Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 52
Текст из файла (страница 52)
11, стр. 9?. 278 плОское Безнихвеное дВижение жидкости [гл. зг потока на помещенное в него тело, заменим, следуя Жуковскому, контур тела замкнутой линией тока и предположим, что внутри нее происходит движение жидкости с „особенностью" — вихрем, имеющим ту же интенсивность, что и сумма интенсивностей вихрей, которые образовались бы на самом деле в тонком слое на поверхности тела при обтекании его реальной жидкостью. Такой вихрь Н. Е.
Жуковский назвал присоединенным к рассматриваемому тввр. дому телу. Интенсивность „присоединенного вихря", или, что то же, циркуляция скорости по контуру, окружающему крыловой профиль, могла бы быть принципиально вычислена только при помощи расчета движения реальной жидкости в пограничном слое или при помощи некоторого дополнительного допущения об общем характере обтекания тела. По последнему пути пошел, как было указано в предыдущем параграфе, С.
А. Чаплыгин, предложивший свой замечательный постулат конечности скорости на задней острой кромке крыла, позволивший определить величину „наложенной" циркуляции, или, что то же, интенсивность „присоединенного вихря". Эти две глубокие идеи великих русских аэродинзмнков Н. Е. Жуковского и С. А. Чзплыгина: присоединенный вихрь н постулат конечкосгпи скорости на задней кромке кры- У ла — легли в основу всей современной теоиз з рии крыла. 5 Начнем с доказан тельства теоремы Жуг С ковского о подъемной 0 силе крыла в пло- в' В г скопараллельном по. А токе.
Предлагаемое ниже векторное доказательство теоремы ЖуС ковского только по Г форме отличается от классического доказаРнс. 89. тельства этой теоремы, данной ее автором.' Применим теорему количеств движения в форме Эйлера [й 23, формула (38)1 к объему жидкости, заключенному между поверхностью обтекаемого контура С (рис. 89) и проведенной в удалении от контура С окружностью круга С„ с центром в точке О н радиусом г. Пренебрегая объемными силами, будем иметь, заменяя в формуле (38) 3 23, з См. предыдущую сноску, в так'ке стзы,ю Н.
Е. Ж у к о в с к о г о „О кои. зурах поддерзивающнх поверхностей аэропланов". Избр. соч., т. 1з~ стр. И7. а 43) таовама жаковского о подъемной сила квыла 279 в силу плоского характера течения, 0ч на ~1з ° 1: ~ рп чз ~ рипа ) РЧ ьгвпз=б. с с„ д„ В этом равенстве опущен, как равный нулю, перенос количества движения сквозь твердую поверхность профиля С. Первый интеграл представляет главный вектор снл давления со стороны обтекаемого тела на жидкость.
Та же величина с обратным знаком определит искомый главный вектор сил давления жидкости на тело Й = ) рп'г1з, и й = — ~ рпдг — ~ РЧР'„Ж. в ь (82) По теореме Бернулли рь я р = сопя1 —— 2 ' причем, как мы уже знаем, постоянная, стоящая справа, имеет в слу- чае бсзвихревого движения одинаковое значение во всей области тече- ния, а следовательно, н на круге С„, так что 11 =- 2 ( 1 п Уз — ~ РЧРв Уа (82') и„ г„ Разанким вектор скорости Ч на два слагаемых, положив Ч=Ч +Ч', где Ч=,— скорость в бесконечном удалении от профиля, а Ч' — скоРость воз.яукчвния, вносимого профилем в однородный плоскопараллельный поток.
Относительно этой убывающей до нуля с удалением "г обтекаемого тела скорости возмущений будем предполагать, что ее модуль 1г' убывает с ростом расстояния г от начала координат, вб. бчнзн которого помещен профиль, как —. Это предположение аоот- 1 "-тствует наличию „присоединенного" к телу вихря и конечности пиРкуляпии скорости по любому замкнутому контуру, например, "кРУжиости С, длины 2кг; подробнее о порядке скорости возмущенна будет сказано далее. где и' — нормаль, внешняя по отношению к рассматриваемому объему жидкосгн.
Таким образом, по предыдущей формуле получим выражение искомой силы К через главный вектор давлений и перенос количества движения, относящийся к контуру удаленного от профиля круга С„: 280 плосков ввзвихвввов движения жидкости (гл. и Подставляя указанное разложение скорости в равенство (82'), получим: й — р У ( и Из+ р / (Ч ° Ч ) и Нг+ — р ~ У' п язв е„ с, — рЧ. ~У„у.— р~ч'У „~з р~Ч'У.'~з.
Г с„ и,. По предыдущему (гл, 1, формула (68)), первый интеграл равен нулю; пропадает также четвертый интеграл, так как при отсутствии источников — стоков и несжимаемости жидкости полный расход жид- кости сквозь контур С, равен нулю: ) У„На=О. с„ Рассмотрим совокупность второго и пятого интегралов: / ((Ч ° Ч') п — Ч'У „) сКз= ~ ((Ч ° Ч') и — (Ч ° п)Ч') гКз, с„ с„ которую по известной формуле разложения тройного векторного произведения можно представить как 1Ч Х(пХЧ')~з, о или, заменяя Ч' пз Ч'+Ч = — Ч, что можно сделать, так как при атом добавится интеграл ~ Ч„Х (и Х ч„) у = Ч„Х ~~ н Х ч„'''„ с„ о„ тождественно равный нулю, получим ) Ч Х (п Х Ч) зз =- Ч Х ~ п Х Ч гь.
г Таким образом, будем иметь следующее выражение для главного вектора сил давления потока на профиль С: Й=-РЧ Х ~ пхчпз+ ч р ~ У"пИз — р ~ Ч У,~й. (83) с, с, Вектор Г=б~пХЧУх ф 48) твОРнмА жуковского О подъемной силн кРылА 281 Г = ) 1' з~п (п, Ч) ав = ~ 1' соз(п, 1) йв = ) 1; йе, с т. е. циркуляции скорости по контуру С„или по любому друг му контуру, охватывающему обтекаемый профиль.
Таким образом, первое слагаемое в выражении главного вектора сил Гс не зависит от 1 положения контура С„, остальные два ииеют порядок —, так как 1 подинтегральные функции представляют величины порядка —,, а длина контура интегрирования равна 2вг. Отсюда при переходе к пределу, когда окружность Сг удаляется на бесконечность (г-+ оо), следует искомая формула К=рЧ УГ, (84) где вектор Г определяется как криволинейный интеграл Г=~пУЧ в, ~а (85) взятый по любому контуру Се, охватывающему обтекаемый профиль С, в частности по самому профилю С Величина этого вектора равна циркуляции скорости ло замкнутому контуру, охватываюгцему профиль.
Из равенства (84) находим величину главного вектора сил давления потока на тело: й=р1г (Г~. (86) ! лавный вектор, как показывает формула (84), лежит в плоскости течения и направлен перпендикулярно к скорости на бесконечности в с1орону, определяемую векторным произведением (84). Обычно бывает очень трудно заранее определить, в какую сторону направлен вектор Г: внутрь или наружу относительно плоскости чертежа.
Если известно направление обхода контура, при котором Г ) О, это ~~правление условно называют направлением положительной циркуляции, нли, короче, „направлением циркуляции" — тогда по общим нрзвнлам принятого у нас в курсе „правого винта" легко найти и ~торону, в которую направлен вектор Г. Так, если направление циркуляции совпадает с вращением по часовой стрелке, а поток набегает слева, вектор Г направлен вглубь чертежа, а сила Й вЂ вве; это можно получить, если вектор скорости Ч повернуть на 90' в сторону, противоположную циркуляции. направлен по перпендикуляру к плоскости движения, а его проекция Г, на этот перпендикуляр, которую мы обозначим просто через Г и будем считать знак входящим в определение величины Г, окажется равной (рис.
89) 282 плОскОе БезвихРевое движение жидкости [гл. Таким образом, приходим к классической формулировке теоремы Жуковского, данной самим автором: сила давления невихревого потока, текущего со скоростью 1г и обтекающего контур с циркуляцией 1', выражается формулой: напраэление этой силы мы получим, если вектпор тг повернем на прямой угол в сторону, противоположную циркуляции.' Первый вывод, который следует сделать из теоремы Жуковского, заключается в отсутствии составляющей силы, направленной влоль движения жидкости, или, что все равно, направления движения тела по отношению к жидкости, т.
е. отсутствии силы сопротивления. Этот важный факт составляет содержание парадокса Даламбера, о котором была речь в историческом очерке, помещенном во вводной части курса. Теорема Жуковского подтверждает парадокс Даламбера для любого плоского безвихревого движения идеальной жидкости как при наличии „присоединенных вихрей", так и при отсутствии их. Единственной силой, действующей на обтекаемый профиль, оказывается поперечная движению тела сила, которая может быть названа подземной или поддерживающей силой, так как именно эта сила обеспечивает подъем аэроплана в воздух, поддерживает его крыло при горизонтальном полете.
Воспользовавшись теоремой Жуковского и постулатом Жуковского †Чаплыги, можно по формулам (86), (80) или (81) получить выражение величины подъемной силы в виде 7с=4яат Р~1' ~эз1п(гь — Ц )=4еат Р! Ъ' 1гз1пг, (87) впервые указанном Чаплыгиным. Входящее в эту формулу произведение ат зависит от формы обтекаемого контура, так, например, по предыдущему (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
