Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Мировую известность приобрели работы в этом направлении создателя соэременйой теории устойчивости движения академика А. М. Ляпунова (1857 †19), который нашел бесчисленное множество фигур равновесия вращающейся жидкости, близких к эллипсоидальным, открытым ранее в 1742 г.
Маклореном (эллипсоид вращения) и в 1834 г. Якоби (трехосный эллипсоид). А. М. Ляпунов исследовал также фигуры равновесна вращающейся неоднородной жидкости, что особенно существенно для проблем космогонии. Результаты А. М. Ляпунова оставили далеко позади все что было сдечано в том же направлении зарубежными учеными и в том числе известным французским математиком А. Пуанкаре (!854 †!2).
Ряд классических задач теории устойчивости вращающихся жидких масс был разрешен также нашими великими соотечественниками: П. Л. Чебышевым, Софьей Ковалевской и В. А. Стекловым. основные хнавнвнисс дзижзния и Равноввсия ~гл. п 118 га Х й = — т ~ г Х пг пса. (9О) Возьмем в плоскости расположения площадки а следующую систему координат: ось Оу' проведем вдоль линии пересечения плоскости Рва. 2У.
со свободной иоверхссостьнс, ось Ох'-.но перпендикуляру к оси Оу' вглубь жидкости, ось Ое' — по нормали к площадке вниз. Замечая„что п = — к', и что, кроме того, для всех точек наклонной плоскости: х =-х'сов 8, = — х' гйп 0, у=у', получим, проекгнруя (90) на новые оси, у,11с= 1 ) у'васа, или по (89); С.хс Ла х„'ссьс=т ~ х'ада, а„'= О, ~ х'у' Ла а ха а х ха а в =О. в (91) Обращает на себя вниыание факт независимости положения центра давления опс наклона плосцадксс.
Как показывают формулы (91), Этот факт независимости давления жидкости на стенку сосуда от формы сосуда, в который жидкость налита, был открыт Паскалем и получил естественное для своего времени наименование гидроспсатического парадокса. Вектор-радиус гк и координаты центра давления Ц вЂ” так называют точку прнложекнсля равнодействующей й системы параллельных сил давления на площадку — можно найти по теореме о моменте равнодействующей: задача об определении центра давления жидкости на наклонную площадку сводится к разысканию центра тяжести, момента инерции и центробежного момента площади. Если поверхность о замкнута и ограничивает некоторый конечный объем -., то по (87) и интегральной формуле (70) гл.
! получим: К = — ~ ирде = — ~ йгад р йс. а (92) В случае тяжелой жидкости имеем, согласно уравнению Эйлера (57), (93) огас$р = рй, где и — вектор ускорения силы тяжести, р — плотность жидкости. Подставляя в (89), найдем К = — ~ 1аи йт = — С>. (94) Равенство (94) показывает, что главный вектор сил давления жидкости на поверхность погруженного в нее тела равен но величине весу жидкости в объеме тела и направлен в сторону, противоположную силе веса. Это — классический закон Архимеда. Силу й иногда называют архимедовой или гидростатической подъемной силой В знак того, что эта сила стремится вытолкнуть тело из жидкости, заставить его всплыть.
Тяжелое тело, погруженное в жидкость, „теряет' в своем весе столько, сколько весит вытесненная телом жидкость. Легко находится также и главный но>ген> сил давления жидкости па погруженное тело. Имеем по (87) и интегральной формуле (73) гл. 1: 1. == — ~ г Х пр>1е.= ~ п Х рг де =- ~ го1(рг) йт а или, применяя известную формулу векторного анализа г<й (рг) = р го1 г+ гаг) р К г, приводящую в данном конкретном случае к равенству го1(рг) = — г и', цгад р, так как го1 г = О, получим 1.= — ) г Х угад р йт, или, согласно (93), 1, = — ') г х, 88' йт. (9б) и 19) ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ НА ПОВЕРХНОСТЬ ТЕЛА 119 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ (ГЛ. П 120 Замечая еще, что вектор-радиус г„центра тяжести Ц вытеснен- ного объема равен 1 Г г„= —.
) грейт о3 и что, очевидно, 6 К=р К~ получим по (94): 1 Г Е = — —, )~ грейт ~ О = — г Х П = гч У' (х. а3 (96) Полученная формула показывает, что линия действия главного вектора Й сил давления жидкости на погруженное в нее тело ароходит через центр тяжести Ц (рис. 30) вытесненного телом обаема жидкости. Не следует, конечно, смешивать центра тяжей 11 стн погруженного твердого тела С с пентром тяжести вытесненного объема жидкости Ц.
Погруженное тело, например корабль, может быть неоднородным, с переменным размещением масс в нем; при этом пентр тяжести будет занимать различные положения по отношению к твердому телу, центр же тяжести вытесненного жидкого С С Раонооесив жпшйниеос объема зависит от формы внешней поверхности твердого тела и прн данной форме этой поверхности будет занимать вполне определенное положение. Если данное твердое тело будет занимать различные положения в жидкости (например качка корабля), то положение центра его тяжести по отношению к телу не меняется, РЕВЯРВесие неусглойнивое центр же тяжести вытесненного Рис.
30. объема будет при этом перемещаться. По терминологии, установившейся в статике корабля, центр тя1кестк вытесненного объема жидкости называют центром величины. Твердое тело, погруженное в жидкость, будет в равновесии, если вес тела равен весу вытесненной им жидкости и, кроме того, пентр величины окажется на одной вертикали с центром тяжести. Если при этом центр величины лежит выше пентра тяжести, то такое равновесие будет, очевидно, устойчивым (рис.
ЗО, наверху), если же пентр величины окажется расположенным ниже центра тяжести, то такое 9 19) НАВленнВ жидкости нА пОВеРхнОсть телА 121 равновесие будет неустойчивым и пара сил (Й, (1) опрокинет тело (рис. ЗО, внизу). Отклоним плавающее тело на малый угол и от положения равновесия, при котором точки С и Ц лежали на одной вертикальной прямой ЕЕ. Через новое положение центра величины Е(" проведем вертикаль до пересечения с отклоненным положением прямой Е'Е' в точке М, называемой метацентром. ' Расстояние й между метацентром и центром тяжести тела определяет лытацентричсскую высоту.
Пара сил (К, П), в случае устойчивого равновесия восстанавливающая равновесие, а в случае неустойчивого равновесия опрокидывающая тело, будет иметь момент Е= Опз(па. Бели метацентр выше центра тяжести, тело вернется в положение равновесия, если метапентр ниже центра тяжести, тело опрокинется.
Рассмотрим в заключение еще вопрос об определении главного вектора сил давления однородной тяжелой жидкости на погруженное в нее тело при равномерном вращении жидкости вместе с погруакенным в нес телом. Применим вновь формулу (89), но заметим, что в настоящем случае градиент давления по (80) будет равен: йтай р = — р ягай П+ ешеге огай гч = ри+ разг"; (97) тогда получим с( = — ~ Рдйт — ) ршяг' йт = — 0 — ршяг' ° т, ч (98) где под г подразумевается вектор, направленный но кратчайшему Ц расстоянию от осн вращения до центра тяжести вытесненного объема Ц н равныИ по величине атому расстоянию г =- — ) гдт.
г ° 3 (99) й' = — ршегчт = — Мшег', (1ОО) ч "граюнтей роль центростремнтельноИ силы притяжения тела к оси Вращения н равной по величине произведению массы жидкости М ' Предполагается, конечно, что в силу материальной симметрии пересечение действительно осуществится. Формула (98) показывает, что при равномерном вращении жидкости с полностью увлекаемым ею во вращение телом давление жидкости на поверхность тела складывается из архимедовой нодьемной силы, аналогичной той, которая была бы в неподвижной жидкости, и еще дополнительной архимедовой силы, 122 ОСНОВНые УРАВнения дВижения И РАВнОВесия (гл. и в объеме тела на квадрат угловой скорости вращении н кратчайшее расстояние от оси до центра тяжести вытесненного объема жидкости. Полученный результат можно положить в основу объяснения многих явлений и прежде всего описания процесса пентрифугироаания.
Пусть плотность находящегося в жидкости тела равна е, причем тело будем считать однородным и полностью погруженным. Тогда, прикладывая к такому, вращающемуся вместе с жидкостью, телу центробежную силу, равную (М вЂ” масса тела) г = Маяг" = Омятг', ч и учитывая вес этого тела сг=МР, можем судить об относительном равновесии тела в жидкости по разности векторов приложенных к нему сил: веса 0 н центробежной силы Р, с одной стороны, и архимедовых подъемной и центростремительной сил — с другой; эта разность равна: б — 6+ (р — р) еР~г'„= (р — р) я +(р — р) аттг*„= =(р — р)(К+ 'г„)' Из рассмотрения этой разности сразу видно, что: 1) если плотность вращающихся вместе с жидкостью тел р больше плотности жидкости р, то такие тела будут тонуть во вращающейся жидкости и отбрасываться на периферию, 2) если же плотность тел р меньше плотности жидкости р, то такие тела будут всплывать и приближаться к оси вращения.
Так, например, в маслобойных центрифугах зерна образовавшегося масла, более легкие, чем окружающая их водянистая сыворотка, всплывают наверх и собираются вблизи оси центрифуги. Как непосредственно следует из последней формулы, равновесие возможно лишь при условии одинаковой плотности жидкости и погруженных в нее тел (р =р). ГЛАВ А П1 ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ 5 20. Идеальная жидкость.
Основные уравнения движения Наиболее простой схемой движущейся жидкости является так называемая идеальная жидкость. Принимая эту схему, отвлекаются от наличия внутреннего трения — вязкости, считая что по площадкам соприкасания двух, друг относительно друга лвижущихся, объемов действуют лишь нормальные к площадке силы давления н полностью отсутствуют лежащие в плоскости площалки касательные силы трения. Применяя это допущение к координатным площадкам, будем иметь рея = ряи = ре» = ре ! = Рев — рве — О; (1) то жс допущение отсутствия касательных напряжений на наклонной к координатным осям площадке дает Рпх=р нх 1р* =Рп ° Рв;=Рп'!' Отсюда, согласно системе равенств (10) гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
