дуги кривой есть не что иное как полный дифференциал этой функции, взятый вдоль дуги кривой.
При однозначности функций П и аг контурный интеграл по за. минутому контуру от полного дифференциала равен пулю, так что % 351 СОХРАНЕНИЕ ЦИРКУЛЯЦИИ. ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТЕЙ 213 или, что все равно, среда обтекает неподвижное тело, причем в том н другом случае вдалеке от тела поток не возмущен и поле скоростей однородно (жидкость покоится или движется как одно целое со скоростью, Равной скорости движения тела по отношению к неподвижной среде). При этом вдалеке от тела вихрь скорости равен нулю и, следовательно, по теореме Лагранжа, при баротропности движения и потенциальности объемных сил не завихренные частицы идеальной жидкости не могут приобрести завихренность в процессе обтекания тела.
Несмотря на наличие возмущающего поток тела, движение повсюду будет безвихревым. Из теоРемы ЛагРанжа следует, что в идеальной жидкости, нахо. дящейся под действием объемных сил с однозначным потенциалом и движущейся баротропно, не может быть вихрей, так как нет условий для их образования. Можно сказать и наоборот, что, если вихри путем нарушения ранее перечисленных условий были созданы в идеальной жидкости, то они уже не смогут исчезнуть, и движение сохранит свою вихревую структуру.
В действительности приходится постоянно наблюдать как образование, так и исчезновение вихревых движений. Главной причиной этих явлений служит неидеальность жидкости, наличие в ней внутреннего трения. Как уже ранее упоминалось, в практически интересуюших нас случаях внутреннее трение играет роль лишь в тонком пограничном слое на поверхности обтекаемого тела и в „аэродинамическом следе' тела, т. е. в жидкости, которая прошла сквозь область пограничного слоя и образовала течение за кормой обтекаемого тела. Здесь, в тонком пограничном слое и образуетса завихрекность жидкосгпи. Иногда в следе за телом завихренность быстро угасает, и поток в достаточном удалении за телом становится вновь безвихревым.
В других случаях сошедший с поверхности тела слой завихренной жидкости распадается на отдельные вихри, которые сиосятся уходящим потоком и сохраняются даже на сравнительно больших расстояниях от тела. Таковы, например, отдельные вихри, наблюдаемые в виде воронок в реках за мостовыми „быками', или ~ыльные смерчи, возникающие в ветреную погоду, Внутреннее трение не является единственной причиной возникновения вихрей. Так, в свободной атмосфере вдалеке от твердых поверхностей возникают непо~редственно в воздухе грандиозные вихри в циклоны и антициклоны.
Ричиной этих вихреобразований служит отклонение движения воздуха "' баротропности: плотность воздушных слоев зависит не только от давления, но и от температуры, определяемой солнечной радиацией, от ко.тичества водяных паров и других причин. Несмотря на наличие всех этих факторов, нарушающих существован анне безвихревого движения, схема безвихревого движения во многих па, Рактических случаях дает близкую к действительности картину. Эта схе обо хе"а и положена в основу настоящей главы. Итак, сделаем допущение огпсутствии завихрвнности потока и обратимся к рассмотренна осн слезных свойств безвихревого потока. 214 плосков ввзвихгввое движвнив жидкости (гл. чг В силу равенства (3) во всей области безвихревого потока существует некоторая функция координат о(х, у, е) — при стационарном движении или функция координат и времени о (х, у, е; Г) — при не стационарном движении — такая, что (4) 7 = ягас1 сч нли в проекциях на оси прямоугольной декартовой системы коор.
динат: я (5) Ф ункцию е назовем потенциалом скоростей и будем предполагать, что опа непрерывна вместе со своими первыми двумя производными по времени и координатам. Потенциал скоростей или, как иногда говорят, потенциал скоростного поля, так же как и потенциал силового поля, определяется с точностью до аддитивной постоянной, как это видно из равенств (4) или (5). Равным значениям потенпиала скоростей в различных точках пространства соответствуют поверхности уровня потенциала или изопотенциольные поверхности. Уравнение семейства изопотенциальных поверхностей будет (х, у, е; г) = соп51, причем время 1 рассматривается как параметр в случае нестационарного движения и отсутствует †п стационарном движении.
Из опреРис. 51. деления потенциала скоростей (4) следует, что линии, нормальные к изопотенциальным поверхностям скоростного поля, являются линиями гока и, обратно, при выполнении условия (4) линиям тока соответствуют нормал ные поверхности — изопо пенциольные поверхности- Имея заданным потенпиальпое скоростное поле, легко найти его потенциал, проинтегрировав уравнения в полных дифференциалах (4) или (5). В самом деле, рассмотрим в данный момент времени в односвязной области' течения кривую линию С (рис. 51), выходящую ив точки Яо и окан иваюшуюся в некоторой точке М. Умножив скалярно 0 влиянии ,.связности" обчеств будет сказано в конце настоящего параграфа, 216 плоског. везвихгевое движвнив жидкости (гл, тг н, согласно (7), потенциал в точке М после обхода вихревой трубки окажется равным л (Мэ) + ~' Выйдя из точки Мв и взяв за контур интегрирования петлеобразную кривую (не показанную на рисунке), несколько раз опоясывающую вихревую трубку, вернемся в точку Мз со значением потенпиала, отличающимся от первоначального на величину, кратную интенсивности Р: Таким образом, если в области безвихревого движения жидкости имеется отдельная вихревая трубка, то потенциал скоростей, выраженный через скорости по формуле (7), определяется, как многозначная функция точек поля.
Значение потенциала скоростей в точке М будет зависеть от формы кривой, вдоль которой производится интегрирование: р(М,)+ ~'Ч й~~ р(М,)+ ~Ч йю Жг лгл го,') (и') К вопросу о многозначности потенциала в безвихревом движении с изолированными трубками можно подойти н иначе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
