Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 19
Текст из файла (страница 19)
УИ,() 60. Переходя к составлению общих уравнений динамики жидкости или газа, начнем с вывода уравнения неразрывности (оплошности), Будем исходить из основного закона классической механики о сохра- нении массы при ее движении; используя понятие индивидуальной производной, можем написать: — ат.= — (ра ) =О. д ат дг (15) Желая получить ураэненяе неразрывности в переменных Лагранжа (б 8), перепишем (15) а виде а от = го Зта (! 5') где а н Ьт — текущие значеная плотности и элемента объема н оэ, Ьто — на- чальные их значения в момент времени т = г„. Представим себе элементарный объем Зт как координатный параллелепипед з системе криволинейных коор- динат — переменных Лагранжа — а, Ь, с; тогда стороны этого параллелепипеда будут определяться направленными элемеитамн координатных линий: г Зго, огь, ог, равных частным дифференциалам вектора-радиуса г(х, у, г) по коор- динатам и, Ь, г: дг .
дг . дг „ ого = — ои, Гь = .— ° Ь, ого = — ог, да ' дЬ ' дс 91 1б] онщиа уравнения динамики ш!Лошной сРзды Аналогично получим в момент времени Г = г,: 0 Схв, ут гв), втв — ' ' аваев и, следовательно, ио (15г). (х у л) (С, Ь )О(л'в ув гв) Это н есть уравнение неразрывности е лагранжевых переменных; его было бы правильнее называть уравнением сохранения лтссы. В частном случае жидкости постоянной плотности — несжимаемой вшдкостн — р= р„н уравнение (!б) принимает форму уравнения несжимае,иостн в лагранжевых переменных: ):1 (х, у, х) 7) (хт у„, е„) (17) с) (а, Ь, с) 7) (а, Ь, с) или, полагал хв ==: и, ув = Ь хв = с, О(х,у, л) 1)(а, Ь,с) (17') В зйлеровых переменных уравнение неразрывности можно получить, производя дифференцирование в формуле (15) и используя представление о дивергенции скоростного поля как скорости относительного расширения объема (вспомнить формулу (59') 9 11]: — Вт + р — оа = — ос + р г]]ч Ч бт = О, йр й „а'р йг йс йг откуда и найдем уравнение непрерывности в эйлеровых переменных — +рб]чЧ= О.
йр йг (18) К гому жс выводу можно было иридтн, записав закон сохранения »ассы для конечного объема ; в анде; — оба =- О; йс (19) производя дифференцирование, получим 1ю предыдуцтему: — от + ~ р — о= = ~ ] — р + р д]ч Ч) от = О, ~-:~т, ." -- 2 откуда, в силу произвольности объема интегрирования, вновь получим уравнение (18). К тому же результату можно придти, разделив обе части последнего уравнения на объем -., содержащий внутри себя заданную точку, и переходя к пределу прн сгремлении об.ьема к нулю и стягивании его к данной точке, 92 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ [гл. и вспоминая затем формулу векторного анализа д[ч(рЧ) = Ч ° игайр+р ЙУУ, окончательно найдем уравнение неразрывности в эйлеровом представлении в наиболее употребительном виде: — Р+ йч[рУ) = 0 дг [2Ц и.чи в декартовых координатах: др д, д д — '+ — [ри) + — [рп) + — [ртв) = О.
дс дх ' ' дс ' дв [22) В дальнейшем нам придется встречаться с двумя различными видами уравнений механики сплошной среды; 1) интегральным, выражающим связи между Величинами в некоторых конечных объемах и на ограничивающих их поверхностях, и 2) дссфференпиальнылс, связывающим значения величин и их производных в данной точке. Примером уравнений в интегральной форме может служить уравнение сохранения массы [19) и в дифференциальной форме — (18). Переход от интегрального вида уравнения к дифференциальному совершается одним из следующих двух приемов: делением обеих частей уравнения на величину обьема с последующим стягиванием объема к выбранной точке пространства или сведением всех интегралов к одному объемному и приравниванием нодинтегрального выражения нулю вследствие произвольности объема.
Оба эти приема были только что применены при выводе уравнения [18). Основной особенностью дифференциальной формы уравнений динамики жидкости и газа является то, что входящие в них величины представляют плотности распределения массы, объемных и поверхностных сил и т. и., а не сами величины, относящиеся к элементарному или конечному об ьему.
Обратный переход от дифференциальной формы к интегральной совершается умножением на элемент объема и интегрированием по конечному объему. Инпсегральная форлса имеет ссреимуисесспво перед дифференссиальной, если входяисие в уравнение величины претерпевают внутри среды разрывы непрерывносспи. В этом случае дифференциальная форма уравнений не может быть использована во всем пространстве, заполненнолс жидкой средой, в то время как интегральная форма с успехом используется. Заменяя в уравнении (18) индивидуальнусо производную по времени от плотности известным ее выражением через локальную и конвекгнвную производные [9 9, формула [41)), получим: — + У ° пгай р+ р дсч У вЂ” — П, др [20) ь 1б) оящив твлвыяния динамики сплошной сеяны ОЗ В частном случае несжимаемой жидкости (р=сопз1) уравнение неразрывности переходит в уравнение несжимаемости: ди де , дя б1 ч Ч = — - + — + — =- О.
дх ду дх (23) К= ) РЧда. Приравнивая индивидуальную производную главного вектора количеств движения главному вектору внешних массовых и поверхностных сил, получим: и дК вЂ” — РЧг7т= — ~ РРг1т+ ~ ряг1а. (24) Рис. 26. Индивидуальная производная от главного вектора количеств дви>кения равна — ! аЧ Ыт = ~ Р— пгт-г- ) Ч вЂ” (р гЕ) = ~ р — г1т, (25) г так как на основании закона сохранения массы (15) второй интеграл пропадает. Чтобы преобразовать поверхностный интеграл, стоящий в правой части (24), в объемный, спроектируем обе части интегральной формулы (70) предыдущей главы на ось х н положим в ней а равным попеременно аа, ая, л,; тогда получим: ла да= ~ д дт ~ иа л!а= ~ — ~г1т, Г даг л а да = ~ — * Ыт' дх а умножая после этого обе части первого равенства на 1, второго— на 1, третьего — на )с и складывая, будем иметь: ~' да, Лля вывода основного динамического уравнения движения жидкости или газа применим к объему т (рис.
26) теорему об изменении количеств движения системы материальных частиц. Заметим, что главный вектор количеств движения частиц объема К равен интегралу от произведений их элементарных масс Жги на векторы скоростей частиц Ч: Рдо (Гг!. и основныг. тялвнзння движения и !лвновесня Повторяя аналогичные выкладки с производными по у н е, получим окончательно следу!ощую группу интегральных формул: — а'- да дх ~ и аа!е=- ~ пна по — йт, (26) и аг7в =- ~ — с!'т. г да ~ д- Пользуясь (9), перепишем поверхностный интеграл н уравнении (24) в виде; ~ р.„йо =-= ~ и, р,.до+ ~ перо до+ ~ пер,йс, а нли, по (26), окончательно: ~(д +д +д ) (27) йр —— йЧ дре дре дре'! (Р— — ог — — — — — — ! ат = О, (,Р Ж ' дх ду де,) (27') илн, используя произвольность обьема * и приравнивая подинтеграль- ную функцию нул!о во всех точках области движения, будем иметь то же уравнение в дифференциальной форме: йЧ, дрх дрв др, о — = ор-'~- — + — "-4-:, Пг ' дх ду ' де ' (28) Это векторное дифференциальное уравнение, или эквивалентная ему система трех дифференциальных уравнений в проекциях: др „др„х дрех дх ' ду ' дг ' дрюу др„„др,а — + — + „) д ду д.
" йи пг х по г — =РР + йг я (29) пю Р~е+ Подставляя в (24) значения входящих в него величин, согласно формулам (25) и (27), и перенося все члены в одну сторону„получим основное динамическое уравнение движения сплогиной среды в инпсегральной форме: % )5! ОБЩИЕ УРЛБНН1ИЯ ДИНзМИЬИ СИЛОШНОЙ СРЕДЫ гди, ди ди, диу р!' — —,— и — + Π— +Ф/ — '! ' 1,дг ' дх ду де>! др йр,+— дх ди +си — „) =- др, !,р + — ' в дх + ев — ) =--. ди>' др. дл дри др + — '+— д>> дг ди О— д 1' Где ди >! — -1. и — + , дг дх+ (йо) дрие драв -1- — + — > д1> дг Гды ды ,>! — + п — + ' >,дг дг ди> О— д , дрва дра> Д>тя дальнейшего существенно подробнее рассл>отреть механический смысл входящего в правую часть уравнения (28) вектора дам дрк дра — '+ — + — ' дх ду де ' который, согласно (27), можно представить как предел Вш — ) р„де = !!ш — ~ пр а>е Ла.+Ба ! Ла-ЭБ аа ! Ьа Ь".
отношения главного вектора поверхностных сил, приложенных к бокоБой поверхности Ле произвольно выбранного в данной точке >И элементарного об.ьема >лт, к самому объему Лт, при стягивании поверхности Ьа к точке М. Этот предел можно было бы назвать главным веюаором поверхнотпнь>х сил, приведенным к единице Обьема в данной >почке потока, а всктор главным век>пора.к поверхностных сил, приведении.к и единице Бассы в данной тощее потока. В отличие от напряжений поверхностных сил р, ргл р„величины и направления которых зависели от выбора направлейия осей координат в данной точке или направления наклонной площадки, главный вектор поверхностных сил, приведенный к единице массы или объема, носит наименование уравнении динамики в напрнженипх и играет основную роль при выводе всевозможных частных видов уравнений динамики жидкости и газа. Если выразить индивидуальные производные от проекций скорости по времени, входящие в левую часть уравнения (29), по (40) 9 9, то уравнения !29) запишутся в развернутой форме; основныг кялвнзння два>кения и Рзвновгсия )гл.
и представляет однозначную векторную функцию координат данной точки пространства, не зависящую ни от выбора системы координат, ни от формы стягивающейся к точке поверхности, к которой были приложены поверхностные силы, сведенные в главный вектор. Иными словами, приведенньсе к единице обьема или массы главные векторы поверхностных сил образуют векторное поле, в чо время как сами поверхностные силы поля не образуют.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
