Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Исследуемое обтекание решетки пластин дает пример плоского безвихревого движения в многосвязной области. Формулы (65) позволяют составить полное впечатление о картине обте. канна рассматриваемой решетки пластин. Прежде всего заметим, что прн замене г на г =. 2ли, где и = 1, 2, „ формулы (65) не изменяются. Это говорит о игуподичностли картины обтекания, причем периодом служит величина йи, называемая шигом решетки.
При г = гу тригонометрические функции перейдут в гиперболические от дейхствптсльпого аргумента, так что для точек оси Оу будем иметь: 282 плоскок ввзвих! ивов движкниг. жндкосги )гл. т Если слоя,иы, все три потока, то мозкпо так подобрать скорость о =-~-а »»исто циркуляцнонного потока, чтобы на задк», й !по направлению течении) кромке пластинки скорость былз коксчкои. Для зтого, согласно (85), доста. то шо удовлетворить условшо яс яс прн а=с асов — =п„,з!ив '2а "' 2а' При выполнении лого равенства, т. с.
при »!=о !8 —, 2а ' обтекание будет иметь внд, представленный на рнс. 80. О с»иовом воздействии потока на пластинку в решетке, так же как и на изолированную пластинку, будет сказано далее в связи с применением теорелгы Жуковского. б 41. Плоское движение с отрывом струй. Разрывное обтекание пластинки н протекание жидкости сквозь отверстие В предыд! щем пара~рафе уже указывалось, что жидкость не может обтекать острые»»!»омкн тел. Образующиеся в зтих точках бесконечные скорости вызывают физически невозможные бесконечные отр~щательные давления; на самом деле жидкие струи отрываются с острых кромок, создавая сложные вихревые двн кения.
Простейшая схема безвнлревого описания такого рода движений приводит к необходимости отказа от основной гипотезы непрерывности поля скоростей н введения в рассмотрение линий разрыва скоростеи, которыми слух;ат сорвавшиеся с острых кромах линии тока. Иден втой схемы, предложенной впервые 1 ельмгольцем в кзасснческой монографин ,О разрывных течениях жидкости", относящейся к 1868 г., закл»очастс»» з допущении, что сорвавшиеся с острых кромок линии тока— так называемые саибодкые линии тока — уходят на бесконечность, .." „ап" р=р К=~ " ...; бесконечную мертвую !! ' л -- гиоодк я л»:» ..
зону покоящейся жидко. ==- стн. Если отвлечься от ф ===д †'-- влияния объемных сил,то , == — ":Р»1: —:: —. - одинаковым. как легко ® = -=!р= сообРазнтть оно бУдеТ " "...РЯ .аах д - Саайадкалз-,= †-„ Одинаковым и на грани'""гииы »-ш к , -щ :к)»»»л цах зоны,на „свободных' теореме Бернулли, примененной к свободным Рис. 81. линиям тока со стороны движущейся !инакости, следует, что вдоль свободных линий тока скорость сохраняет лостоямкую аеличииу.
Нулевая линия тока (рис. 81) приходит в критическую точку О» где разветвляется на две линии тока, располозкениые на поверхностк обте. каемого тела. В точках А и В, соответствующих острым кромкам, линии тока (4=0) сходят с тела и образуют две свободные линии тока АК' н ВК", вдоль ко»орых давление равно давлению в ,мертвой зоне, а скорости постоянны. В »том отличие свободной линии тока от твердой стенки, которая также может рассматриваться как линия тока, но с переменными, как прзвило, давлением и скоростью. 963 ПЛОСКОВ ДВНЖН!ИГ С ОТРЫВОМ СТРУЙ 8 41) 1'ельмгольц указал па простой класс примеров построения таких отрыв«ых обтеканий со,свободными" линиями тока и „мертвыми зонами'.
рассмотрим следующую дифференциальную связь между комплексной координатой г и комплексным потенциалом 76 = Гс(Х) ~ )' Рз(д) 1 (67) Ну откуда На свободной линии тока, где скорость постоянна, должно выполняться условие ®) +® = сонэ<, (69) Предположим теперь, что функция г<(у) при некоторых значениях 9=сопя<, иными словами на некоторых линиях тока, принимает только действительныс значения. Тогда в области значений ГН при которых )<ч(ч))1. правая часть равенства (68) будет иметь действительное значение, так что уравнение (68) приведется к системе: дх ду — = Р (9) = Г'Уз(9) — 1, — =О, ду (70) Из второго уравнения этой системы следует, что рассматриваемый участок линии тока состоит из отрезков, параллельных оси Ох(у =солж). Часть линий тока, представленная системой равенств (70), не удовлетворяет условию (69), следовательно, эти отрезки линий тока не являются „свободными .
Возьмем теперь ту часть линий тока, на которой 7<э(7) (1. По (68) будем иметь: дх ) ду= — = Р(9) — = — )<! — Гм(В) ) ду дч (71) Эта часть линий тона удовлетворяет условию (69) и, следовательно, <а<жется свободной линией тока. различные функции Г(й), удовлетворяющие только что указанным условиям, будут давать примеры отрывных обтеканий.
Среди них могкно выделить некоторые, представляющие практический интерес. Конечно, такой метод решения задач нельзя назвать „прямым", так как он не дает возможности где К(у) — пока произвольная функция комплексного потенциала у. Пользуясь независимостью производной от направления дифференцирования, мох<ел< написать дифференциальное уравнение линий тока (ф = сопл!) в виде: — +< — =У(7) -Р У'Г~(,) д, ду= дх, ду (68) Г!о предыдущему (равенство (39) % 37): <Гз дх .ду 1 — = — +1 — ==, йХ дт д<! Ъ' плоское везникггвое двнжгииг. жидкости (гл.
чг непосредственного получения обтекания наперед заданных контуров. Прямой метод требует применения метода коиформпык преобразований.~ Положим, например, 1 /'(7) ==- = 1' 7. опа функция действительна только при ф = () и т.зо; кроме того рэ(Ч! ад 1 прн 0":-т -с! и рэ(т):.=,: ! при т~-!. При у(0 функция /ь(Ч) принимает чисто мнимые значения, Имеем по (68) прн г = 0 и у (О: дх ду 1 / — =О, — =- — у — +1, ду ду 1 — ч 7-'В что дает х =- сонэ!, нли, в силу проазвольности выбора начала отсчета, х =- О, это — положительная часть оси Оу, в чсм легко убедиться, проннтегрировая второе уравнение прн — оз( в (О.
Далее, на той же линии тона при О ( у 1, согласно (68), будем иметь: Ох 1 / ! ду — ==+ аг — — 1, — =О. де 1/ч в дч Из этой системы равенств следует: х=2 р~т-1-агсз!п()/Ч)+ )'В ) 1 — Ч, у=о, (72') где константы интегрирования выбраны так, чтобы в начале координат было: х=О,у=О, в=О. Равенство (72') показывает, что участок линии тока 0 ( Ч =1, ф= о представляет отрезок АВ (рис. 82а) оси Ох между точками А и В с абсциссами, соответствующими двум зяаченням корня )/Ч при Ч = 1; х= -~-(2+агсз!и1) ==+= 2+ — ~. 2/' Наконец, в области значений 7 ~1 будем иметь дифференциальные уравнения свободных линий тока АК' и ВК": дх 1 ду „1 — 1 —— ду )гч дт которые интегрируются в конечном виде и дают х = 2 1' ч у = ~ ~/ 1 — — г(ч = — агсп )ге+ )/у )'ч Уравнение свободной линии тока будет х х /хт у = — аг св — + — 1г/ — — 1.
2 2 г/ 4 т По этому поводу см.. например, Н К. Кочин, И. А. Кибель и Н. В. Р о з е, Теоретическая гидромсханнка, ч. 1. Гостехиздат, 1948, стр. 312 — 345, а также монографию Л. И. Псков а,Плоские задачи гидро- динамики н аэродинамики'. Гостехиздат, 1080, стр. 200 — 230, где приводятся Н схемы отрывного обтекания, отличные от изложенных, нлосков двнжгнив с отгывом стгтй 265 При 7. + ж, тая же как и при Ч -ь — со, имеем Подчеркнем, что скорости на острых кромках, где происходит сход с пластинки свободных линий тока, равны единице, а не бесконечности, как зто имело место при безотрывном обтекании. Полученное решение определяет разрывное обтекание пластинки шириной 4-~-и набегающим на нее нормальным потояолп имеющим снорость иа а> Рис.
82. бесконечности, равную единице (рис. 82а). Легко найти полную силу давлений жидкости на пластинку. Со стороны набегающей жидкости на участке пластинки АВ действует давление Р, которое по теореме Бернулли равно (примем р = 1): л 1 )г )з 1 ! )г(т Р = сопзг — — =Р + 2 ' 2 2 со стоРоны „меРтвой зоны* давление Равно Ра, пРичем 1 ) )гР~ Рз —, Р + — ) — Рьг ~~ 71 Разность давлений, дейстаующих на злемент Нх с обеих сторон пластинки, будет, согласно (72), ()г(а 1 1 1 Р Р 2 2( 1 /1 ) 1)' 1 Г~ р 1 2 2 1")'т Ф Элемснт длины пластинки агх по (72) равен /1 у 2Г>6 плосков пкзвихгьпов днижкпик жидкости (гл. тг так что зтсысп~ариая результирующая сиза давлений будет: ! ! /1 $~ 1 2 ~ ! Г! ))т 1;.
)г; ь )г- ' [,~,~ ! Отсюда, в силу симметрии обтекания относительно оси Оу, найдем пол пую силу давления в вндс 1 -2 ~ )/ — Л.„=г. о ч Представим силу сопротивления в плоском движении в общей форме: л1' И==С вЂ”, Ь ° 1, 2 где С вЂ” коэффициент сопротивления, р — плотность жидкости, К» — величина снорости на бесконечности, Ь вЂ” характерный размер обтекаемого тела в плоскости течения (ширина пластинки в рассматриваемом сейчас случае); единица, стоящая в конце формулы сопротивления, напоминает, что сила сопротивления рассчитывается на единицу длины в направлении, перпендикулярном к плоскости течения.
Сравнивал между собою последние две формулы, получим уравнение для определения С: )с=я=С ° — (4+х), 1 1 2 откуда найдем: С = — ='0,88, 2в 4+я так что в общем случае обтекания пластинни ширины Ь жидностью с плотностью р при скорости набегающего потока )гсь будем иметь формулу сопротивления гав"„зЬ йз= =0,44ЬР Ь. 4-(- в Заметим, что полученная теоретическая формула дает значение сопротивления, в два раза меньшее действительного, хотя распределение давления по передней части пластинки близко к опытному. Объяснение этого факта лежит в неучете вихревых нвленнй в,мертвой зоне" (рис. 82 а), уменьшаю. щих среднее давление на тыльную часть пластинки и тем самым увеличивающих сопротивление.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
