Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 22
Текст из файла (страница 22)
е. к стационарности поля плотное>пей среды. Уравнения в напряжениях 129) на основании таблицы (53) дают гчедующую систему основных уравнений равновесия среды: 156) 166 основные тплвпвння двнжигия и влвновесия ~!э!. и называемых уравнениями Эилери (швновесия жидносгии или газа, Система (56), о !евидпо, эквивалентна одному векторному уравнению (57) ВР = дг!!й р, ко!орос можно было и сразу вывести из (37), заметив, по по (53), (51), (55) и интегральной формуле (70) гл, 1: 4)1ч Р = Р1ч ( — р6) --- 1пп — ~( — пйр Нс = 1 Г ат.+о а 1 ==. — 11щ — ~ прда = — тай р.
ь .+е а которое, при наличии .!.олько теплопроводносги приводится по (46) к уравнени!о: рсе —.— =- 51т (1 втаб Т), дТ (59) а при возможности считать коэффициент теплопроводности постоянным 1св!. формулу (49)) — к уравнению: дТ вЂ” = а тЯТ, дг (6 О) гле постоянный коэффициент а называют коэффициентом те.ипсратуроароводности. Рассмотрим подробнее основное уравнение равновесия в векторной форме (57). 11ростыми операциями из него можно исключить плотность и давление. Для этого возьмем сначала от обеих частей векторного равенства (57) операцию вихря го1, тогда р пропадет, так каь гог афтаб р = О; будем иметь го1(рР) = О или, раскрывая скобки по изнестному правилу векторного анализа, получаем рго1Р+пгад р Х Р = О.
(61) Умножим теперь обе части этого равенства скалярно на Р; ~огда, заметив, что второе слагаемое, как векторное произведение, перпендикулярно своему сомножителю Р, найдем следующее общее ограничение, накладываемое на класс сил, под действием которых возможно равновесие жидкости или газа: Р ° го1Р= О, (62) 11!скопец, уравнение баланса энергии (45) лает тепловое условие равновесна жидкости или газа дТ с,.— = 7, ' дг 107 17] овщнь уилннкния Гзицовьсно! 0 сос>оянка нли, н проекциях на осн декартовых координат: дР дР,, дмм др.
д>; д>', и(д д )+ в(.д д-) ! (д д ) К !пслу объемных сил, удовлетворяющих услови>о (62), относятся прежде всего силы, имеющие потенциал П, так как для них Г= — нгаб П, го(Р=О. В ятом случае, как легко усмотреть нз равенства (61), а!ядр х', нгаб П = — О, (63) нгаг( р к, нгай р = О Р Х лгад р = О, или по (57) отсюда, на основании (61), вытекаег го! Г = О, Г = — ага 4 П. Если в движущемся или покоящемся газе плотность является Яун>синей только давления, то такой процесс движения или равновесия называется баротропным. Из предыдущего следует, что баротропное равновесие газа возможно при наличии только потенциальных сил, так как при условии о = р(р) изобары н изостеры, очевидно, совпадут; следовательно, как только что былс показано, силовое поле должно быть потенциальным.
Более общее условие (62) имеет смысл требования существования в силовом поле поверхностей, ортогональных к силовым линиям," причем эти поверхности в общем случае не должны совпадать с нзостерами. ' См. Л. Г. Л ой ця иск н й и й. И. Лу р ье, Курс теоретической механики, ч, П. 1940, нзд. 3, стр. 164. о!>ууа следует, чго силовые линии поля потенциальных объемных сил ортогокальлы изос>лерам (поверхностям одинаковой плотности), а также, что изостеры совпадаю>п с изопотенциольными поверхностнми силового полн.
Из (57) следует еще, что при равновесии среда силоам!' линии пгрпендикулярны изобарам (поверхностям одинакового давления). Таким образом, вообще, при равновесии жидкости кли газа пол цейс!вием потенцна>гьного поля объемных снл изопотенциальяые поверхности полн совпадают с изооарами и изостсрами. Можно доказать и обратное предложение: ес ги изобары совпадают с изостерами, то равновесие жидкости или газа возможно только под деиствием потенциального полн объемных сил. Пействительно, по условию, 108 ОснОВные угьвиения движения и РЕВИОВесия [гл. и Система уравнений (57), как уравнений в полных дифференциалах, представляет лишь одну связь между двумя неизвестными величинами р и Р, уравнение (59) — также одно уравнение с двумя неизвестпымн 1 н Т.
Чтобы сделать систему уравнений равновесия определенной, необходимо добавить еще уравнение состояния газа, называемое обычно уравнением Клапейрона: = 77Т, (64) Р и уравнение зависимости коэффнпиепта тсплопроводпости от температуры: 1= Л(Т). (65) Ясли равновесие баротропно, то р=р(р) Это имеет месго, например, в следующих случаях: 1) газ неежимаем, т. е.
имеет повсюду одинаковую плотность (66) о= сопя1; 2) равновесие изотермическое, при котором Т = сопя! = То, а следовательно, по (64): р = — = сопя[ ° р = — "р; (67) ЙТь рч 8) равновесие адиабатичеекое (без притока тепла извне), отвечающее известной из курса термодинамики адиабате: Р = сопя! ° Р" =+Раз Рь, (68) Ре л '(р) =,! ° ' Г ар . ,3 Р(Р) ' (7 О) где >г — показатель адиабаты, равный отношению теплоемкостей газа прн постоянном давлении с„ и постоянном объеме е„; для воздуха к = 1,405.
Значения величин ро, ро, То относятся к какой-нибудь одной характерной точке покоящегося газа. Задача сводится, таким образом, к решению уравнений (57) и (59) при тех или иных дополнительных связях между термодинамическнми элементами р, р и Т. Останавливаясь лишь на случае баротропного равновесия газа в потенциальном силовом поле, папи!нем уравнение равновесия в виде; — р дгад П = дгаб р.
(69) Введем в рассмотрение функцию даеленин 17! ОБщие уРАВнения РАВнОВеснОГО состояния !09 1 — — дгад р = — пгас! Вт. Итак, при баротропном равновесии среды объемное действие среды на выделенное в ней „единичное тело" (единицу объема или Вассы) образует потенциальное поле с потенциалом, зависящим ~полька от характера баротропности процесса, Уравнение равновесия (69) может быть переписано в форме егаб П+ пгад 3' = О, откуда следует„что при равновесии среды во всех точках ее выполняется равенство П+ Ф = сопз!.
(71) В качестве иллюстрации рассмотрим приближенные уравнения равновесия атмосферы под действием силы тяжести. В этом случае, направляя ось г вертикально вверх и помещая начало координат па уровне моря, будем иметь (го — некоторая высота над уровнем моря); П=д( — ). Функция м для изотермического случая будет определяться па основании (66) так: р р в = ! — = — з! — — !и —. г йр Р Рар Р (72) Р (Р) Ро Р Ро Ро р Рг Условие приближенного равновесия атмосферы между пунктами г, и гг по (71) можно написать в виде: д (гг †.В,) + — 1п — = О, Рг Рг Рг Рг (73) где р„р, и ря, ря — значения давления и плотности на высотах г, н гя над уровнем моря, Формула (73) представляет простейшую градиент ее по (70) равен: йтад й = — огай р = — Ртад р.
азг 1 дг ь (70') При баротропности равновесия газа функция давлений 1в играег роль потенциала или потенциальной энергии поля отнесенных к единице массы главных векторов поверхностных сил, сводящихся в случае равновесия к силам давления. Можно сказать также, что Функция давлений представляет потенциальную энергию интенсивности объемного действия поля давлений. Действительно, в полном соответствии с обычной связью между векторным силовым полем н его потенциальной энергией, имеем по (70'): 110 ОСНОВНЫЕ УРЛВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РЛННОВКСИЯ (гл.
Я! щ, Р = Р„е (73') Формулу (73) или (73') можно применять с большой точностью, если разбить весь интервал ее применения на малые промежуточные интервалы (л, л") и в начале каждого следующего интервала е=г" пользоваться новым значением отношения Р")р", исправленным на новую температуру 7" по формуле и новым значением р", вычисленным по (73) из равенства й'(ек — л') + — 1и — = О.
Р Р» Г Р Обычно поступают несколько проще. Обозначим разность двух блнзкнх высот еь — е, чеРез ах, Разность соответствУюЩнх нм Давлений Р,— Р, через ДР; тогда равенство (73), согласно (66), примет внд: йае+Ят!п(1+ ~) =О, Р1 где под Т будем понннать среднюю температуру воздуха в пшерззлс (е е~+ ае): 1 т= —,(Р,-) те). 2 Отсюда найдем ах =- . — — 1п ( 1 + — -), РЛ г ЛРт и Р1 нлн, пользуясь разложением логарифма з ряд, .
й'Р ар, геу ДР гТ ДР а Рь а' 1 л Р~ — — ЛР 2 2 (Р1 + Рт) Мозсно еще перейтн от абсолютных температур к обычным по формуле — ! 1 — 1 т=е+ — = — (!- .г), л= —, 273 ' н получпть приближенную формулу: 273Р Р~ Рь (1 7) й Р!+Ря (7Ц баромещрическую формулу, позволяющую приближенно определ!Иж высоту ля пункта над уровнем моря по измеренному барометром давдению в этом пункте, если известны Р, и р, прн л= л!.
Полагая и! — — О, Р! —— Р, о = р, ля = л, Р„= Р, ря — р, можем придать формуле (73) простой вид: 171 Озпгнх уРлзпения Равновесного состояния Замечая, что для сухого воздуха )с =- 29,27 д' мз/сеньгр ад, приведем формулу (74) к такому окончательному виду: Ьг ' 16000 1 (1+аг) м, Р1+ Ръ удобному для практических измерений. (75) йр Р— =РТ, Т=Т вЂ” сл, Р Р где газовая постоянная )с для сухого воздуха равна 29,27д ме сенвград, „= 273'+ 15' = 288', с = — ' = 0,0065 град(м. Интегрирование этой системы уравнений не составляет труда.
1!меем: )РТ ар Рйг — др = — е дг Р Р Л (Тч — ег) е Р е ( йг л / с 1п — = — ) — =- — 1п (1 — — г). Р„= )Ре .) Т„)Рс (, Т„ о — — г с Отсюда следует (р„— атмосферное давление на уровне моря, принимаемое равным 760 м.и рт, ст.), что — '=( — +.) или, подставляя числа, Р, ( 44800/ Р Лля стратосферы начальная температура принимается равной — 56,5'С и интегрирование проводится так же, как и для изотермического случая. л Таблицы международной атмосферы можно найти в специальных курсах и справочниках. При технических расчетах пользуются обычно так называемой стандартной атмосферой, согласно которой в нижних слоях атмосферы — в тропосфере (О ч. г 11 нм) — температуру принимают падающей от значения 15'С вблизи уровня моря на 6,5" С на каждый километр, а давление на уровне моря — равным 760 мм рт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
