Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Таково, например, движение газа по трубе, при котором вес газового столба, 2) Я ~, '1à — вихревые линии совпадают с линиями тока; при таком движении частицы в своем мгновенном вращении поворачиваются вокруг касательных к линиям тока. Такое движение называется винтовым. С винтовым движением приходитса иметь дело при рассмотрении так называемых свободных вихрей, сходящих с поверхности крыла конечного размаха. Рассмотрим частные случаи теоремы Бернулли, относящиеся к отдельным, простей1пим баротропическим процессам: 1) несжимаемому движению, 2) изотермическому движению и 3) адиабатическому, а следовательно, по предыдущему, и изэнтропическому движению. В случае движения несжимаемой жидкости (Р = сопз1) имеем по (9): 149 теоРема ьеРнулли Первый член, представляющий давление, иногда называют пьезомегприческим напором, второй — скоростньчм илн динамическим напором, сумиу их в полным напором.
В этом случае теорему Бернулли (58) формулируют так: при стационарном движении идеальной несжимаемой жидкости в отсугпствии обьемных сил полный напор, равный сумме скоростного и пьезометрического, сохраняет свою величину вдоль любой линии тока или вихревой линии. При изотермическом движении сжимаемого газа ( Т = сопз1, — = сопз1), функция давлений й' по (72) гл. П равна (индекс 0 Р означает некоторую произвольную точку изотермы): и = — 1и-. ре Ро Рь Пренебрегая в этом случае объемными силами, получим уравнение Бернулли в виде; — + — !п — = сопв1, !ге, рв р (59) Ро Ро нлк !гй +~~!п~— 2 Рв Ро 2 (60) Уравнение (58) несжимаемого (хотя, быть может, и изотермического) движения нельзя рассматривать как частный случай уравнений (59) нли (60) изотермического движения сжимаемого газа, так как из предположений р = сопя! и Т= сопз1 по уравнению Клапейрона следовало бы и р = сопз1, что привело бы к постоянству скорости движения.
Рассмотрим, наконец, адиабатическое, а следовательно„как было показано в 2 21, и иээнтропическое движение идеального газа (о = — сопя!, рр-а=сопя!). В этом важном для практики случае, если отвлечься от действия объемных сил, теорема Бернулли приведет к соотношению: !/т + чб' = сопз1. 2 (61) определяемого площадью сечения трубы и разностью высот частиц газа, преиебрежим сравнительно с перепадом давлений, приводящим газ в движение.
В этом случае потенциал снл веса может быть опущен и уравнение Бернулли приобретает более простой вид: р + — сопз1. р 1гь 2 динамикА идеАльной жидкости и ГАЭА (ГЛ. и! 160 функцию давления У можно при желании заиенить по формуле (22) на тепловую функцию 1 = зс Т; тогда уравнение (61) перейдет в следующее: $/3 $/з + 1 = 2 + 1срТ= сопя!, (62) аналогичное ранее выведенному из законз сохранения энергии уравнению (20). Вычисляя, с другой стороны, функцию давления зг по уравнению изэнтропы (63) получим еще следующее выражение теоремы Бернулли: а-1 рч! Гр'ъ А 1! .1~1 () 11 Г Га 1. ( ре1 (64) Ь'1 + Гср Т гср Тз (65) или (66) Уравнение (64) при принятом обозначении переходит в известную форму!у Сен-Венана и Вантцеля: Пусть в выбранной пока совершенно произвольно точке линии тока, где давление, пло!ность н температура принимают значения р, й и Т, скорость движения равна нулю (Ъ'= О); если в действительно происходящем движении на данной линии тока или вихревой линии такой точки нет, то всегда можно представить некоторое воображаемое аднабатическое движение идеального газа, переводящее его в состояние покоя, адиабатически его заторлалсивлюгиес.
Величины р, рз и Те в этом случае называют соответственно давлением, плотностью и температурой адиабатнчески заторможенного газа. Используя выбранные таким образом постоянные величины ро„рз и Те, можно переписать уравнение (62) в виде: $ 25) 151 твотямь зетнтлли Заметим еще раз, что полученные в настоящем параграфе формулы движения несжимаемой жидкости (й = сопз1) нельзя рассматривать, как простые частные случаи изотермического или изэнтропического движений сжимаемого газа, хотя несжимаемое движение может происходить при постоянной температуре и энтропии. условие несжимаемости (р = сопзг) при сопоставлении с условием изотермичностн Х= сопз1 ) или изэнтропичности ~ †„ = сопз1 ) приводит к одинакогр Р ~за— ности давления, а следовательно, температуры н скорости во всем потоке. В следующей главе будут выяснены условия, при которых формулы изэнтропического дан>кения будут приближаться к формулам движения несжимаемого газа.
Мы не будем приводить в настоящей главе примеров использования общих теорем динамики идеальной жидкости или газа, так как ближайшая и следующие за нею главы заключают в себе большое число такого рода примеров. ГЛАВА 1У ОДНОМЕРНЛ!Й ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ $26. Одномерное течение идеальной сжимаемой жидкости. Лииеаризированные уравнения. Скорость распространения малых возмугдений в жидкости или газе Если в потоке все динамические и термодинамические величины являются функциями только одной, в общем случае, криволинейной координаты н времени, то такой поток называется одномерным. Простейшими примерами одномерных потоков могут служить: пространственный, параллельный некоторой оси координат поток, в котором скорость, давление, плотность и температура являются функциями только этой координаты и времени, пространственный радиальный поток с радиальной скоростью, давлением, плотностью и температурой, представляющими функции только радиуса-вектора г н г, и др.
Обратимся к рассмотрению прямолинейного потока идеальной жидкости нли газа, все линии тока которого параллельны оси х, а единственная составляющая скорости и, так зке как давление р, плотность р и температура Т, являются функциями х и 1; при этом будем пренебрегать действием объемных снл. Уравнения Эйлера и уравнение неразрывности сводятся в этом случае к нелинейной системе дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных: ди ди 1 др — +и — = — — —, ~ дт дх р дх' др д дт лх' — (ри) = О, с тремя неизвестными функциями и, р, р. Чтобы сделать систему определенной, необходимо добавить уравнение связи между р и р, если движение баротропно, нли уравнение Клапейрона и уравнение баланса энергии в в общем случае пронзвочьного движения идеального, совершенного газа.
Интегралы таким образом составленной системы уравнений должны удовлетворять определенным начальным и граничным условиям. ф 26) одномвгнои твчвнив сжимавмой жидкости 153 а= — и', ) Р— Рз+Р 1 1 Р =Ро-т Р. (2) ((гьлставич згн зпа ~ения возмущенных злсмепгоз в снсгему уравпгпчп (1) и откинем в пих ороизнедения зшлых величин и их проны водных по коордгпгатам, как малые высших порядков. Тогда, заме ~а», по в силу баротроппости движения др ар да Гл'ар ', Рата, ) д полу чньг вместо нелинейной системы 11) следующую линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными и' н р', д;.', ди' дл тРОд» =~. ди' дл ' нс~емз (д) может бьжь названа аинеаризироеаннои по сравненню "- нелинейной системой 11), так как она получена из нее путем лннеарнзации, заключающейся в откндыванин малых вгорого и высших "орванов.
3адача о разыскании решений нелинейной системы уравнений 11) даже для простейших баротропных пропессов очень сложна. Случай движения неслсимаемод жидкости ( = сопв1) исследуется просто, но пе представляет интереса, так как прн р = сопв1 уравнение неразрывности приводится к условию независимости скорости от гди координаты (ь — = 0), что соответствует нвазитвердому поступатель'ьдх ному движению жидкости вдоль оси х.
Начыем с решения следующей математически не сложной, но приппипвальпо важной зада~и: в находящемся в равновесии, покоящемся идеальном газе создаются весьма малые возмущения скоростей, давлепвй и плотности так, гго ноаннкающее при этом движение является олзочерны:е, параллельным оси х баротропным движением, зависящим лапь ог координаты х и нремени т; требуется разыскан элементы возчУшепиого движениЯ.
Ооозначим чеРез и, Р и Р скоРостгн давление и плогпосгь возмУщеппого дни>кения, чеРез Ро и Ро — давление и плотность прн равновесном состоянии газа, причем отвлечемся от действии об.ьемных сит; тогда, вводя еше обозначения и', р', р' для малых возмущений скорости, давления и плотности, будем иметь; 154 [гл. Иг ОднОмерный поток идеАльнОЙ жидкости На первый взгляд непонятно, каким образом неопределенная система (1) стала Определенной, хотя связь между р и р явно не задана.
Очевидно, что при малых отличиях возмущенных значений Р и р от невозмущенных, равновесных ро и р, любая аналитическая связь между р и р вполне определяется заданием равновесного значения производной /дРА от плотности газа по давлению или обратной величины( — ) . Замечая, др о Л~Р что величина — всегда существенно положительна, введем обозначение (4) и перепишем систему (3) в форме: ди' о др' ди' др' ро д = дг ) (5) Аналогично найдем уравнение для определения р'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
