Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Следует заметить, что даже при скорости в 100 зг,'сек ошибка не превосходит 4о,.'о. Легко также видеть, что при малых значениях числа М формула (69) иереходнг в обычну1о формулу Бернулли (58) гл. П! для несжимаемого 9 321 Влияния ннтвнсивнопги склока ИА сжАтия ГАзл 187 (гл. гч одномерный поток идеальной жидкости 188 газа. Действи.тельно, разлагая при малых М правую часть (69) в ряд, получим: р = — р ~1+ — м + — — (' — — 1'(.
м +- ...1= Д в 1 Л ' Ф т (Л вЂ” 1Р о= 2 2 (г — 1(,/г — 1 ) 4 =р(1+ — м + — м + ...1, и е 2 8 '!' или, замечая еще, что по определению числа М и адиабатической скорости звука 1 в ия гт ай 1' ЯР я —;(г'=- — — = — —, = — и-, 2' 2 р 2 ат 2 получчм 1 4 + 2 ' При М =-0' буден иметь формулу (58) гл, Ш дл» несжимаемой жидкости: 1 р '- 2 р )гя =-1 е =-- со з(. Ошибка, которую при этом делают, иринин;и газ несжимаемым, 1 имеет порядок — МЯ, т. е. в два раза меньше ошибки в изменении 4 плотности. Так, применяя теорему Бернулли для несжимаемой жидкости в случае воздуха, двигкущегося при нормальных условиях со скоростью 100 к(сек, сделаем ошибку порядка 2о(е. Как известно, в капельных жидкостях скорость звука больше, чем в газах.
В воде, например, скорость звука достигает значения 1500 м'сек, т. е. почти в 5 раз превышает скорость звука в воздухе. Таким образом, воду можно рассматравать ьак несжимаемую жидкость при скоростях, доходящих до 500 м'сек; такие скорости на практике еше не наблюдаются. При переходе от сверхзвуковых скоростей (М, ) 1) к дозвуковым (Мя ч 1), как было ранее показано, газ проходит через скачок уплотнения. В этом случае величины рэ, ро и Те для заторможенного газа уже не могут вычисляться по указанным только что формулам (69), (70) и (66), так как процесс в целом не нзэнтропичен; расчет приходится вести иначе.
Следуя принятым ранее обозначениям, будем считать, что газ до скачка имел параметры р„ро Т„после скачка — р, рв, Тв( соответствующие значения параметров изэнтропически заторможенного газа до и после скачка обозначим через рш, о1о, Тнн рем рз, 'Гям Число М может равняться нулю в двух случаях: 1) когда скорость движения газа равна нулю и 2) когда скорость звука равна бесконечности, т, е. газ несжичаем; полагая М = О, подразумевают всегда второй случай, влияние интвнсивности скАчкА нь сжатие газа 189 Как было показано в 9 Зйл т„= т~, Рм Рм.
Рго Роо следовательно, по (68): Р1о Р1о Р1 (71) Рьо Р22 Р2 С другой стороны, из первых двух равенств системы (59) легко вывести следующие соотношения: (72) Р 2Ф 2 и — 1 М1 !г+1 и+ ! и — 1 1+ — М !ч 2 (73) р. и+1 2 — М' 2 Замечая, жо по формуле Клапейрона 72 Ро. Ро т,=Р, р, т 7'1 (74) — М и+1 2 Чтобы получить искомые отношения давлений и плотностей иаэнтропически заторможенного газа за и перед скачком уплотнения, остается подставить выражения (72) и (74) в равенство (71); тогда будем иметь: А+1 о — — à — и Роо Роо ! 2Ф 2 и — 11 1' — 1 2 Ры Ры '12+1 й+1~ 1 !+ !г — ! Мо ~ 1 !!а рис, 43 представлен график этого соотношения для воздуха (":=-1,4); на том же графике покааано сжатие воздуха в скачке рз/р1 при Разных М,. Как видно из графика, чем больше число М, набе'аюцего воздуха, гнем меньшее давление ложно получить за ечеьч разделим почленно обе части равенств (72) и (73) друг иа друга и получим: одночгвный по!ок идеальной жидкости )гл.
ш !!!О э иву (и 0,7 45 ,д 01 5 0 0 / Я 5 Ф 5 6 7 М Рис. 43. тельны, Легко исследовать поведение кривой на рис. 43 при малых значениях равности М! — 1. Преобразуем равенство 175) следующим образом: ры Згч 1 2й й — 1 20 г 1 дю Ыо и+1 е+! й+! 2 2 + — (М вЂ” 1) изэнтропичеекого торможения газа, прошедшего через екачоь: уплотнения. Причина этого явления была выяснена раньше — в скачке уплотнения имеет место необратимое превращение механической энергии в тепловую, вследствие чего полная механическая энергия, в заторможенном гаае сводящаяся к энергии давлений, становится меньше. Из кривой следует также, что потери давления в скачке малой интенсивности, т.
е. при числе Мн близком к единице, весьма неаначи- чк 32) влоишиг. нпти~сивпости скачко нл сжо гик глох 1й! Произведя разложение по степеням малой величины (М, — 1), убедимся, что коэффициенты при М,"— 1 и (М,— 1) обращаются в пуль, а разложение зе.чичины — "' будет иметь вид: Роо Рю 2Л (М,'-1)о Р1о (л -1- !)о 3 (75') Из последнего разложения видно, что скачки малой интенсивности пе приводят к заметной потере давлений, так как при М„ близколо к единице, рво совпадет с рго с точностью до очень малой величины 2л (̄— 1)о ()г+ 1)о 3 Так, для воздуха ()о =- 1,4) эта величина имеет порядок 0,16 (М, — !)" и, например, при превыгцении скорости звука на 10" „(М, = 1,1) будет равна 0,0015, Можно показать, по такова же величина приращения в скачке уплотнения энпгроггии, являющейся мерой превращения механической энергии в тепло (потерь механической энергии).
С этой целью применим равенство (45) к параметрам изэнтропически заторможенного газа, что допустимо, так как изэнтропическое торно>кение не должно повлиять на приращение энтропии в скачке; тогда получим: шп по предыдущему, Р'о = — "', следовательно, по (76'): Роо Рю 3о — 6г ! 17 Роо'о 1 Роо . 2Л (Мг — 1) (76) тг = Л вЂ” ! '('.Р„! ! — Р,о = (Л+ По 3 — М А+! Д вЂ” 1 о 2 ' 1 2 " 2л о Д вЂ” ! — М Л+! г Л-~ 1 Отсюда следует важный общий вывод: скачки жилой инщенсивнослои приводят ь ничтоьсни.и азженгнаяж энт)ннгап, так что с достаточной степенью приблюкепия оьолоззукозыс явления можно росси;привать как изэптропичоские. Пз равенства !74) легко найти также соотношение между числами М, до и зо с~оао~ом унтоггоения )амотнв ~то уо н 7з связаны простыми соотношениилои (66) с темпеРатУРами Тщ и Тоо изэптРопи'оески заторможенного газа, причем, как было еще показано в 6 30, Р~о -- роо, получим." ОДНОЧГРНЫй ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ (гл.
ш откуда следует (77) Из последней формулы видно, как убывает число Мэ за скачком с возрастанием числа М, перед скачком. Чем больше интенсивность скачка, т. е. чем больше отношение сверхзвуковой скорости газа перед скачком к местной скорости звука, тем меньше отношение дозвуковой скорости за скачком к своей скорости звука. Но не следует думать, что дозвуковое значение числа Мя за скачком будет беспредельно убывать с ростом интенсивности скачка М,. Как показывает формула (77), прн беспредельном росте М, величина Мя остается больше ве.личины рр — 1 для воздуха (и=1,4) равной 0,378.
Приводим табл. 6 значений Ме н отношения давлений р lр, за и перед скачком в интервале наиболее употребительных значений чисел М, для воздуха. Таблица 6 ! рРр ' РР Р рРр А ) 7Рр/7Р! 2,1 , '0,561 4,970 22 , '054 54 0,668, 2,820 0,640 , 'З,ЮО 0,616 ~ 3,604 0,595 ~ 4,043 0,577 , '4,500 1,0 1,000 1,000 ',! 1,6 1,1 ', 0,912 ! 1,246 , '1,7 1,2 0,842, 1,520; 1,8 ! 1,3 0,779 1,824 1,9 1,4 0,739 ' 2,120 ~ 2,0 1,5, 0,701 ! 2,455 6, 80 2,3 ~ 0,534 ~ 6,000 2,4, 0,522 ~ 6,550 2,5 ( 0,512 7,400 Рассмотрим в качестве примера простейшую схему воздушно- реактивного двигателя (ВРД) без компрессора (рис. 44), установленного на самолете, который летит на высоте Н, со сверхзвуковой скоростью 1Р, ) а, (а, — скорость звука на высоте Н,). Обозначим давление воздуха на высоте Н, через р,; давление в камере горения (К.
Г.) рв будет значительно превышать давление ро так как в камере горения скорость сравнительно невелика. Пренебрегая этой скоростью, чожем считать р', =р,„. Для улучшения сгорания горючего и повышения к. и. д. двигателя важно иметь в камере горения, по возможности, более высокое давление. Подсчитаем это давление сначала в предположении изэнтропичности процесса входа внешнего воздуха внутрь ВРД 4 321 влияние интенсивносги скачка нл с>катив глзл 193 Ьудем иметь: г гг — 1 гй — г рю = !Нв.-- р, ( 1 .,'- — М 1 пли аля воздуха Рею = Р, (! - ~- 0, 2 М; 1к".
Если число М, полета равно М„= 2, то ~"' = 1,8ка ='- 7,9. Р~ На высоте Н, = — 10000 м по таблице международной станлартп1й,пчосфсры (МГА) находим р, —. 0,2606 агпа н, следовательно, ряо — '- 2.06 ата„ т. г.. посмотря па большую высоту и разреженность атмосферы, за счет скоростного напора пабегаюпгего воздуха в камере горения должно быгю бы наблюдаться сжатие воздуха —..-' К и лавРкч / / Р1 I лецие в 2 апгп. ! На самом леле торможение ! ! яоздуха от сверхзвуковой скорости 1г, при Н, = 10000, — ! " и'=а М,==2.
по МСА равной 1г,= т ЛЕ =600лбеек, или 2160нм!гас, до ~ю гги нулевой скорости в камере горения вызовет появление скачка уплотнения, показанного на рис. 44 жирным пунктиром. Этот скачок всегдз салигся впереди тупоносого тела, лвнжущегося со сверх- Рнс. 44, звуковой скоростью, и называется головной волной. участок головной волны перел входом в ВРЛ можно рассматривать приближенно как плоский скачок уплотнения в олномерпом течении и определять р з по заданному рщо при помоп1и графика рис. 43. давление в изэнтропически заторможенном 'азе рш определится опять по формуле рш = рг 11+ 0,2 М,)" = 7,9 р, ='= 2,06 ата, давление в камере горения при М, =- 2 будет по графику равно: !'яю = 0 75 р о=0,75.
2,06='1,55 ата, на 25% меньше, чем то давление ряз, которое установи.чось при изэнтропическом (бесскачковом) торможении. При меньших 13 зак. ниь л. г. лаакккккка 194 [гл. гя одномгзный поток идеальной жидкосги значениях числа М, (малых интенсивностях скачка) этот эффект был бы гораздо более слабым.
Например, при М, = 1,2, что на высоте Н,=10000 м соответствует по МСА скорости 360 м/сек, т. е. около 1300 км/час, по (75') разница между давлением изэнтропически заторможенного воздуха з камере горения н давлением воздуха, прошедшего сквозь скачок уплотнения малой интенсивности, не превзошла бы 1,5%. Наоборот, при полете с большими значениями числа М, вредное влияние скачка уплотнения сильно увеличивается. Как это следует р, йша Ряс. 45. а ни арама иоиеарг нз графика, при Ма = 3 давление в камере сгорания будет равно 35% от давления, соответствующего изэнтропическому, при М, =4 — уже только 15%, при М, = 5 — всего 5% и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
