Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Снарял, летящий с большой скоростью в воздушной атмосфере, сильно разогревается, значительно повышается при этом и температура воздуха вблизи поверхности снаряда. Вот почему к уравнениям предыдущего параграфа необходимо присоединить еще уравнение баланса энергии в потоке. Чтобы составить уравнение баланса энергии в движущихся жидкости или газе„вспомним общий закон сохранения энергии, который в применении к движущемуся индивидуальному объему можно формулировать так: изменение полной энергии обьема жидкости или газа за бесконечно малый про.иежуток времени равно сумме элементарных работ внешних массовых и поверхностных сил, приложенньгх к выделенному обьему и его поверхности, сложенной с элементарным количеством тепла, подведенным извне к обьс,иу за тот же промежуток времени. В дальнейшем булем считать движущиеся жидкость илн газ совершенными, т.
е. будем предполагать, что внутреннее молекулярное движение в них сводится к свободному соударению абсолютно упругих шариков, не подверженных действию межмолекулярных сил и столь малых по величине, что можно пренебречь их вращением. В этом предположении можно считать внутреннюю энергию равной произвелению абсолютной температуры Т на коэффициент теплоемкости при постоянном объеме с,— для сжимаемого газа или на коэффициент теплоемкости с — в случае несжимаемой жидкости. Уравнению баланса энергии жидкости или газа в индивидуально движущемся объеме ".
с поверхностью о можно придать следующую интегральную форму: а ) й1,Лс»Т+ — ) ат = ~ рг ° Ч ит+ Г р» ° у ии+эгь (4\) Г Слева в уравнении (41) стоит индивидуальная производная по времени от суммы внутренней и кинетической энергий объема, справа— сумма мощностей массовых сил, приложенных к объему (первый интеграл), поверхностных сил (второй интеграл) и выраженное в механн|еских единицах количество тепла, подводимое (отводимое) в единицу времени к индивидуальному объему извне за счет теплопроводностн или лучеиспускания; множитель э' в левой и правой частях обозначает механический эквивалент тепла (/ = 427 кг ° м,'кал), позволяющий ясе члены уравнения (41) выражать в одинаковых механических единицах мощноети, ОСНОВНЫЕ УЕЛВНВНИЯ ДВИЖЕНИЯ Н ВЗВНОВ!гСНЯ [гл. н (.ледуя приемам нредыдущего нараграфа, выразим оое час!и уравнения (41) как объемные интегралы от соответствующих величин.
Леву!О часть уравнения (41), используя закон сохранения элементарной мзссы (151, нреобразуем так: — ( й (,lс, Т+ — )г1г =-- ~ р — (Угар+ —,) г1г-(- + ~ (УЕ,У-1 — Л) ит(рот) =- 1 р ис(,УС!Т+- —.,)а1т (4~) 11овсрьностный интеграл в нравон чзсги (41) можно на основании фориул (й) преобразовать к виду: ) Р„° Чп'г =- / (лхРа ° Ч+ п„РВ ° Ч +паР„° Ч( гл =-. / лиг(РЧ 1„. 1- л„1РЧ) а Л- и. (РЧ)4 !! г ==- ~ н .
(РЧ1 !1т, а н.н!, !юсно. !,!овавннгс! форчулон 11сгроградского (66) гл. 1, ри ° Ч г1г — - ) 6 1у (РЧ) ггт, а а Введем обозначеннс: й!1 Чт (4.1) и (', Чг! Р— ( ус ! Т+ — ( = (аР ° Ч вЂ” ' 61У (РЧ) + У1ад. )=- (45) В декартовой системе координат, если вьннсать явно зна!ения индивидуальной нроизнодной и дивергеннии, уравнение (45) приме! внд: р ( — + и — + Π— + ти — ц! 1Са Т+ — (иэ — ОЗ -; сиз) ! = (,дт дх д! дг!'~ ' 2 = ! 1иг'и+вги+ тиь ) + д . (Р и+Рхгаз ! Р.
аах) + + — (Ра,и -1-Ру„о+ Р„ати) 4- д (Р, и+ да!О +Раати)+ гИ. (46!) д д где под !Т условимся понимать секундный нригок тепла к бесконечно малому обьему в данной то!ке, отнесенный к массе этого обьема. Подставляя в уравнение (41) найденные выражения поверхностных интегралов через объемные и используя произвол в выборе объема -., получим уравнение баланса энергии В дифференннальной форме: )6) ч]лвнюпп ьл]мюл >]п.л нн Вели ]ина ]7 секу]шпого притока тепла.
о!песенного к единице массы, моя!от бь]гь определю]а, если известен сам процесс притока ! ]]пл;!. 1)спивным механизмом распросгр,п]ения тепла н мощности или га,]с является н]полог]роеодноен]ь. Заме ]ая, что коли юг !«о тепла с](>, проходяп]его п единицу времени !срез плепадку г)э. Равно по известной формуле Фурье "д дг где л — коэ]рфициснт ген.]онровп>ы]осгн. а прон,шолшш берегся по ка ]рявлению нормали к площадке ])т, бу>дел! нмепп . дТ вЂ” (л .
' а'1 7 )ч !' " 'д! отк],ш ]н] ]!«]Рмуле !)строгр,]лс!.О!.о (66) !.!. ]))ч() Мгас) '!'] ггп (17) н:]и, сравнивая с равенством (44), опр]лс,ьпо]пим 1.]7 = ]))ч (Х гад Т). 1лоэффнциенг теплопрозодности в газах,]заисит о! .]емперагуры, так ]то в общем случае величину ). за знак дифференпиалююго опера]ора г))ч выносить нельзя; об этом подробнее будет сказано в гл.
]]Ш. Заметим, что прн малых разностях тел]иератур в потоке можно я первом приближении положить )..-= сопз1; в этом слу ]ае будем иметь (49) ,э]7 .= 2 йч гад 7= ДчЯТ, де , дт , да где ля=-= ч ] == —. 4- — ',,—,' — „---снмво.! операм ]ра Лапласа. дхэ дуе ' дее 1)риток (положитель,ный или отрипате>п,пый) те]ша может проислодигь также б:шгодаря лучеиспусканию (например, в топках котлов, в металлурги ~вских пе']ах, в атл]оса]ерс пол влиянием солне ]ной радиации и др.) и по друг]]м фиан еским (конденсация.
парообразовапне и др.) н химическим (горение и др.) причинял!. Г!олучснная система динамических — (22) и (30) — и энергетического (46) уравнений, как легко заключить по внешнему их виду, крайне сложна, кроме того, число входящих в сис]ему уравнений на много меньше числа неизвестных, так что система является незамкнутой, неопредег]енно)). Для доопределения системы и возможного ее упрощения приходится делать р]щ дополнительных допущений, приводящих к более или менее отвлеченным схемам движения жидкости 104 основныв л'лвнвния лвнжания и глвновксия (гл. и илн газа. Таковы, например, схемы идеальной, т.
е. пе обладающей внутренним трением (вязкостью) несжимаемой жилкости и идеального сжимаемого газа, вязкой ньютоновской и неньютоновских жидкостей и мн. лр. Основные из этих схем булуг рассмотрены я лальнейшем па протяжении настоящего курса. Остановимся сначала на одном практически важном и интересном случае применения вынеленных общих уравнений в на у ьении о равновесии жидкости и газов.
В этом случае, как будет показано, составленных уравнений достаточно лля любой жидкой или газообразной среды, удовлетворяьопьей лиьпь двум основным принпипам, изложенным во введении: непрерывности и легкой подвижности. Согласно основному свойству яьнлкостей и газов — легкой подвижности, — при равновесии отеутеьпвуьопг иасательние силы сопротивления взаимному скольжению жилких объемов друг по отношению к другу по площадкам их соприкосновения, а действуют лишь нормальные к этим площадкам силы. Таким образом, при равновесии жилкости или газа векторы напряжений, приложенные к трем координатным и одной наклонной к ним площадке (й 14), будут равны: (50) Ре Риг(~ Рв Рьье1~ Ре Рве1с Рч Реи а касательные компоненты напряжений равны нулю: Реь=рех=рв =Р в = Рье=рт=0 (50') Подставляя аначения напряжений в основную систему равенств (10), найлем: Р„п = п„Р „Р„п„= п„ргш Р„п, = п,Р„, откуда сразу следует Р =Рвг=Р~*=Рч' (51) Общее значение нормальных напряжений, приложенных в данной точке жидкости к площадке любого направления, назовем д ьвлепиель в данной точке жидкости или газа и обозначим через „вЂ” Р" в знак того, что вектор напряжения направлен противоположно орту нормали к площадке: (52) Р„= — Рп, что соответствует сжатию выделенного объема.
Давление Р— такой же физический скаляр, как плотность, температура и др. % 1У. Общие уравнения равновесного состояния жидкости и газа. Равновесие воздуха в атмосфере. Приближенные барометрические формулы. Стандартная атмосфера 171 ОБщие унлнняния гяпноззсного с<)стояния 105 Тензор напряженности Р при равновесии среды имеет таблицу. — р, О, О о, о~ О, — 1, О =--1 О, 1, 0)= — р5. 15:1) О, О, — 1> О, О, Симметричный тепзор й, компоненты которого огне >ают условиям: 5.„=-.~я„=,".„=1, 5„,=5,„=~е,=О, нлзыяаюг единичным тензором или тензорной единицей. Последнии раиенства должны выполняться, оченидно, независимо от выбора системы координат, т. е.
единичный тензор должен останагься единичным при любом направлении взаимно перпендикулярных декартовых осей координат; это можно было бы показать и непосредственно на основании формул преобразования компонент тензора при изменении направления осей координат (см., например, ранее цитированный курс зекторного н тензорного исчисления Н.
Е. Кочина). Формула 112) вместе с !52) н (53) лает очевидную систему равенств: р„= пР = — рп$ = — — рп, !54) из которых, между г>рочим, видно, что пб=п, (55) тзк >то умножение орта и на тензорну>о единицу приводит к тому же пектору, — общее свойство умножения любого вектора на тензорную единипу, и чем легко убедиться, проделав операцию умножения по ранее установленному и гл. ! правилу 120). Чтобы вывести уравнения равновесия среды, т. е. ее относительного покоя, рассмотрим урапнения движения, частным случаем которых при равенстве нулю всех скоростей должны являться уравнения равновесия. Уравнение неразрыпности (22) сведется при этом к первому условию равновесия др — =О, д> т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
