Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 20
Текст из файла (страница 20)
В теории электричества и магнетизма силу, с которой поле действует на „единичное тело' (единица заряда, единица магнитной массы и т. и.), помещенное в поле, называют напрязкением поля; произведение напряжения поля на величину помещенного в поле „тела" (заряд, магнитная масса и т. и.) с тем или другим знаком дает вектор силы, действующей со стороны поля на это „тело" (заряд, массу), Точно так же н главный вектор поверхностных сил, приведенныи к единице массы или обьема, представляет „напряжение", или, чтооы не спугать с использованным ранее термином напряжения для поверхностной силы, отнесенной к единице площади, лучше скажем, интенсивность поля главных векторов поверхностных сил в потоке.
Эту величину можно было бы еще иначе назвать интенсивностью обьемкого действия поверхностных сил. Умножая эту интенсивность соответственно на элемент обьема или массы, получим главный ветпор поверхностных сил, приложенных к выбранному элементу объема нли массы, Могут быть случаи, ко~да при наличии поверхностных сил обьемное нх действие во всем по~оке равно нулю; это имеег место, как в дальнейшем будет показано, например, прн безвнхревом движении вязкой жидкости. Введем следующую дифференциальную операцию над тензором напряженности Р в предельном интегральном представлении (при стремлении йе к нулю й-, как всегда, стягивается к данной точке пространства): 1 Вйч Р= Вш — ) пРйч (31) Ьс.ье й' ' Ь н назовем этот вектор дивергенцией тензора Р.
Заглавная буква в символе Р1ч поставлена, чтобы подчеркнуть отличие операции П)ч от операции д1ч, производимой над векторной функцией. Как было показано в предыдущем параграфе, тензор напряженности Р характеризует напряженное состояние сплошной среды в данной точке. Только что введенный в рассмотрение вектор представляет собою векторную меру неоднородности напрязкенкого состояния среды. Зтой мерой, как видно из предыдущего, служит отнесенный к единице объема главный вектор сил, приложенных к поверхности, ограничивающей выделенный в среде объем, если этот объем устремить к нулго, стягивая его боковую поверхность к рассматриваемой точке 15) оиция я ввнепия динлмики оплошной сеиды 97 В!ч Рй.
- — главный вектор поверхностных сил, приложенных к замкнутой поверхности о, ограничиваюпгея конечный объем т, причем по (24) и (12): ~ О!чрйт = ~ рпйо=- ~ пРдж Оггюда вытекает формула ~ пР йз =- ~ !)! ч Р йт, и т ( )2) верная для любого тензора 2-го ранга и представляющая тензорное оообщенне формулы Остроградского 1(бб) гл. Ц. Задаваясь топ или другон координатной формой элементарного обьема ьт, можно по формуле (31) нанти координатное представление вектора О!ч Р.
Так, например, примем за ат декартов прямоугольный параллелепипед со сторон ми ах, ау, ав, тогда, поступая аналогично тому, как это улге неоднократно де:щлось н предыдугцей главе (например, в б 11), будем иметь: !р р — аг--!Р~ ауаг+...-)-~ КР+ Ьг- -КР~ ахау д(!Р) ч Г д (КР) ! Ич Р -.=- !! и . т.+ в ахауаг д (!Р) д ()Р) д (КР) — + — + — ' дх ду дг по по основному равенству (!2), верному для любого наклона плопидки, и, в ~астности, при п = 1, п = ) н и = ри )Р = р, )Р = р„, КР = р„ 'ледовательно, в декартовой системе координат: дра дри др, О(чР = — + — '+— дх ду дг (99) з . ниь л.
г. л в и * а. Если тензорное поле однородно, то вектор дивергенции повсюду будет равен нулю. Обратное заключение, конечно, не имеет места: из равенства нулю дивергенции тензора в некоторои области еще не следует постоянство тензора в этой области. Применяя принятую терминологи!о, можем еще сказать, что дивергениия гпензора напрялсвнности определяет вектор интенсивности обьемного действия поверхностных сил в данной точке потока. Произведение вектора Р!ч Р на элемент объема йт дает главный вектор поверхностных сил, приложенных к поверхности, ограни ~нваюп(еп элемент йт, а интеграл оснозпыз ч лнш:пгнг лвижзния и глвновгсия )гчг. и нли в проекпиягы др„ — + др„ де дрсв де " (33') ор сге ' Формула (33) с внешней стороны несколько напоминает выражение дивергенции вектора в декартовых координатах (формула (63') гл.
Ц: да„дссч да, Нчи = — + — "+=, дх ду де ' однако сходство это чисто внешнее. Действительно, в формуле ливергенции тензора (ЗЗ) под знаком производных стоят зависящие от выбора системы координат векторы р, р„, р, напряжений, приложенных к площадкам, перпенликулярным осям х, у, з, а сама величина Р!ч Р представляет физический вектор; в формуле же дивергенции вектора дгчп под знаком производных стоят алгебраические величины проекций вектора и, а дгча представляет физический скаляр. Полученные формулы дивергенции тензора несколько трудны для запоминания," в связи с этим можно предложить простое символическое их выражение, основанное на символическом равенстве: РгчР .
чР, (34) где справа стоит произведение условного „вектора"-оператора ч д д д с проекциями —, —, — на тензор Р. Применяя формулы (20) гл. г дх' ду' де умножения вектора на тензор, без труда составим проекции (33') РгчР на оси координат; для целей запоминания, наряду с формулой (34), можно предложить еще формулу (33), легко запоминающуюся по своей внешней аналогии с формулой дивергенции вектора. Интегральная формула (32) допускает символическое представление: )' пР йо = 1 ЧР а' .
(35) Пользуясь введенным понятием дивергенции тензора, можем пред- ставить основное уравнение динамики сплошной среды (28) в форме р — „= рг + Ргч Р. йЧ (36) Применение к объему; теоремы об изменении момента коли чества движения приводит к выполнению уже ранее выведенных соотносиений взаимности касательных напряжений или, что всв др гл (Ргч Р) . =- — "-'+ дх др „ (Рпс Р) + дрх (Рш Р), = — + дх ду дрва — + ду дрт —,+ дг 161 авшие г лвнення динамики сплопшой сееды — ~ гХрУдт= ~ гХргдеь- ~ гХря~7е, Ж (37) т где г — вектор-радиус центров элементарных об ьемов ат и площадок 4а, к которым приложены векторы количеств движения, массоных внешних сил и внешних напряжений.
Объемный интеграл, стоящий слева, равен ~ лг (' др Л.~ — ! г Х рЧ дт =- — Х рУ дт + ( г Х р — с(т + ~ г Х Ч вЂ” (р ат). Первый интеграл в правой части этого раненства обращается в нуль, дг так как — = У последний интеграл равен нулю по условию сохранс|й ния массы элемента жидкости (15), так что будем иметь: д Г лЧ вЂ” ~ г Х рЧдт= ( гХ р — дт. де.~ де (38) Далее, поверхностный интеграл, стоящий справа в формуле (37), легко по предыдущему преобразуется в обьемный. По (9) будем иметь: / (гХ р„)Ие= ( гХ(п„р +п„ря+пр) да= == ~ (п„(гХ р,.)+па(г Хр„)-ч п.
(гХ р.11да, откуда по формулам (26) следует; ~'~д(гХ р ) д(гХ р„) д(гХ р.,)1 +~~(~~ХРл)+~дЭХРВ)+(ляХР*)1 или, замечая еще, что дг д — =- — (х1-, 'у)+г'к) =.,1, дх дх дг — =А ду дг дг — = 1с равно, к самметричн<>сипи тензора напрпженносгпа. Денс гвительно, теорема об изменении главного моменга количеств движения можег бьгп, записана так: 166 основныв тглвнзния движения и влвноввсия !1л. н будем иметь: /( Х .) ч-==- Ц Х( — "+ — "'"+' — ')/.+ + / ((1 Х р,,) + (1 Х р, ) + (1с Х р,)) а1т. (39) Собирая теперь вместе результаты преобразований, представленные формулами (38) и (39), можем переписать основное уравнение моментов (37) в виде: ') = дт' дрм дрв др,, г Х ( з — — рр — — — — — — ) г7т = дт ' дх ду дг 7 ч =- / ((1Хр.)+(1Хря)+(йХрь)) 7т (40) Интеграл, стоящий слева, равен нулю, так как по (28) равно пулю выражение, стоящее в скобке под знаком интеграла; отсюда, в силу произвольности объема интегрирования в правой части, по- лучиап (1 Х р.)+(1 Х р„)+(йХр,)-о, 9 16.
Тепловые явления в жидкостих и газах. Закон сохранения энергии и уравнение баланса энергии Уравнение непрерывности и уравнения движения в напряжениях представляют систему динамических уравнений, описывающих взаимную связь между изменениями плотности и скорости, с одной стороны, н приложенными к жидкости или газу поверхностными и массовыми силами — с другой. Для решения вопросов движения жидкости или газа этих динамических уравнений оказывается недостаточно, так как рассматриваемые обычно движения тесно связаны с непрерывными взаимными превращениями механической энергии в тепловую. Так, например, после ~его проекгированием на оси координат нетрудно вновь получить равенства (14), выражаю цие симметричность гензора напряженности или теорему о взаимности касательных напряжений. Только по изложенное доказательство является не зависящим от приведенного в предыдущем параграфе и основанного на использовании частного вида объема — элементарного тетраздра.
Если же принять предыдущее доказательство и считать теорему о взаимности касательных напряжений уже доказанной, то прил1енение теоремы моментов к конечному объему приводит просто к тождеству, т. е. нового уравнения динамики не дает. 16) эвлвнение БАлАнсА энкэгии хорошо известно, что газ при сжатии его поршнем в цилиндре разо- ~ ревается, при расширении, наоборот, остывает. В первом случае механическая работа сжатия переходит в тепло, во втором — работа расширения происходит за счет тепла газа. Аналогичные, только гораздо менее интенсивные процессы происходят и в капельных жидкостях (вода, масло). Широко распространено явление заметного разогревания движущихся по трубам жидкости или газа за счет внутреннего трения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
