Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 45
Текст из файла (страница 45)
При лальнейшем возрастании л угол я будет уменьшаться, количество ячеек возрастать. Изопотенциальные :<инин имеют уравне- нием =3 зг =у ги соя ле = Сч или, что все равно, г" з!и (не+ — ~ — — С'. 2/ гя'=0 Это уравнение— того же семейства кривых, что и линии тока, а и но повернутого на угол — = —. Изопогенциальные линии показаны 2 2и' на том же рис. 58 пунктиром. При а=1 оба семейства — прямые, при л = 2 — гиперболы, Рпс.
68 232 плоское ввзвихгквое движения жидкости (гл. г Ьбльший интерес для дальнейшего представляет случай и.= — — 1. Уравнеиие линий тока булат — ==- С. ми а Это, как легко сообразить, семейство окружностей, прохо!1юцих через начало коорлинат (рис. 59) и соприкасающихся в этой точке с осью Ох. Физический смысл констаиты а в выражении комплексного потенциала а Х= и более глубокое представление о самом движении будет дано в следующем пункте. Скорость течения обращается х в бесконечность в начале коорлинат и в пуль при з-+ со. Изопотенциальные линии, по предыдущему, представятся той же сеткой окружностей (на рис. 59 показанных пунктиром), но пог вернутой по предыдущему на —.
Оба 2 ' Рис 50 семейства окружностей взаимно ортогональны. 1 Отметим еще случай п = — с характеристической функцией 2 у,='г'с и углом а=2я. Чтобы найти линии тока, в этом случае лучше всего поступить так. Перепишем уравнеиие, определя1ощее характеристическую функцию, в виле х+ гу = уа = оэ — йа+ 2луф; тогла, сравнивая лействительиые и мнимые части и полагая в полученных при этом равенствах ф = с, найлем уравнение семейства линий тока в параметрическом виде х =оя — ся, у= 2счь Рис.
60. Исключая параметр а, получим семейство парабол 1 х= — у — с 2 я 4с" с вершинами на отрицательной части оси х, являющейся для парабол осью симметрии (рис. 60), 234 плосков вьзвих~квов движения жидкости ггл. т рзсход жидкости, отнесенный, конечно, к единице длины в перпендикулярном к плоскости течения направлении. Имеем: ~у ==-'?яг( 1г~ =- 2вг ~ — ~ =- 2вгЛ ~ — ~ = 2кгЛ ° — = 2гЛ, сИ ( г откуда слсдус~ Условимся парялу с исгочникоьг рассматривать сток, отличающийся лино направлением стрелок на линиях тока 1рис.
61б). Тогда в общем случае будем иметь характеристическую функцию для расположенного в начале координат источника или стока мощности и в виде у (в) = ч-. — 1и в, и ' йч (41) причем верхний знак относится к источнику, нижний в к стоку; при желании знак можно включать в определение величины гу, считая гу положительным в случае источника и отрицательным — в случае стока. 2 р=~~ гг~ггв= ~ ~ — 1ггге= 1 — ггЬ=2гВ ив~, г в 1 откула вытекает Г в =- —. 2л ' Пусть теперь А — чисто мнимая величина, равная В1, где  †у действительная величина.
Комплекс! ному потенциалу у = В11пг, как уже ранее было указано, будет соответствовать та же сетка кривых линиИ, что и в случае источника (стока), но линии тока и изопотенциальные линии поменяются местами 1рис. 62). Картина линий тока соответствует так называемому ииркулядионному движению жидкости вокруг изолированного точечного вихря, расположенного в начале координат, или, правильнее сказать, вокруг вихревой нити совпадающей с осью Ол. Чтобы найти смысл действительной постоянной В, вычислим циркуляцию !' скорости по некоторой окружности радиуса г.
Будегт иметь: й Зб! посыпании пвоптвйших полай течюпгя В зависимости от направления движения частиц будем нметгс Г! 1' — 1пл= — —.1пз, 2я 2гн Заметим, что как в случае источника (стока), так и в случае вихря распределение скоростей по абсолютной вели ~ипе отвечает формуле ~„,! ! !ч! !Г! т. е. величина скорости обратно лроаорцлонольни расстояния~ оог лавочника или вихря. В начале координат, где источник или вихрь расположены, скорость бесконечно велика; начало координат является особой точкой поля скоростей, а сами образы источника (стока) или вихря называют гидролинамическими особелностлзги потока.
В дальнейшем нам придется иметь дело и с другими „особенностями' потока: диполем, вихреисточником. Рассмотренные только что течения являются безвихревыми движениями несжимаемой жидкости, т. е. во всех точках области течения, исключая начало координат, которое является особой точкой, выполняются соотношения: ди до — + — =О дх ду ди до — — — =О„ ду дх в чем легко убелиться непосредственным дифференцированием. В начале координат производные приобретают бесконечные значения.
Если источник (сток) или вихрь находятся не в начале координат, а в некоторой точке Мз с комплексной координатой зо, то выражения характеристических функций будут: источник (сток): у(з) = — 1и (л — ло) (41') вихрь Х(з) = — 1п(з ) Г (42') Рассмотрим наконец случай комплексного коэффициента при Логарифме, а именно.' )г(з) = (А+В1)1п л, причем верхний знак, как легко сообразить, будет соответсгновагь вращению по часовой стрелке, нижний — обратному вращению.
Можно знак включить в опреде.ление величины Г и считать циркуляцию положительной тогда, когда нри обходе частицей жидкости окружности площадь круга осгаегся слева; этому соответствует комплексный потенциал цяркуляционного потока Гг Г у = — — 1п з = —.- ! и з. 2я 2.и' (42) плоское вьзвихггвов движение жидкости )гл. ч где А и  — действигельные величины. Такой комплексный потенциал можно рассматривать как результат наложения друг на друга двух потоков с комплексными потенциалами: », (е) =- А !п г, »э !г) = — Вг' ! и т. е. наложение на источник (с1ок) вихря. Сложное движение, составленное из этих двух лвижений, орелставляет те~ение жидкости вокруг вихреисточника !вихрестока) со спиралевидными линиями тока (логарифмическими спиралями), показанными на рис.
64. Если, вообще, » (г) = » !з) + » !г) ьФ, то в составном потоке комплексный вектор скорости будет равен сумме комплексных векторов скоростей слагаемых потоков !г, и !гя. действительно, з, ° ь йХ 'гХ1 и»э иг йг иг = ьг+ кя а следовательно, перехоля от сопрянгенных комплексов к основным, получим: Ряс. 63.
На этом основан простой графический прием построения линий тока сложного потока но линиям глана слагаемых иотоков. Рассмотрим (рис. 63) две пары смежных линий тока лвух слагаемых потоков: фо ф,+дфг и ф, ф +офг, пересекающихся под некоторым углом, причем прелположим, что эти линии тока проведены так, чтобы расходы жидкости сквозь трубки тока были одинаковы, т. е.
аф, = — Ьфя; отсюда, конечно, не следует, что расстояния межлу линиями тока в каждой из двух пар должны быть равны межлу собою. Можно лишь утверждать, что, если МЛ', ) 1' и Мг1г" ! !гг, то ~ 661 посте огнив пвостзйших полай течения 237 С другой стороны, площадь малого параллелограма ММ М~М, равна одному из следующих равных между собою выражений: А4Л', ММ' = Мй1' ° ММп Деля обе части этого равенства соответственно на обе части предыдущего, получим ММ': ~ 'к',~= ММ,: ~ )г ~, откуда следует, что отрезки ММ' и ММ, в некотором масштабе выражают скорости или элементарные прремещения частиц слагаемых дввкений. Проведя диагональ ММг параллелограма ММ МтМп получим в том же масштабе величину и направление скорости к, или элементарного перемещения сложного движения.
Отрезок ММт вместе с тем дает элемент дуги линии тока ф = сопз! сложного движения. Таким образом, построив достаточно плотную сетку линий тока двух налагаемых друг на друга движений, простым проведением диагоналей элементарных параллелограмов найдем сетку линий тока сложного движения. Единственную трудность представляет выполнение построения сеток линий тока слагаемых движений, удовлетворяющих условию одинаковости расхода. На рис. 64 приводится построение линий тока в случае вихреисгочника или вихрестока. Лучи (линии тока источника), выходящие из центра, проведены друг по отношению к другу под углами в 1О', расстояния между окружностями (линиями тока вихря) подобраны так, ~тобы расходы между каждыми двумя смежными окружностями были равны между собой и одинаковы с расходами между двумя счекныл~и линиями тока источника.
Другим любопытным случаем наложения потоков является диполь. Возьмем на положительной части оси х источник могцности д, находящийся на расстоянии Ь от начала координат, и эквивалентный ему по мощности сток на том же расстоянии от начала, но с отрицательной стороны оси х. Комплексный потенциал такой системы источника и стока будет, очевидно, равен у = —, !п (з — Ь) — — !п (г + Ь). '7 2к 2я Если, сохраняя неизменным д, устремить Ь к нулю, то сток пог.ютит жидкость из источника н никакого движения не произойдет.
Поступим иначе: устремив Ь к нулю, одновременно будем увеличивать д до бесконечности так, чтобы произведение мощности д на расстояние между источником и стоком осталось конечным и равным некоторой величине т: !!и д ° 2Ь =ш. ь-+ь ч-Ф э плоское ввзвихоззов движвниг, жидкости 1гл. и Тогда комплексный потенциал 11 приобретет следую1пее предельное выражение: у = 1ип ~ — 1и (л — Ь) — — 1п (л+ Ь)1 = ь.+ о 1.2я 2к = — — 1йп и 2Ь 11ш 1п (о — Ь В) — 1о (о — й) 2" ь-оо ь-оо 2Л о -+ со Я "+ Ф = — — ° — (1п л) = — —.
(43) т Н и 2я Ло 2вх ' Такой поток был уже разобран в предыдущем пункте, его линии тока и изопотенциальные линии показаны на рис. 59. Рнс. 64. Предельный образ двух бесконечно близких особых точек — источ. ника и стока с бесконечно большими интенсивностями — называют дииолем, а величину ло (она может быть как положительной, так и отрицательной) — моментом диполя. $ ЯЯ овтгканнв квяглого цилиндек 9 39.
Бесциркуляционное и циркуляционное обтекания круглого цилиндра 11аложим плоский, параллельный оси х однородный поток со скоростью У (~' — действительная положительная величина) и комплексным потенциалом Х!=$ е на скоростное поле диполя с комплексным потенциалом ж 1 2к и составим комплексный потенциал сложного движения '1тобы найти уравнение семейства линий тока, составим функцию тока т! ' .1) ~у+2я хе+у!' Полагая правую часть равной различным постоянным, найдем уравнение линий тока (1' + — °,,)у= сопа1. Пчлевая линия тока Распадается на две кривые: 1) окружность: хв-)-ув = — — (и ( 0) и2)ось х: у .= О. Выбирая произво.чьную до сил пор величину момента диполя Равной 2к Ко !н = — —,— а! "о!!учим нулевую линию тока в виде совокупности окружности Радиуса а с центром в начале координат и оси Ох (рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
