Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 53
Текст из файла (страница 53)
конец $42) 1 для пластинки ат = — с, и подьемная сила оказывается равной (87') гс = 2прс ~ 1l )Яз!и а. В общем случае подъемная сила, согласно (87), оказывается пропорциональной плотности жидкости, квадрату скорости набегающего потока и синусу угла атаки. Введем коэффициент подъемной силы как отношение подъемной 1 силы 1т к скоростному напору набегающего потока — рЪ' и длине хорды. Обычно ось Ох направляют по скорости Ч „тогда подъемная сила будет направлена по оси Оу и может быть обозначена через 1' или Кв.
Вот почему коэффициент подъемной силы в нашей литера- г См, ранее цитированные работы Н. Е. Жуковского, 9 43) творима жхковского о подъемной силе крыла 283 /г ат С =— 1 = 8тг — яп а ь — р~ 1/ (тв (88) или в частном случае пластинки (Ь =2с): С„= 2тз!па.
(88') Как показывают многочисленные опыты, при сравнительно малых углах атаки, при которых только и выполняется условие плавного схода струй с задней кромки, формула (88'), переписанная в виде (яп а ='- а) Сз — — 6,28а, довольно хорошо отражзет действительную закономерностгл коэффициент подъемной силы прямо пропорционален углу атаки, отсчитанному от бесциркуляционного направления, но коэффициент пропорциональности 2я = 6,28 оказывается несколько завышенным.
10 На рис. 90 представлены для сз ~ьь/ сравнения теоретическая пря- Ь/ мая и экспериментальная кри- ст ч/ вая С (а) для симметричного Гг з профили с отношением макси- У мальной толщины к хорде, равным 9в г Как видно из ри- / сунка, в интервале углов атаки — 13' ( а С 13' (область / чь ь отрицательных углов на рисунке // ~~ 11 не представлена, но она в силу / симметричности профиля ничем 0„ / 6 не отличается от области положительных углов) расхождение между теоретическим коэффициентом подъемной силы пластинки и экспериментальным 0 ГО' 30ь для тонкого профиля невелико. Применять формулы Жуковского и Чаплыгина (86) и (87) к пластинке, строго говоря, нельзя, так как на переднем остром крае 'шастинки скорость обращается в бесконечность, что нзрушаег непреРывность обтекания.
Становится непонятным, как вообще на пластинке может возникнуть сила, перпендикулярная направлению ее движения. Рис. 90 туре принято обозначать через С„, а коэффициент сопротивлении— через С . При этом обозначении будем иметь (д †хор): 284 плоское Безвихгеяое движение жидкости 1гл. Действительно, при отсутствии трения нормальные к поверхности пластинки силы давления должны дать главный вектор„направленный также по перпендикуляру к плоскости пластинки, а не к скорости ка бесконечности, как этого требует теорема Жуковского.
При этом, наряду с подъемной силой, имелась бы и сила сопротивления. Этот парадокс был разъяснен Жуковским во второй из ранее цитированных статей. При действительном обтекании пластинки передний ее край представляет собою на самом деле некоторую поверхность очень малого радиуса кривизны, на которой возникает значительное разрежение, приводящее к направленной против течения „подсасывающей" силе, уничтожающей сопротивление. ' $44. Применение метода комплексаых переменных к выводу теоремы Жуновского. Формулы Чаплыгина для главного вектора и момента снл давления потока ва крыло Вывод теоремы Жуковского, основанный на применении теории фуккций комплексного переменного, был дан в 1910 г. С. А.
Чаплы- гиным, а который по- У лучил общие формулы главного вектора и главного момента сил давления потока на С' з- Сеы крыло. е" Рассмотрим крыловой контур С (рис. 91) в безвихревом плосколг параллельном потоке С г идеальной несжимаемой жидкости, набегающей на профиль со скоростью 1' . Составим выражения главного вектора К и главного момента Ее относительно перРнс. 91. пендикулярной к пло- скости течения оси, проходящей через начало координат. Используя теорему Бернулли р = сопз1 —— Р!~ Р 2 1 Подробнее см, цитированные сочинения Н.
В. Жуковского, а тааке В. В. Г о л у б е в, Теория крыла аэроплана в влоскопараллельвом потоке. Гос техвздат, 1938, стр. 154. т С. А. Ч аплы гни, О давлении плоскопараллельиого потока на пре. граждающве тела (к теории аэроплана). Матем. сб., т. ХХЧШ, 1910. 9 44) пвимвивнив мвтода комплексных пвввмснных 28б будем иметь, как н в предыдущем параграфе, выРажение главного вектоРа: )с = — Х рп сЬ = Я Р ~ 1г ~Я п а~а 2~ и главного момента: ~а = проек.
гг Х п)рта = 2 (хлв — ун )! 1г(~~уз. Переходя в этих формулах к комплексным величинам, заметны, по (рис. 91): п = — 1ег", ~й = дг ° е- и, хл„— ул =д. ч. (ил); (д. ч.— действительная часть) кроме того, на контуре С можно положить -~-~ 1г!рм Тогда предыдущие формулы силы и момента прнведутся к виду: л+ Я 2 Ед — — — — д. ч. ) $'~ве-Я'члс1л, 2 Заменим в этих формулах ) 1г)=='- Ъ'е-м -ь-Тем.
тогда получим: (89) Таковы известные формулы Чаллыаина, выражающие сопряженный вектор силы и момент сил давления потока на тело. Вспоминая, что по предыдущему — лх лл ' пеРепишем формулы Чаплыгина еще в таком виде: 190) 286 плоское Безвихвевое дВижение жидкости [гл. ч — лх Сопряженная скорость 1г= — является голоморфной функцией о» переменного» во внешней по отношению к контуру С части физической плоскости». Следовательно, интегралы (90) можно вычислять по любому контуру, охватывающему контур С, в частности по окружих ности круга С'. Вместе с тем функция 1»(»)= — может быть на л» этом контуре С' и во всей внешней по отношению к нему области разложена в ряд по отрицательным степеням»: Р= —.
= а + — '+ —,'+ их л1 оя — — з»»г (91) в котором свободный член представляет, очевидно, сопряженную скорость на бесконечности: по=Я,= =Г'-. (91') Остальные члены, как известно, могут быть найдены при помощи контурного интегрирования по формулам: аи = — 1»" г с[» = —. — »"-' с[». 2»Т~ 2»1~) Л» Значения этих коэффициентов зависят от вида функции — т. е. оХ и» у от характера обтекания профиля и от его формы. Просто вычисляется коэффициент а,; он оказывается равным а = —. = г[» = —.
с[Х = —, сЬ = —,, (91") 1 РИХ 1 Р 1 Р Г 2~и' ~ о» 2:сю' ~ . 2»1СХ' 2я[ ' / М» [ 2я[, прн о=1, О, при лф1, будем иметь: — + — ~+ ...)гЫ»= — 2яра а, рь гг 2аьаг а,'-[-2аьоя Х~ = — — д. ~.у ( ... +, + ... ~) с[» = 2 = — яо д. ь [г(а~г+2оеаь)[ т. е. зависит только от циркуляции скорости вокруг профиля.
Покажем, что сила и момент при обтекании произвольного профиля зависят лишь от первых трех хозффиг[иентов разложения (91); а„, а, и ае. Для этого подставим в выражение (90) разложение (91), причем сохраним под знаком интеграла лишь те слагаемые, которые дают отличные от нуля значения; вспоминая, что 6 44) пвимянение матодь комплексных певямвнных 287 юг= — юр)ю Г, Ую= — 2сср д. ч, (сР иД, (92) В первой из этих формул нетрудно узнать формулу Жуковского. неличина подъемююой силы равна (1т'~=р! К,,~Г; множитель ( — ю) показывает, что направление комплексного вектора Я можно получить поворотом комплексного вектора Ъ" на 90" в сторону, противоположную „положительному направлению циркуляции".
Используя полученное раньше выражение циркуляции (81), будем иметь: юг= 4яэт и~ И ! с'е '"з1п(ео — 0 )= 2. — юю, =2прюи и! Ъ' ! '1е'Ю'е ' — е 'е~. (93) Что касается выражения момента 1, то для его вычисления необходимо знать величину коэффициента ия в разложении сопряженной скорости (91). Подчеркнем еще раз, что для вычисления силы н момента не нужно знать полностью обтекание крыла, т. е. все коэффициенты разложения (91),— достаточно располагать лишь первыми тремя коэффициентами ие, и, и ия.
Рассмотрим для иллюстрации вновь обтекание пластинки (9 40), представленное формулой сопряженной скорости (60'). Составии разложение скорости в ряд по отрицательным степеням юп /~ — с еог 1еюпЮ р(е) = и — юо ~' — = и — юо +— а+с е 2 ею Сравнивая это разложение с рядом (9рй получим: се=и — юо = Г', и,=ссо =ею'! Ь' ~я1па, 1 1 и = — — сэюо = — — сэю! к' ~з1па. 2 2 Находим по (92): юс + ются = — ср (и + юо ) Г = эп à — юри„Г, нлсс по (61): Й = — 2грсо )те= 2ссрси Момент Еа по второй из формул (92) будет равен: Е е=' — 2яр д. ч.
~ — -с юо ° ю'(и — юо )1= ( 1 = — прсяп д. ч. (и — юп )= — яреяи и . Используя выражения (91') и (91") первых двух коэффициентов ао н и„получим: плоское. ввзвихгввое движение жидкости (гл. ч Переходя от проекций скорости и, о к их выражениям через модуль скорости и угол атаки а = 0 , окончательно получим: К = — 2крс) И ~зз1пва, йв — 2прс~ К 1ая1пасояа, Ь~ = — ясс~~ И 1вз!васева. Имея выражение проекций подъемной силы и момента относительно точки О, можем найти уравнение линии действие равнодействующей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
