Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Это выражение может быть названо ириоеденной к единице масси лазрпнжеоой функцией ыли кинетическим потенциалом, а интеграл этой величины за некоторый интервал времени (Го, Г) — прнведеыным к единице массы дейстеием. Уразыення (7'), после интегрирования нх по времени з интервале (го, Г) могут быть приведены к виду: дх ду де дхо дуо дсо и — +о — +те — — ио оо ™о да да да да да да дх ду дх дх, ду. д, "— + о — + гз — — но — — оо — + онов дЬ дЬ дЬ дЬ дЬ дЬ дх ду дз дхо дуо дзо и — + о — + гз — — ио — — по — — то— дс дс ' дс дс дс дс (7н) и положим в ней: а = Ь = Ч; тогда получим: вагаб ( — ) = (Ч ° Ч) Ч + Ч Х го1 Ч.
Пользуясь этим Общим векторным соотношением, приладим уравнению Эйлера (5') форму уравнении Громеко — + пгаб ( — ) + го1 Ч Х Ч = к — — пгас( р. дЧ ' (/з'1 1 дг (,2) Р (8) Для дальнейшего наибольший интерес представляет случай, когда объемные силы имеют потенциал П и движение баротропно, т. е.
Уравнениям Эйлера можно придать иной, полезный для дальнейших выводов, вид„указанный впервые казанским профессором И. С. Громека (1851 — 1889). Для вывода этого уравнения выделим в левой части уравнения Эйлера (5') из выражения конвективного ускорения потенциальную часть. Вспомним легко проверяемую по проекциям общую формулу векторного анализа агап(а Ь) =(Ь 7)и+(и У)Ь+Ь Х го1а+а Х го1 Ь ч 20) КРАИПН!ии дви)квпия идсАльной жидкости существует функция давления 120 при выполнении этих условий будем иметь; — втаб р = цгаб аг 1 Р и уравнение !'ромека (8) перейдет в следующее: дЧ / 1/э — + габ( — +У+П)+го1ЧХЧ=О. д! (10) Введем обозначсниш 1/а Е = -,— + з! + П! а = — го1Ч.
(11) (12) —,", +агабЕ+аХЧ=О, (18) нли я проекциях на декартовы оси: — + — +а — аео =о, 1 ди дЕ д! дх до дŠ—,+ — +ае — а. =о, 1 де ду ды дЕ ! — + — +а о — аи=О.) дт де (14) Уравнение (13) или его аналитическое прелставление (14) связывает чисго кинел!атичес/сие величины Ч и а = го! Ч с динамическими характеристиками силовых полей П и ег. Переписывая это уравнение и форме дЧ вЂ” +а )( Ч = — йтад Е, дг видим„что при баротропном движении идеальной жидкости или газа, "езависимо от характера и физической сущности действующих 9 Зак !Зч!. Л Г. Лтт ича.
Величину Е, рвану!о сумме приведенных к единице массы кинетн!еской энергии среды и потенциальных энергий сизовых полей объемного действия сил давлений и собственно объемных сил, можно было бы назвать приведенной к единице массы полной механической энергией. Величину Е не следует смешивать с ранее введенной лагранжевой функцией А. Ур!внение (10) может быть представлено в более краткой форме так динамика и!!ахаю!Ой жидкости и ГА3А ) г!!.
ш силовых нолли обэемных и поверхностных сил, левая, чисто кииематичеагая, часть этого равенства представляет потенциальный вектор. Следовательно, ие всякое ноле скоростей может быть создано в баротропио движущейся идеальиой жидкости под действием потенциального поля объемных сил, а только удовлетворяющее равенству го1 ( — + а Х Ч) = О, или, что все равно, дм — +го1(й Х Ч) = О. дг Раскрывая диффереициальиую операцию вихря от векторного произнедеиив по правилу векторного анализа: го1(2 Х Ч) =(Ч ° 7)Я вЂ” (2 ° 7)Ч+251чЧ вЂ” Чб1чй и откидывая в этом равенстве последний член, как тождественно рав- ный пулю, будем иметь — +~(Ч ° 7) Я = — (2 ° 7) Ч вЂ” гэ б! ч Ч.
Вспоминая, иакоигад, определеиие индивидуальной производной по времени, получим йц — = (ье ° Ч) Ч вЂ” ав б!1я Ч. йг (15) Уравнение это, составленное для частиого случая несжимаемой жидкости еще Гельмгольцем, было указано известным советским механиком А. А. Фридмаиом и названо им уравнением динамической возможности движения. Итак, при принятых ограничениях оказываются возможными только поля скоростей, удовлетворяющие уравнению (15).
Само собой разумеется, что поля скоростей, получеииые в результате интегрирования уравнений движения, будут удовлетворять уравнению дииамической возможности (15); важно, что, ие решая основной системы уравнений динамики, можно наперед указать общее условие, связывающее кииематические элемеиты движения. Другой важный физический смысл уравнений динамической возможности движения (15) будет указан позднее в связи с динамикой вихревых движений.
Полагая в уравнениях Эйлера или Громека вектор скорости равиым кулю, вновь получим указанные в предыдущей главе уравнения равновесия, являющиеся, естествеиио, частным случаем уравнений движеиия; подчеркием еще раз, что уравнения равиовесия верны ие только для идеальиой, ио и для любой реальной жидкости или газа. В случае баротропиого движеиия уравнения движения (13) или (14) ие содержат явно плотности, так как плотиость исключается при помощи ВАкОн сохрлнз)>из зньн>'ин й 21~ уравнения баротропного процесса.
Этот факт не представляет специ- фического преимущества уравнений Громека; уравнения Эйлера в слу- чае баротропного движения также могут быть переписаны в векторной форме: — + 1У ° Ч) Ч = — Р— ига б ьГ дЧ дт нчи, в проекциях, в виде системы уравнений: дм" с т. де дн + О— ду до +о— ду дзг дя ' д> пс зависящих явно от плотности.
й 21. Закон сохранения энергии в движущейся идеальной жидкости. Адиабатическое движение. Сохранение энтропии В основе явлений вязкости и теплопроводности лежит один и тот же механизм молекулярного переноса: в первом случае †количест движения, во втором в кинетической энергии хаотического движения молекул. Естественно поэтому, приняв модель идеальной жидкости, как жидкости без трения, отказаться одновременно и от теплопроводности, сохраняя возможность наличия других видов теплопередачи Гнапример, лучеиспускания). Изложенный в предыдущей главе общий закон сохранения энергии в применении к совершенному идеальному газу будет иметь следуюпгую интегральную форму: „— ~ р ХстТ+ ~ )огт = ~ оР ° Уггт — ~рп ° Ч сЬ+ ~ рЛ~сК.
'г16) Вспомним основную в термодинамике совершенного газа формулу связи между теплоемкостями газа с, с, и газовой постоянной ./асср — с,) = 77. 117) Формула 117) легко выводится из определения теплоемкости при постоянном давлении с, как отношения элементарного приращения ~~песенного к единице массы газа количества тепла 1> к приращению теьшературы при сохранении постоянного давления Лср-- (е~~> ди ди — )- и— дг дх до до — +и— дг дх дш дв> дт дх — + и— ди + яв дг до + тв— дх ды + тв— дх !гл. 1и динАмикл нделльиой жидкости и Глав если это отношение вычислить, используя уравнение первого начала 1 термодинамики совершенного газа (о = — — удельный объем) 47 = ./се а Т+.
р ао, по формуле (д — 'Т) ="+ Ы и применить уравнение Клапейрона согласно которому Тогда будем иметь: асср — — дс„+ р ° вЂ”, 27 откуда и следует формула (17). Пользуясь формулой (17), можно значительно упростить выражение закона сокранения энергии (16), если выразить отнесенную к единице массы внутреннюю энергию 3с„Т газа через так называемое теллосодержание (энтальпию) или, как еще иногда говорят, тепловую функцию 1=3с,Т по (17) так: Зс,Т=.lс Т вЂ” Р.Т=./с Т вЂ” — =1 — —. р . Р е Р я Р Р (17') После этого уравнение (16) может быть записано в виде ~ — д!ч (рУ) + р — ( — д Ыт = ~ ~ — д!ч (рУ) -1- — — — — 1 с!т = д ~р~1 !" 1 др р дз1 д!ч(РУ)+де +У ° бгаг! р+Р 61чУ) с!т = ~ — дт. 1 Тдр Второй и третий ннтегрзты в правой части соединяются вместе и, в силу уравнения непрерывности (18) гл.
11, оказываются в сумие равны 9 211 1Зз ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ Итак, будем иметь следующую интегральную форму закона сохранения энергии в лвижущемся илеальном и совершенном газе: — ~ о(г+ 2)срт=! рр ° Чбт+ ~ д— ей+ ) райт, (18) е й С. !ггт ! др —,!( -)- — )=р ч+- — +,ц. аг1~ 2г р дг (19) Г!редположим теперь, что объемные силы отсутствуют и движение стапионарно; кроме того, отвлечемся от притока тепла извне, т. е. будем считать лвижение газа адиабатическим. Тогда закон сохранения энергии приведется к равенствам: „— ~ р(г -+ —,)бт = О, !18') !гг' дг( ' 2г' !19') Из (19') сразу следует, что ндоль траектории или линии тока (для стапионарного движения это одно н то же) будет выполняться равенство !/г г+ — = соп51, 2 (20) выражающее известную теорему Бернулли для сгкияаемого газа !си.
9 28): в адиабатическом, стационарном потоке идеального совершенного газа при отсутствии обвемных сил сумма отнесенных к единице массы теллосодержания и кинсгиической энергии сохраняет постоянное значение вдоль траекгпории или линии тока частицы. Если в правую часть общего уравнения !19) подставить, согласно уравнению Эйлера, ач 1 Р = — + — йтаб р, р то можно получить равенство -'г-+Ч.~~ =Ч ° "Ч+ — ' (др+Ч лтаб р)+ уц аЧ справа на член Ч вЂ”, следующее дг ' объемных сил выражение того жс илн, после сокращения слева и ие зависящее от характера поля зчконз сохранения энергии йг ! аг р — — Ф йр дг из которой обычным приемом получим н лифференциальную форму того же закона (гл. ш 134 динамика идвлльной жидкости и газа Если движение баротропно, то по предыдущему 1 яР сгЗГ р лг гг после чего уравнение баланса энергии приобретает вид и' — (1 — У) = .Ау.
а'г (21) Из равенства (21) вытекает, что в слу:ше бзротропного движения, а к такого типа движению сводится большинство р:.з. нраечых я настоя- щем курсе движений, приток тепла определяет изменю.. и ~зности теплоной функции и функции давлений. При адиабатнческ.,м спнже- нии д=-0 и уравнение (21) приводит к соотношению 1 = У+ сопз1, Р=-Сй (23) с показателем 7г, равным отношению теплоемкостей с,,'сч чо гчянной С, опРеделаемой по заданным значениЯм: .
=-. Рч. Р =Рв — в некоторой точке аднабаты. Действительно, переписывая (22) в внлс л 7с lсл Р Р йр 1с. Т=- — 1сТ=-.— ° — = ~ — +сопя! А' ' г =. Р(Р) (22') и замечая, что но (17), Л'л л' а — !' будем иметгч дифференцируя (22') по давлению Р: откуда следует дифференциальное равенство ЛР Лг — =а— Р З которое после интегрирования и приводит к (23). Наряду с функциями состояния г и зт введем в рассмотрение еще одну функггию состояния — отнесенную к единице массы газа энтропию 5, определяемую известным дифференциальным соогношепием г15 =У вЂ”, Т' (24) справедливому вдоль траектории данной частицы при любом силовоп поле действующих на движущийся газ объемных сил. Докажем, что уравнение (22) представляет ни что иное как уравнение известной из курса термодинамики адиабаты й 21) ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ где, в общем случае, под бесконечно малой величиной йд будем понимать отнесенное к единице массы количество тепла, образовавшееся обратимым путем за время Ж в элементарном объеме газа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
