Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Из проведенного в настоящем параграфе вывода формулы (29) непосредственно следует, что формула сохраняет свою силу и в только что указанном случае наличия поверхностей разрыва. Такого рода поверхности разрыва встретятся в следующей главе при рассмотрении ударных волн в сжимаемом газе, чг 23. Эйлерова форма законов сохранения массы и энергии, теоремы количеств движения и момента количеств движения нри стационарном движении идеальной жидкости Останавливаясь на случае стационарного движения жидкости, можем, пользуясь эйлеровым выражением конвективной производной (29), представить закон сохранения массы в следующей интегральной форме: о $'„ба = О с ) имен щей простой физический смысл: в стационарном лото>Се гголный лассовый расход зкидкосгпи или газа через неподвижную замкнутую поверхность, не заключающую внутри себя ни источников, ни с>лаков, равен нулю.
Применим этот закон для элеменгарной трубки тока с двуми какимипибудь нормальными сечениями йаг, йа, в которых скорости соответственно равны по величине Уг и 1>г, а плотности: р, и р;1 тогда, замечая, что на боковой поверхности трубки тока 1ги = О, получим вместо 131) равенство 132) Р>1' г йаг = йяУяйая. В этой форме закон сохранения массы можно проформулировать гак: ари стационарном движении жидкости или газа секундный массовый расход сквозь сечение элементарной труб>си >пока одинаков вдоль осей трубки.
1-ели плотность жидкости поваоду одинакова, т. с, жидкость иес>ки>гаева, то формула 132) переходит в более просгло; 132'1 И йа =- 1" агая, (гл. ш диньмикА иделльной жидкости и ГАВА ~ рЪ'„Ио = ~ рЬ'„де, (33) т. е. для трубки тока конечного размера при стационарном движении справедлив закон сохранения секундного лассового расхода вдоль всей трубгси. Обозначая этот секундный массовый расход сквозь любое сечение трубки е через М, будем иметь: М = ~ р1г„ до = сопзы « (34) Величину ~И, по аналогии с величиной потока вихря сквозь любое сечение вихревой трубки (вторая теорема Гельмгольца, гл.
1, й 12), можно было бы назвать интенсивностью трубки тока. Закон сохранения массы, не связанный, как видно нз приведенных выводов, с представлением об идеальности жидкости, справедлив и в случае неидеальной жидкости. Закон сохранения энергии в случае стационарного, идиибатического движения идеальной жидкости при отсутствии объемных сил, согласно равенству (18') и принятому эйлерову представлению, можно записать в интегральной форме так: и (Лев Т+ — ) )г де = О. а (35) Применяя этот закон для элементарной трубки тока, так >ке как и в случае закона сохранения массы, получим: Рг~'г (УсрТ, + 2 / де, = — Рг1з (УсэТя — , '2-) дея, (36) утверждающую сохранение обяемного расхода вдоль элементарной трубки.
В силу этого закона в суживающихся сечениях трубки тока скорость возрастает и, наоборот, в расширяющихся сечениях — убывает. Столь простого соотношения между скоростью и площадью сечения при течении сжимаемого газа указать нельзя, так как имеется еще третий переменный фактор — плотность. Формулы (32) и (32') легко обобшаются и на случай трубки любого поперечного размера. Назовем через е, н ея два каких-нибудь, вообще говоря, неплоских поперечных сечения труокн; поверхности а, и оя в общем случае не ортогональны к линиям тока, более того, ортогональных к линиям тока поверхностей, как уже ранее указывалось, может н не существовать.
Производя суммирование обеих частей равенств (32), написанных для отдельных элементарных трубок, по всем трубкам, составляющим данную конечную трубку, получим: 8 23~ ЭПЛГРОВА ЬОРМА ОСНОВНЫХ ЗАКОНОВ илн, у|итывая равенство (32): ус т, + — = ус>т (37) Это равенство ничем не отличается от закона сохранения (20). Теорема об изменении количества движения жидкого объема уже применялась в предыдущей главе при выводе основного уравнения динамики жидкости; равенство (24) гл. 11 в случае стационарного движения идеальной жидкости может быть в эйлеровом представлении написано я форме ~ рР йт — ~ рп йа — ~ оЧ 1г„аса = О. а (38) !1оследний интеграл, взятый с отрицательным знаком, можно трактовать, как перенос количества движения через поверхность а, направленный внутрь объема -..
Действительно, орт внешней нормали п направлен наружу объема, так что, если з некоторой точке поверхности вектор ско- т рости Ч направлен также наружу обьема р,р л ((г„) 0), то элемент интеграла — Р РснЧ йа направлен внутрь объема; если же век- а тор Ч направлен внутрь объема, то Гнч. О н элемент интеграла направлен в ту же сторону, что и вектор Ч, т. е. опять внутрь объема. Равенство (38) дает следующую фор- Ус мулировку теоремы об изменении количества движения: если в стационарном потоке идеальной жидкости выделить некоторый объем, то сумма главного вектора объемных сил, приложенных к иа, выделенному объему, главного векспора сил давления, приложенных к его поверхности, и переноса количества дви- и, женин через зту поверхность, напра- Рнс. 31.
вленного внутрь объема, равна нулю. 11рименим равенство (38) к объему элементарной трубки тока между двумя ее ортогональными сечениями (рнс. 31): 1) баы где скорость Равна Ч„плотность о„давление Р,, оРт внешней ноРмали пг, и 2) йая, где, соответственно, скорость равна Чя, плотность ря, давление Ря и оРт внешней ноРмали п . Тогда, выделка из общего повеРхностного интеграла сил давления интеграл по боковой поверхности тРубки а,„ и замечая, что перенос количества движения сквозь боковую поверхность трубки равен нулю, получим: ) ррист — ) рпда — р,п,аа,— ряпяйа +р,(гсЧ,йа,— рг1яЧяйая —— О, (39) а баа 1гл, ш динамика идвлльной жидкости и гезб ~ рГ йт — ~ пи да - — / ('р + а ут) и да — ~ 1р + р уе) и да = — О, 142) бт где а, и а — два ортогональных к линиям тока сечения трубки.
Интеграл давлений по боковой поверхности трубки выделен особо, так как в приложениях этот интеграл имеет самостоятельное значение 1главный вектор сил давления на стенки канала, по которому течет жидкость, и др.). Элементарные приложения формулы 142) к вычислению реакции струи, давления жидкости на стенку и др. приводятся обычно в курсах теоретической механики и гидравлики; специальные приложения этой формулы будут часто встречаться на протяжении следующих глав.
Принимая во внимание сделанное в конце й 22 примечание о возможности применения эйлерова представления конвектнвной производной в том случае, когда внутри объема, ограниченного контрольной поверхностью, имеются поверхности разрыва интегрируемой величины, можем заключить о применимости в этом случае и эйлеровых форм законов сохранения массы и энергии, а также теоремы количеств движения.
Аналогичным путем найдем формулы, соответствующие при стационарном движении идеальной жидкости теореме об изменении момента количеств движения: ~ (г Х РГ) дт — ~ 1г Х пР) Фа — / 1г Х Р Уи У) да = О а и для элементарной трубки тока: 1г Х рр) дт — ~ (г Х ир) да — (рт+ р, У,) гт Х ц, да,— 143) бпи — 1Р,+г,,У~)геХ и,бта,,= О, (44) где векторы г, и г, представляют векторы-радиусы центров тяжестей нормальных сечений да, и да трубки тока.
или, произведи замену: М1 Угц» Чя У и 140) найдем следующую, важную для дальнейшего, форму уравнения иоличеппе деиэкения для элеменпбарной трубки тока при стационарном движении идеальной жидкости 1газа): Г рг йт — ~ рида — (рб -+ргУ1е) цтда1 — гре+реУ) падая — -- О. 141) бак Предполагая наличие в поле скоростей поверхностей, ортогональных к линиям тока, просуммируем равенства 141) по всем элементарным трубкам, составляющим некоторую трубку конечной ширины; получим уравнение количеств движения для любой трубки конечной ширины: ч 24) ткоеьмл оз изменении кинетической энзггии й 24. Теорема об изменении кинетической энергии. Работа и мощность инутрениих сил. Эйлерова форма уравнения изменения кинетической энергии — Р 2 дт= ~Гг'Чггт Грп'Чдв+ ~ГнЧгчат= нг — ГГ ° Ч д — ~51ч(РЧ) дт+ Г) ~Гранат, (4о) где Фг„представляет отнесенную к единице массы мощносгпь внутренних сиЛ давлении, равную отнесенной к единице массы секундной работе расширения элементарного обвела з данной точке.
Дейстнительно, умножнм обе части основного уравнения Эйлера (5) скалярно па Ч де и проинтегрируем по объему т; получим: а Г рг — ~ р — де= ~ рр ° Чс(т — ~Ч ° нгад р. иг ~ 2 с Вычтем почленно обе части последнего ураннения из уравнения (45), тогда найдем ~ рМт„дт = ~ !д)ч(рЧ) — Ч ° дгад р) г7т= ~ р 51ч Чдс. (46) т Отсюда л силу произвольности выбранного обьема -, следует: Мг„— — — 51ч Ч, р (47) иля по уравнению неразрывности (18) гл. П: раз аГ15 дп 1Ч = — — — =р — ~( — ~~.=р— вг аг аг(,р) (47') — выражение, и котором нетрудно узнать отнесенную к единице массы и вРемени работу расширения газа, входящую в уравнение первого начала термодинамики (о — удельный о5ъем): УГГГ( = — УсчдТ+рдп=Ус,дТ+рд( — )) Результат этот можно было ожидать заранее, так как уранне"не (45) легко выводится как следплвие уравнения сохранения энер- (16) и уравнения первого начала.
действительно, переписав Теорема об изменении кинетической энергии индивидуального жидкого обьема должна, как известно из теоретической механики, формулиронаться так: „производная по нремени от кинетической энергии движущегося жидкого объема равна сумме мощностей внешних (объемных и поверхностных) и внутренних сил". Отсюда следует [гл. щ динАмикл идеАльной жидкости и глзА уравнение сохранения энергии и первого начала в следующем несколько преобразованном виде: — ~ Р(ЗсьТ+ — ) йт = ~ Рг . Чйт — ( д!ч (РЧ) аРт+ ~ РУЧ с!т, Г Г Г йг!Т вЂ” ~ р3с.
Т йт = ~ 87ру йт — ~ ор — ! — ) и'с йг ~ ~ ~ йг1,р! и вычтя одно из другого, получим: — — й = 1 рг ° Чйт — ~ д!чгрЧ) !т+ ~ „— ! — )й т 2 йг р, рР Чйт — ~ рп ° Чйо+ ~ рй!КЧйт — ~ р — $'„Но=О, (48) р откуда следует формулировка теоремы об изменении кинетической энергии в эйлеровом представлении: при стационарном движении идеальной жидкости или газа сумма мощностей объемных сил и лющностей внешних и внутренних сил давлений, сложенная с переносом кинетической энергии внутрь движущегося объема, равна нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
