Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Напомниы общий способ построения векторных линий, особо поучительный в данном конкретном случае. Рассмотрим в данный момент 1 вблизи точки М (рис. 14) вращающийся элементарный объем чт и отметим вектор угловой скорости ю его вращения. Переместившись вдоль этого вектора на малый отрезок ММ', проведем в тот же момент времени 1 вектор о>' угловой скорости вращения элементарного объема в точке М', затем вектор угловой скорости ю" в точке М" и т.
д. Полигон ММ'М"... в пределе образует вихревую линию. Элементарные жидкие объемы, расположенные вдоль линии, вращаются вокруг касательных к ней в соответствующих точи ках. Вихревая линия играет роль кри- Г волинейной оси вращения этих объемов. и Представим себе элементарные объемы 1. ) жидкости как „бусинки" с заранее и проделанными в них отверстиями для продевания нитки. Непрерывность поля скоростей в жидкости приводит к таРяс. 14. кой ориентации „бусинок", что нитка, продетая в одну „бусинку", попадет точно в отверстие следую)цей „бусинки" и т.
д. Нитка, проходящая через отверстия „бусинок' (рис. 14, справа), дает представление о вихревой нити или линии. Конечно, образ твердых „бусинок" отражает лишь вращательное движение элементарных объемов жидкости и ничего не говорит о непрерывной деформации этих объемов. Кроме того, вращение объема жидкости вокруг данной оси нельзя рассматривать как некоторый длительный процесс во времени; вихревая линия является огибающей мгновенных осей вращения.
Расположение этих мгновенных осей во вращающихся жидких объемах все время изменяется. Вместе с тем изменяется и конфигурация самих объемов, так как жидкость совершает еще деформационное движение. 1 Вектор ю = — го1 Ч представляет мгновенную угловую скорость 2 некоторого воображаемого твердого тела, которое образовалось бы при мгновенном затвердевании рассматриваемого жидкого элементарного объема.
Можно дать еще другую интерпретацию вектора угловой скорости жидкого объема. В любой точке деформационного скоростного поля 2 12) 73 вихнввыв линии и тгтвки жидкости в данный момент времени существуют такие три взаимно перпендикулярные оси !главные оси тензора скоростей деформаций), скорости скошенна которых равны нулю. Такой, для разных точек пространства различный „жесткий скелет" будет в данный момент времени иметь угловую скорость, как раз равную ' ! 1 ю = — го! Ч = — 12. 2 2 Проведя вихревые линии через точки замкнутого элементарного контура, образуем элементарную вихревую трубку; аналогичным приемом получим вихревые трубки конечного размера.
Вихревые трубки обладают обшим свойством, выражаемым второй теоремой Гельмгольца; лоток вихря вектора через сечение вихревой трубки одинаков длн всех сечений трубка. Для доказательства этой теоремы рассмотрим сначала конечную вихревую трубку,(рис. 15) в поле любого вектора а и отсечем от и' Рнс. 15. нее двумя произвольными сечениями о, и оя некоторый конечный обьем т; боковую поверхность вихревой трубки, ограниченную контурами этих сечений, обозначим через еемн Тогда, применяя к выделенному объему трубки интегральную формулу Остроградского (66)э получим для вектора го!а: ~ (го!а)„бе+ ) !го1 а)„агс+ ~ (го! а)ье йэ = ) 61ч го! аагт, 'еек ' См. Л. Г.
Лойнянский, Аэродинамика пограничного слоя. ОГИЗ ГТТИ, 1941, стр. 13. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ [гл. 1 где и' — внешняя нормаль к поиерхности интегрирования; заметим, что, по определению потока вектора, первые два интеграла в левой части определяют потоки вихря вектора а сквозь два произвольных сечения вихревой трубки в направлении изнутри объема наружу, третий интеграл равен нулю, так как на поверхности вихревой трубки нормаль перпендикулярна вихрю вектора; наконец, легко подсчитать, что интеграл в правой части тождестиенно равен нулю, так как Обозначим через и нормаль к поверхностям сечений о, и е, направленную в сторону вектора вихря, т.
е. внутрь объема для сечения о, и наружу — для гя; тогда найдем ~ (гога)„сЬ = (Г (го1в)„йо, (75) что и доказывает вторую теорему Гельмгольца, проформулированную для любого векторного поля. Полагая: 1 а = Ч, го1 а = го1 Ч = О, — го1 Ч = ю, получим гидродинамнческую форму равенства (75): Гг„де = сопз1 нли ~ м„йа = сопз1. (76) Из равенств (76) вытекает следующая гидродинамичгская формулировка второй теоремы Гельмгольца: попок вихря скорости сквозь сечение вихревой трубки одинаков в донный момент времени для всех сечений трубки, или иначе: по!пои угловой скорости сквозь сечение вихревой трубки одинаков в донный момент времени для всех сечений трубки.
Доказанная теорема приобретает особенно простой и наглядный смысл, если ее применить к элементарной вихревой трубке. В этом случае можно провести плоские сечения нормально к вихревым линиям трубки, н, в силу малости площадей этих сечений сЬ, и аея, напн- сатгк а !го = ыяг(о или мив= сопз1. (76') Отсюда следует, что в меньшем по площади сечении трубки угловая скорость вращения больше, и наоборот. Одинаковость потока вихря вектора сквозь любое сечение вихревой трубки позволяет принять поток вихря зз меру интенсивности 13] ИНТЗНСИВНООТЬ ВИХРЯВОЙ ТРУБКИ И ЦИРКУЛЯЦНЯ 75 вихревой трубки и положить 1=- ~ (го1а) де.
В кинематике жидкости под интенсивностью вихревой трубки понимают поток вихря скорости 1 = ~ (го1 т')„де = ~ Я„до. (77) В некоторых курсах под интенсивностью вихревой трубки скоростного поля жидкости понимают поток вектора угловой скорости (77') Важным следствием доказанной теоремы Гельмгольца является невозможность окон- Рис. 16. чания вихревой трубки в жидкости, так как при уменьшении площади сечения трубки до нуля угловая скорость превратилась бы в бесконечность (рис.
16). Как показывают опыты, вихревые трубки либо образуют вам= = кнутые кольца, либо заканчиваются -.=- -~ро†~я'----~ — — на стенках сосудов или на свобод'--г'-~~ " ь:3: ==':у- =- ных поверхностях (рис, 17). Подчеркнем еще раз, что вторая теоремз Гельигольца говорит об одинаковости потока вихря вдоль ьзт ~4"=-~ трубки в данный момент времени; о том, будет ли интенсивность Рнс. 17. трубки постоянной во времени или нет, можно судить лишь на основании рассмотрения динамического процесса движения трубки, хзрактера приложенных к жидкости сил, физических свойств жидкости и др. 5 13. Выражение интенсивности вихревой трубки через циркуляцию вектора по контуру, охватывающему трубку.
Теорема об изменении циркуляции скорости во времени Интенсивность трубки, так же как и вихрь скорости, не поддается непосредственному измерению. Сравнительно просто можно мерить скорости частиц жидкости, Естественно встает Вопрос об установлении связи между интенсивностью вихревой трубки и распределением скоростей в жидкости, 76 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ [гл.
г в в Глв(и) = ~ и ° йг= ~ асов(а, йг) йз= в в = ~ а, йз = ~ (а йх + ав йу + а, йв). А А (78) Если точки А и В совпадают, циркуляция вектора по замкнутому в этом случае контуру будет обозначаться так: Г(а) = ф а ° йг = ~ а„йв и т. и. Вспомним, что такого рода формулами приходилось уже пользоваться в теоретической механике при вычислении работы, равной циркуляции силы.
В случае замкнутого контура необходимо условиться в выборе положительного направления интегрирования вдоль контура. Для этого Рнс. 18. рассмотрим некоторый себя не пересекающий замкнутый контур С (рис. 18) и проведем через него разомкнутую поверхность о, опирающуюся на этот контур. Будем различать у поверхности в две стороны, например, выпуклую и вогнутую.
Одну из них, на рисунке выпуклую, выберем произвольно за положительную и условимся в ту же сторону откладывать и положительное направление нормали к поверхности. Выбрав положительную сторону поверхности и направление Для Решения этого нопроса введем характерную для поля скоростей величину — циркуляцию скорости вдоль некоторой линии; понятие циркуляции скорости представляет одно из самых основных понятий современной гидромеханики. Напомним сначала общее определение циркуляции: циркуляцией вектора ло некоторому контуру называется вычисленный вдоль контура криволинейный интеграл от нроекции вектора на касательную к контуру. Примем обозначение (рис.
18): $ 13) интенсивность вихаввой твхвчн н цивктляция 77 нормали к ней, примем за положительное направление обхода по контуру такое, при котором для наблюдателя, смотрящего вдоль положительной нормали, прн обходе контура поверхность остается слева. При рзссмотрении контура, лежащего в одной плоскости, можно дать более простое правило: положительное направление обхода плоского контура совпадает с направлением вращения головки и' винта, когда сзм винт перемещается в направлении положительной нормали к плоскости контура. Чтобы установить связь между интенсивностью вихревой трубки в поле вихря некоторого вектора и цнркулацней этого вектора по контуру, возьмем сначала плоский малый контур ЬС (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
