Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Выделим нз области течения жидкости чисто безвнхревую часть, рассматривая боковые поверхности изолированных трубок как границы течения, например, как твердые стенки. 11ри таком рассмотрении движения в жидкости уже не будет изолированных вихревых трубок, но зато сама область течения станет многосвязной. Действительно, как уже упоминалось в следствиях второй теоремы Гельмгольца (б 12), вихревые трубки не могут заканчиваться в самой жидкости: они образуют либо замкнутые трубки — вихревые кольца, либо опираются на граничные поверхности (твердые стенки, свободные поверхности раздела). Во всех этих случаях замкнутый кокгпур, опоясывающий трубку, оставаясь в области безвихревого течения, ке может бьппь непрерывным преобразованием сведен в пючку (рис.
52); это и доказывает, что область чисто безвихревого движения прн наличии изолированных вихревых трубок не односвлзна. Для многосвязных областей в ранее проформулированную (й !3) теорему Стокса должно быть внесено исправление. Как видно нз ~олька что приведенного на примере вихревых трубок рассузпгения, циркуляция скорости по замкнутому контуру, опоясывающему кольцевую или трубчатую поверхность, паругиающею одкосвязность области течения, может быть отлична от куля.
Зта циркуляция, очевидно, зависит лишь от того, сколько раз контур охватывает трубчатую поверхность, и не зависит от формы контура интегрирования. Значения циркуляций прн однократном охвате поверхностей, нарушающих связность области, называют циклическилги постоянными многосвязной области. В частном случае нарушения связности области поверхностями вихревых трубок циклические постоянные оказываются совпадающими с интенсивностями вихревых трубок. В обшем случае при наличии отдельных вихревых трубок в безвихревом потоке жидкости в многосвязной области теорема Стокса должна быть сформулирована так: циркулация скорости по . амкпутолсу контуру, проведенному произвольнылг образом в многосвязной обгасти, отличается от сул)мы интенсивностей опоясанных контуром вихревых трубок па сум чу целых кратных циклических постоянных области.
ф 35) сохплнннив ципкхляцнн. потенцнлл скопостнй 217 Проводя дополнительные ограничивающие поверхности, можно превратить многосвязную область в односвязную. Так, например (рис. 53а), двусвязную область вне кольца (тора) можно сделать односвязной, если дополнительно провести поверхность э, закрывающую отверстие кольца. При наличии Рис. 52.
поверхности а проведение замкнутого контура С, охватывающего кольцо, становится невозможным. Если циклическая постоянная рассмотренной до проведения а двусвязной области была отлвчнз от нуля, то значение потенциала скорости чь (М) на одной, скажем передней, стороне поверхности с будет отличаться от значения у (М) на задней стороне поверхности а на величину циялической постоянной хотя значение потенциала взято в одной и той же точке М (рис. 53б).
В этом случае говорят, что потенциал скоро. отей т(М) при прохождении через поверхность а претерпевает конечный скачок 5 т+ — т , а поверхность а называют поверхностью раз- о рыва потенциала. Рассматри- ..Р- о зая поверхность а вместе и +гм с поверхностью 3 как гра- Р "ицу области, можно считать потенциал .;. непрерывным во всей области. Изложенные здесь уточ- 6 пения представлений об Рис. 53. одиозиачиости и многозначиост осио ости потенциала, а также о влиянии связности области течения, играют идеал иоз"ую роль в понимании важнейших представлений теорий обтекания тел Рази лезльиой жидкостью и, з частности, теории крыла бесконечного и конечного силы амата. Особенное значение имеет, лежащая в основе теории подъемной много крыла, идея интерпретации неоднозначности потенциала скоростей в вих ез госзязной области при помощи введения .присоединенной" изолированной ревзи ~рубки илп вихревой поверхности.
218 плоское ввзвихгевов движение жидкости (гл. и $ 36, Интеграл Лагранжа — Коши уравнений безвихревого движения. Теорема Бернулли. Некоторые общие свойства безвихревого движения идеальной несжимаемой жидкости в односвязной области В случае безвихревого движения идеальной жидкости легко указать один из первых интегралов движения. Для этого возьмем уравнение Эйлера в форме Громека (13) гл. П1: дг + Ягаб ( 2 + а1' -1- П) + го1 У Х У = О (9) и положим в нем, согласно (4), У = Кгзд е, го1 У =- О.
Тогда, замечая, что, в силу независимости операций частного нли д' локального дифференцирования по времени — и пространственноге „дг „вагаб": — = — дгаб е = йтас1 ( — ), дЧ д сдтт дг дг (дд' будем иметь вместо (9) равенство: сдт ассад(д + 2 +а+И)=0, (10) которое приводит к выражению первого интеграла уравнений движения д + +У+ П Р(г) дт дг (11) — = О, Р(Г) =сопз1, дз дг н равенство (11) превращается в обычное соотношение Бернулли ~7ь — +й+П= !, (12) причем, как уже указывалось в 9 25 гл. П1, ири безвихревом движении константа, стоящая в правой части, будет иметь одно и то же значение во всех точках движущейся жидкости, а не только вдоль линий тока, вихревых линий и поверхностей уровня механн" ческой энергии, где Р(Г) — произвольная функция времени„ определяемая из граничных условий. Полученное соотношение (11) называют интегралом Лагранжа — Коти.
Интеграл Лагранжа — Коши играет в теории нестационарного движения идеальной жидкости такую же роль, как теорема Бернулли при стационарном движении. В последнем случае 36) нптвгглл ллгглнжл — коши и твогвмл вввиулли 219 Если жидкость может рассматриваться как несжимаемая и объем,гых сил нет, то уравнение 112) принимает простой внд: р !ге р+ — = сопя!. 2 (12') В простейшем случае несжимаемой жидкости при отсутствии объемных сил получим: д+2 + ® дт ! я л дт 2 р при наличии сил веса добавляется еще член П =да: — + — ут+ — + г =- гг(Г). дв 1 р дт 2 р (14) При безвихрезом движении жидкости или газа три неизвестные величины — проекции скорости и, о, си — выражаются через одну неизвестную функцию — потенциал скоростей р (х, у, г; г).
Принятое допущение об отсутствии завихренностн вместе с допущением о баротропности движенля 1р=р(л)) сводит решение зацачи о движении жидкости или газа к разысканию двух неизвестных величин о и р. Для этой цели достаточно двух уравнений. В качестве первого уравнения возьмем уравнение сохранения массы + 6!ь (р7) О которое по формуле 61ч(р7)=61ч(рассад!р) =рче9+„гаор Вгай-;, гце символ чг означает оператор Лапласа де де де ся ) + дхе дуг дал ' г15) преобразуется к виду: — + р ч Я!р + Кгад р ° втаб .
= О. ! г дг (16) Совокупность уравнений (11) н (16) вместе с уравнением связи '!ежду плотностью и давлением в баротропном процессе дает искомую Интеграл Лагранжа — Коши, так же как и уравнение Бернулли (12), я случае безвихревого движения служит главным образом для выражения давления р через кинематические элементы р, 1г и координаты, от которых зависит П. Выражая У через проекции втаб о на оси декартовых координат, будем иметь: плоскОВ Вззэихгезов дВиженив жидкости (гл. ч 220 систему уравнений движения; пользоваться непосредственно уравнениями Эйлера при изучении безвихревого движения не приходится.
Для дальнейшего особый интерес представит безвихревое движение несжимаемой жидкости. В этом случае неизвестные функции разделяются; уравнение неразрывности (16) превращается в уравнение Лапласа для определения потенциала скоростей Чт= — -!- — ', + — =О д'ч дтв дгч д ' д в д (17) 1 ( дг 2 ((дх) +(ду) +(дг) ~ Безвихревое движение идеальной несжимаемой жидкости обладает многими интересными свойствами. Докажем следующую т е ар ему К ел ь в и на: если на границе некоторой односвяэной области вихревое движение совпадает с беэвихревмм, то кинетическая энергия беэвихревого движения в рассматриваемой области меньше кинетической энергии соответствующего вихревого движения.
Эту важную по своей общности теорему легко доказать, основываясь лишь на том, что скорости в безвихревом движении представляются градиентом потенциала скоростей и что дивергенция скорости несжимаемой жидкости равна нулю как для безвихревого, так и для вихревого движения. В самом деле, условимся обозначать символом Ь разность между соответствующими элементами вихревого и безвихревого движения. Тогда будем иметь следующее выражение для разинцы кинетических энергий: йт= ' ! ((Ч+ЗЧ)г — К)бч=е! Ч йрб.+— ' !'1йЧ1гбч. (12) 2,~ ,/ 26 Первый интеграл справа равен ') Ч ° ЬЧбч = ! йгаб З ЬЧбч е н по известной, неоднократно уже применявшейся формуле 6(ч'(ва) = гейча+ ягаб т.а (20) может быть преобразован так: Ч ° ЬЧбч = ! Игвб В ° йЧбе = ! 61ч(ЧЬЧ) бг — ! ч бич(ЬЧ) бч = в г — ! Ч (йЧ)„бч — ! „Д (б(ч Ч) бг, где в — поверхность, ограничивающая односзязный объем,а дивергенция разности двух векторных функций заменена на разность дивергенций этих функций.
По условию теоремы, движения на поверхности в совпадают, т. е. а давление р найдется после этого из равенства (14), которое ыожно переписать в виде: $ Зб) интеГРАл лАГРАнжА — кОши н теоремА ееРнулли 221 АЧ = 0 па а, кроме того, из условия несжимаемости б)УМ О. Таким образом, первый интеграл в равенстве (19) оказывается равным нулю, и остается равенство Ат= — '! )ИГ!эдт>О, 2,) Р= Р ~ )гги~ = — ~ ягабу ° ягаб Р г(ъ Р 2 2,) т т Применим вновь только что использованную формулу дивергенцпи произведения скаляра на вектор (20), тогда получим; Т =- — ~ б(ч (э егзб Р) бг — -х ~ Р д)ч егаб Т бт = Р (' Р (' 2,! 2,) — Р (ягаб Р) да — — РРэф г(ъ в В поверхностном интеграле, полученном из объемного по известной формуле Остроградского, под п понимается орт внутренней нормали, направленной внутрь объема жидкости, вследствие чего перед интегралом поставлен знак минус.
Замечая, что по (17) второй интеграл пропадает, будем окончательно иметь т= — — ~ Р— дв. Р!. дг 2,! Рдп (2!) Иэ этой формулы сразу саедует, что, если на ограничивающей односвязду иый объем жидкости поверхности е скорость равна нулю, то и И = — О, дп ~~куда по (21) сразу будет следовать, что и Т = О. Таким образом, вновь приходим к тому же результату, который следовал из теоремы Кельвина, нз которого и следует высказанная Кельвиным теорема.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
