Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 17
Текст из файла (страница 17)
19) с площздью Ьа и построим на нем цилиндр, высота которого л также мала. Применяя к этому цилиндру интегральное определение вихря (72), получим: и' го1а= Ию — ( и Капа, ,а 3 а и' Рвс. 19. причем поверхностный интеграл распространяется на полную поверхность цилиндра. Проектируя обе части этого равенства на нормаль и к элементу Ье, получим: (го1а) = !пп — 1 и ° (и' )< а)г(е.
Согласно известному свойству тройного произведения и ° (и'Ха)=а (и Хи'), (го1а)„= 1цп — Га ° (п Х п')А. Поверхностный интеграл, стоящий в правой части под знаком предела, может быть в силу малости цилиндра вычислен непосредственно. позволяющему заменять циклически порядок сомножителей, можно полу~енное выражение проекции вихря на нормаль переписать в виде 78 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ 1гл. 1 Заметим для этого, что вектор и )( и' не равен нулю только на боковой поверхности цилиндра„ причем для заштрихованного на рисунке элемента этой поверхности будет: (п)с,п')до=(п Хи')Ьдв=йдг; тогда найдем (е — малая величина, стремящаяся к нулю при уменьшении Ьо) (го1 а)„— „, ~ а ° дг ° Ь + е, 1 с ьс откуда следует (го1 в)„Ьо = ~ а ° асг+ в Ьщ (80) т.
е. с точностью до малых высших порядков поток вихра вектора через площадку Ьо равен циркуляции вектора вдоль контура, ограничивающего зту площадку. Из формулы (80) предельным переходом можно получить следующее интегральное представление проекции вихря вектора на любое направление (со!а)„= 11в — ~ а ° дг, 1 Г ьа-ьь ч С ьС (81) где Ьо — некоторая малая плоская площадка, перпендикулярная к направленнсо и, а ЬС вЂ” окружающий ее контур.
о твс и Пользуясь этим определением, легко вывести формулы проекций вихря на оси декартовых или криволинейных координат, непосредственно вычисляя контурный интеграл по сторонам координатных элементарьс ных прямоугольников и переходя затем к пределу. аь Возьмем теперь какой-нибудь себя не с а ! пересекающий контур С конечной длины и ! опирасощусося на него разомкнутую поверх- и ность о (рис. 20). Разобьем поверхность о Рнс. 20.
нз большое число малых площадок Ьа произвольной формы н, написав для каждой такой площадки равенство (80), просуммируем обе части этих равенств по всем площадкам. Будем иметь: ~~~, (со1а)„Ьо= ~~ ~) а ° дг+ ~~~„ЕЬщ ьс Первая сумма в правой части равенства приводится к контурному интегралу по замкнутому контуру С, так как слагаемые суммы, подсчитанные для отрезка контура, по которому граничат две смежные элементы теОРИИ поля.
кинематика сРеды (гл. ! В заключение настоящей главы, посвященной элементам кинематики сплошной среды, рассмотрим еще одну важную для дальнейшего теорему об изменении во времени циркуляции скорости по движущемуся вместе с жидкостью контуру. Рассмотрим некоторую „жидкую" линию АВ (рнс. 23), направленный элемент которой обозначим через 8г. Циркуляуг ция скорости по втой кривой, М равная будет изменяться во времени как в силу перемещения и деформации контура (конвекРис. 23.
тинное изменение), так и из-за нестационарности поля (локальное изменение). Определим индивидуальную производную по времени от этой циркуляпни. По определению интеграла, производная от него будет склздываться ич двух частей: в в — РАв(У) = ~ — ° йг+ ~ У вЂ” 8г. и рну лг 3 лг ',~ 'лг (83) А А Первый интеграл представляет не что иное, как циркуляцию ускорения по контуру АВ: в в — ° 8г= ~ У ° йг= Рлв(ч). лч (84) Второй интеграл легко преобразуется, если заметить, что порядок взятия операций производной по времени —, и дифференцирования Лг в пространстве 3 может быть изменен: — йг 8 — = 3Ч.
Лг Т! (85) А(ействительно, рассмотрим два последовательных положения жидкого отрезка (рис. 23); ог — в момент времени ! и 8г+ Ы 3г— в момент г+Ж Перемещения концов жидкого отрезка будут соответственно: УЖ (начало отрезка) и (Ч+ЬУ)г!г (конец отрезка). 13! ИНТБНСИВНОСТЬ ВИХРКЗОЙ ТРУБКИ Н 1ГИРКУЛЯЦНЯ Г(з векторного четырехугольника ММ,М1М сразу следует у йГ+ 8Г+ д 81' = йг + (7 + ОЧ) дГ, нли, после простых сокращений, искомое равенство (85). Подставляя теперь в (83) значения интегралов, по (84) н (85) получим: йг1 "я(~)= рлв(Ч):; — ~у. 8тг и "' ®+ —, (('в — Г,). Предположим теперь, 1то ко1пур АВ замкнут, т. с.
точки А и В совпадают. Тогда предыдуп1ая формула лает — 7(Ч) = Г(7). (86) Отсюда следует те о р е и а Кель в и на: производная по времени от циркуляции скорос1пи по замкнутому контуру, движущемуся вместе с жидкостью, равна циркуляции ускорение по толу же контуру. Такая формулировка теоремы Кельвнна делает ее чисто кинемати1еской, не зависящей ни от физических свойств жидкости, ни от характера приложенных к жидкости сил. В динамике Г>удут изложены важные следствия этой теоремы, в частности будут выяснены условия, нри выполнении которых циркуляция скорости сохраняется во времени; с кинематнческой точки зрения важна сама связь (86) между циркуляциями скорости и ускоренны Подчеркнем, что как последняя, так и все предыдущие теоремы настоящей главы основаны лишь на допугцении о непрерывности поля с1соростей в жидкости нли газе и существовании первых производных от скоростей по времени и координатам; теоремы, изложенные в этой главе, верны для любой сплошной среды.
б Знн. 1Я1. Л, Г. Лойнннннна. ГЛАВА И ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ й 14. Распределение массы в сплошной среде. Плотность и удельный вес. Напряжения. Тензор напряженности и его симметричность Ьт р-.—.. Яш —, причем предполагается, что при стремлении объема Ат к нулю точка Л все время остается внутри объема, называется плотностью распределения массы или, короче, плотностью среды в данной точке М. 1 Обратную величину о = — называют удельныл обьежож.
Плотность движущейся илн покоящейся жидкости (газа) зависит от различных обстоятельств: температуры, давления, а также от характера движения среды. В конечном счете плотность представляе|ся некоторой функцией координат и времени Р =Р1х. У, г; Г) и образует, следовательно, скалярное поле, которое может быть как стационарным, так и нестационарным. В технических вопросах часто вместо плотности предпочитают иметь дело с удельныж весел, определяемым как предел отношения веса малого объема к величине объема. Удельный вес равен Ььл т =- йш К вЂ” =ай ь-..+а (2) В динамике сплошной среды, так же как н в кинематике, применяется общий прием замены значений физических величии, относящихся к отдельным частицал~ среды, непрерывным распределением этих величин в пространстве.
Возьмем некоторый малый объем жидкости или газа Ь-., содержащий внутри себя данную точку Л пространства, и пусть масса этого объема будет Ьт; скалярная величина, определяемая предельным выражением 14) РАспРеделение массы. Тенге!' нАпРяженностн 82 где д — ускорение силы тяжести, принимаемое в дальнейшем равным 9,81 М1СЕ1э'. Из формул (1) и (2) следует: 7,1 Х (3) Поверхности или, в "астном случае плоского распределения, линии уровня скалярного 1юдя плотностей называют изосгперическил1и поверхностями илн линиячн. короче, изосп1ерами (от греческого слова з1егоз, что означает лло!плый). Плотность, как масса, отнесенная к единице объема, измеряется п технических единицах кг еекг/м', удельный вес — в кг!мз.
Приводим несколько эыаболее употребительных средних величин плотностей н тдельпых вссов !Ендхостей н газов. Таблица 1 Удельный вес жидкостей Т кг/мз Жидкость прн 20'С Жидкость 7 кг)мз Таблица 2 11лотность и удельный вес воздуха при 760 мм рт. ст. Темп. 'С 0,108 0,101 0,096 Р „! 0142 0,127 0,132 0,123 0,114 1,06 0,99 0,94 — ( э.ээ эи 1,12 При оценочных расчетах можно принимать для воздуха значение наотности прн 1бв С: Р = 0,125 !!з кг ° сект!ме, д;ш воды прп той же температуре: . = 102 кг сект/мй Вода прн: 0'С 20'С .
7УС . 1ООО С Вода морская . 1000 998 978 958 1024 Спирт Бензня . Керосин Смазочное масло Глицерин . 800 720 816 912 1248 основньп'. хгьвнения лвижгния н !лвновесия )гл. и Таблица 3 Удельные веса некоторых газов при 0' С и 760 мм рт. ст. Название газа ! кг!ггз т кг!мг Название газа 1,43 ' Метан 0,090 ~ Окись углерола 1,25 ! Углекислый газ Кислород . Водород Азот . Воздух .
Перегретый пар 0,717 1,25 1,98 0,179 1,29, !елин 0,803 Согласно закону Авогадро, килограммозекулы всех газов при одинаковых условиях (дазление, температура) занимают один и тот же объем, иными словами, каков бы пп был гзз с молекулярным весом М кг, его удельный вес 7 кг/мг равен отношению молекулярного асса к объему килограммолекулы,одизаковоиу длз всех газов и прн 0' С и 760 .клг рт, ст. разному 22,4 м', т. е. М ! = — «г)мз; 22,4 так, нзпрнмер, для водорода Нг имеем М= 2 кг, следовательно, 7=2:22,4= = 0,09 кг!мз, для кислорода О, будет М = 32 кг, следовательно, ! = 32: 22 4= = 1,43 кг)мз и г.
д. Плотносгпь воды, так же как и других капельных жидкостей, слабо зависит от твлтературы и почти не зависит от дивления, так как под влиянием даже больших давлений объем жидкости меняется сравнительно мало. Так, например, относительное изменение объема воды при увеличении давления на одну атмосферу и при сохранении температуры несколько менее 0,00005, глицерина — 0,000025, керосина— 0,000077, спирта — 0,00011. Наоборот, плотность газов сильно меняется с дивлвнием а температурой. Напомним, что по закону Бойля — Мариотта при данной температуре плотность газа прямо пропорциональна давлению, а по закону Гей-Люссака при данном давлении плотность газа растет пропорционально его абсолютной температуре.
Силы, приложенные к частицам жидкости или газа, можно разбить на два класса: 1) массовые или обьемные силы и 2) поверхностные силы. К первому классу относятся силы, приложенные ко всем частицам среды, заполняющим некоторый объем, как, например, силы веса, тяготения, электростатического притяжения, а также, в известном условном смысле слова, силы инерции; ко второму классу в силы, непосредственно действующие лишь на боковую поверхность выделенного жидкого объема, как, например, давление твердого тела на обтекающую его жидкость, трение жидкости о поверхность тела и др.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
