Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Выберем за контрольную поверхность совокупность боковой поверхности цилиндрической трубы и двух равных между собою по площади ноРмальных сечений о, и ов (Рис. 41). ПовеРхность РазРыва пеРесекает только ту часть контрольной поверхности, где ~"„= О. В силу принятой одномерности движения будем считать, что в сечениях о, н оз поля скорости и других величин однородны. Закон сохранения массы, согласно (32) гл. Ш, дает после сокращения на о1 = ое: 176 одномерный поток и!!елльной жидкости (ГЛ.
1В и, наконец, закон сохранения энергии (37) гл. П! позволяет написать третье соотношение: 1"., (41) !1+ — = гз+ — ' 2 2 К системе уравнений (39), (40), (41) можно еще присоединить уравнение Клапейрона, вследствие которого, используя еще равенство (17) гл. !!1, можно написать: .Гс Р1 Л Р1 11 = ус Т! = — — = —— 1Р р, л-! Р1 и, аналогично, Рг ! =— Л 1 (42) р1 — ря=ряр.— Р11'1=Р111(!в 11) и умцожям обе ~асти этого равенства справа на выражение К +!'1 а слева на равную ему величину Ке 1 1 Кз 1, 1 — + — = — +== — -'-— Р1г1 Р1 Р1 Р1!'1 Р1 ' Р1 тогда получим г! 11 (р1 ра)(, + ! !г1 11 Р1 С другой стороны, из уравнения энергии (42) следует: ГР1 Р1' й — 1 1,Р1 р17 так что, приравнивая левые части двух последних равенств, найдем: после чего равенство (41) заменяется следующим: Р1 "1 а Ре + А — 1 р1 ' 2 Ф вЂ” 1 рз ' 2 Таким образом, составлена система трех уравнений: (39), (40) и (42) с трепа неизвестными величинами $'е, рз, ря.
Найдем сначала связь между давлениями и плотностями до и за скачком уплотнения, исключив из рассмотрения скорос.ги 1Р1 и К. 2(ля этого, согласно (39), перепишем уравнение изменения количеств движения (40) в виде 22! стоячая удлгная ВОлнА или скачок тплотнвния !77 !.Рушщруя в этом Равенстве шены с р, н рз, будем нметьл рг (Л+ !) Рч (Л !) Рг (Л+ !) Рг«Рг (Л !) Р, (Л+ !) Р, — (/г — !) Р, й+ ! — (Л вЂ” !) Рырг (43) :что важное соотношение, установленное впервые Гюгонио, определяет связь между давлением и плотностью в газе после прохожденья нм скачка уплотнения и давлением и плотностью до скачка.
Вспоминая связь между давлением и плотностью в непрерывном адиабатическом движении идеального газа, опре- )О деляемую изэнтропи- Ре)Р ческой адиабатой — ~ = ( — Р), (44) Рис. 42. видим, что уравнение Гюгонио (43) представляет адиабату, отличную ос изэнтропи ~еской; эту адиабату )О обычно называют ударной илн еще адиабавчой Гюгонио в отличие от изэнтропической адиабаты Пуассона (44). Полученный результат на первый взгляд противоречит доказанному в предыдущей главе положению об изэнтропичности адиабатического движения идеального газа. Не следует, однако, забывать, что, в отличие от рассмотренного ранее непрерывного вдоль трубки тока движения, в настоящем параграфе рассматривается разрывное движение с конечным скачком всех величин в некотором сечении трубки тока. ()тсюла следует только сделать естественное заключение, что прохозкдение идеального газа сквозь скачок уплопгненин не ивлиеьчси иззнсчропическим процессом, а сопровождаегпси переходом механи"'ской энергии в тепловую.
При этом должна возрастать отнесенная единице массы энтропия газа, в чем нетрудно убедиться, если вспомнить, что по формуле (26) гл. 1!1: ' '- ='~" (-")-"Я= — '"~"-' (-")'1 "" На Рис. 42 показаны для сравнении графики двух адиабат: изэнт Ропической и неизэнтропической, ударной адиабаты. Как видно из ' о"о гРафика, пРи Ря(Р, ) 1 УдаРнаЯ адиабата Располагаетсв выше 1гл, гч одиочепныи погое идилльиои жид«почи изэнтропической, откуда и следует, что выражение, стоящее в ква. дратной скобке под знаком логарифма в формуле (45), большг единицы, логарифм положителен, так что, действительно: ~в) ~1 Из формулы (45) сразу следует, что скачка разрежения быть ке может. Действительно, повторяя формально все предыдущие рассуждения относительно воображаемого скачка разрежения, можно было бы получить те же самые формулы и при Р, < ря, Рг < Ря при Ря(р, < 1 кривая, соответствующая ударной адиабате, ложится ниже изэнтропической адиабаты, так что в этом случае 8я < 5,; это означает, что при прохождении газом воображаемого „скачка разрежения" отнесенная к единице массы энтропия газа должна была бы уженьаагпьсл, что приводит к противоречию со вторым началом термодинамики.
Таким образом, и из общих термодинамических соображений следует, что в рассматриваемом случае движения совершенного газа „скачок разрежения" невозможен. При наличии в движущемся газе химических процессов (горение, детонация) последний вывод не имеет места. Заметим, что ударная адиабата имеет зсимптогч Л -)- 1 Гч Л вЂ” 1' 5 30. Критические величины в одномерном потоке газа. Связь между скоростями до и после скачка, Изменение давления, плотности и температуры в скачке уплотнения Введеы в рассмотрение важное для последующего понятие гсриюической скорости движения газа. Из уравнения сохранения энергии идеального газа (37) гл. 1П при стационарном адиабатическом его движении путем, аналогичным примененному при выводе равенства (4Я) из (41), получим: Р— — + — „=- сопз1, А — 1,' 2 (4б) г Например, в теплоизо«пров«ивом нпвиилре с поршнем.
так как при этом отношении плотностей огношенне давлений, Согласно (43), обращается в бесконечность. Отсюда следует, что, в отличие от обычного адиабатического и изэнтропического сжатия газа,' как бы ни была велика интенсивность ударной волны ря,'р„созданное а+1 ею уплотнение газа ря)р не может превзойти величины —.
Так, 1 Ф вЂ” 1 ' например, воздух, пройдя сквозь скачок уплотнения, не может повысить свою плотность более, чем в гаесть раз. измвнвнвв 1~, р, о, 7 в скечкв гатотнгпия 179 ,' ЗО) гни вспомнив определение адиабатической скорости звука (11); Ф р )гг аз )г — 1 гг 2 л — 1 2 — -)-.— = — + — = сопз1. (47) формула (47) дает непосредственное выражение местной скорости !вука в некотором сечении одномерного стационарного потока через гкорости частиц потока в этом сечении.
Критической скорослгью газа газывается такая его скорость а", при которой сггорость расаротлраненил звука ло отношению к движуи)ел!уел газу равна абсозгоглног скорости со.яого гготока. Полагая в равенстве (47) Ъ'=-а= а":, получим: а' 1'-' а*', аяг гг ~-! /г — 1+ 2 Л вЂ” 1 ! 2 2()г — 1) (48) )(ргггнческая скорое г ь аг представляет постоянную вдоль всего потока величину, характеризугощую данный одномерный поток в целом, и может быть легко выражена через скорость звука аз в адиабатигески и изэнтропически заторможенном газе. Для этого достаточно в (48) положить 1'= О, а =аз) то~да получив! / 2 ь+! ао (49) аэ = ')г й)7Т'". (5 0) Сравнивая это выражение с аналогичным выражением скорости звука в адиабгати~ ески и изэнтропически заторможенном газе ав = гг )гутТв и, прггггггьгая во внимание (49), получилг: ат 2 7м=-.
° à —,, = — "7,, о ггея "' -г ! 1!спггзьзуя уравнение адиабаты и формулу 1(лапейрона, нетрудно вгвтн и остальные критические величины: г; г г, г 2 г--г ре — - — (-Л вЂ”;) ' р,. ое = ~ — !) Рь (82) 1-опоставляя равенство (42) с формулами 147) и (48), приходим " "а'кному результату а ==о, г Значения давления, гглотносги и температуры в „критическом" сечении одномерного потока, т. е.
в таком сечении, где скорость Равна критическому своему значению, назовем также критическими и обозначим через р':., рэ н Т:. Из определения критической скорости следует ОаномеРный пОток идгьльной жидкОстИ !Тл. Тв 189 или по (49) Т, = 7', т т Рго Рго ' го= "го~ Рго Ргг Перепишем уравнение количеств движения (40) на основании (39) в виде У, — Уя =- — — —.
Рг Рг РгУ Рг~ г (53) Уравнения энергии (47) и (48), примененные до н после скачка, дают: а Рг а+! Л вЂ” 1 Р! 2(и — 1) 2 Р, а+1 к — 1 рг 21й — 1) 2 ' Определяя из последних двух уравнений отношения †, — н под- Р! Рг Р1 Рг ставляя их значения в уравнение (53), получим после простых пре- образований равенство: Ф + 1 — „(1,— У,)() — — )=О, ае откуда в силу неравенства У, ф Уг сразу следует: у, уг = аь'.
(54) Из уравнения неразрывности (39) и условия рг> р, вытекает, что скорость до скачка всегда больше, чем скорость после скачка (Уг > Уя). Равенство (54) уточняет этот результат и показывает, что 1', > а"", а Уг(а'", иными словамн, перед скачком уплотнения газ движется со скоростью больше критической, а за скачком — меньше критической. Можно доказать также, что перед скачком газ движется со сверхзвуковой скоростью, за скачком — с дозвуковой скоростью, т. е., что имеют место неравенства: (55) У, >ап Уг( аг, т. е. при прохождении газа сквозь скачокуплотнения критические значения скорости и температуры потока сохраняются.
Сохраняются при этом и отношения критических давлений и плотностей, но не критические давления и плотности, взятые в отдельности. Согласно (51) и (52), при прохождении газа сквозь скачок уплотнения сохраняется также температура адиабатически и иззнтропически заторможенного газа и отношение, заторможенных" давления и плотности: 6 30) изменение 1', р, Р, Т В скАчке уплОтнения 181 з ..2 2 2, а — 1 + ззз+ + аз 2 з а — 1„2 Г~ (а' = — аз+ — 92. = а+1 а+1 Разрешая эти неравенства относительно Ъ'12 и 1з„, докажем требуемые неравенства (55). Пользуясь составленными основными уравнениями скачка (39), (40) и (41), можно выразить изменения давления, плотности и температуры газа при прохождении его через скачок уплотнения АТ= Т,— Т, через начальные параметры газа и критическую скорость.
Имеем по (40) и (39): 2 АР =Ра — зз~ — — Рз )зз — Ре!' — — Рз Уз — Рз ~1 ~2, или, поль:зуззсь фо!змулой (54): зз ар 1 АР=Рз!' — Рз ' =-Р !' !! — — 2). (56) Аналогично найдем по (39) и (54): Р111 Р11'1 7 "1 ар = Є— Р = — р, = — р, = р, ! — — 1 ), (57) и по (41) н (54): 1,2 З 1з2 з'с (Т вЂ” Т) = — (1гз — 1з22) = — (! — — ), 2 2 Рз 1 1,2 24 ДТ= — '(! — ', ). 272р (58) Используя ранее принятые обозначения числа М: Ъ'з М,= —, аз 1зз Ма —— а2 заменим в только что выведенных формулах (56), (57) и (58) квадрат «рнтнческой скорости ара через его выражение (48); тогда после где а, и аз †местн скорости распространения звука в газе до и после скачка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
