Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Обозначим через х и у текущие координаты точки на линии действия равнодействующей; тогда уравнение этой линии будет у а= или, используя предыдущие выражения и произведя очевьщные сокращения: х а1 и а соя а +у арпа а = — — с зш а сов а. 1 2 Точка Ц (рис. 92) пересечения линии действия подъемной силы с пластинкой называется центром давления. Если привести все силы У давления потока на пластинку к одной силе охй а=ге Й, то эта сила будет Фе приложена в центре давления Ц. Полагая в последнем уравнении еу с с 6 у = О, найдем абсцнсА б су положения центра давления Ц на пла- У„ стинке: Ъ,, с , ч х= — —. а 2 ' Р Центр давлении потока на пластинку находится ни четверРис, 92. ти ее длина от перед- ней кромки причем, как показывает последняя формула, положение центра давления не зависит ни от скорости набегающего потока, ни от угла атаки.
Вводя в рассмотрение коэффициент момента со С т ] 2р!Р' гЬ' будем иметь при малых углах атаки (япа='а, сова ='1); е с„, = — а, 2 главный момент сил давления 9 45! Сравнивая с формулой коэффициента псчпемноя силы с„=2ее, видим, что сь .'С„=1:4. Интересно отметить, что это соотношение, обычно выражаемое Ис, лгч ~ерез коэффициенты — „и — „' в анде Лсь йс,„йс, 1 йсв йь ' йа 4 ' оказывается справедливым не только для косого обтекания пластинки, но довольно хорошо соотвегствует опытным данным и для тонких с снммегричных профилей. Если принять точку Ц( — —,0) за точку, относигельно которои берется главный момент сил давлений, то момент Т.ц будет равен нулю. 9 45.
Выражение главного момента сил давления потока через коэффициенты конформного отображения. Фонус крыла. Независимость от угла атаки момента относительно фокуса. Парабола устойчивости Формулы Жуковского н Чаплыгина позволяют сделать некоторые общие выводы, относящиеся к задаче об обтекании плоскопараллельным потоком крылового профиля произвольной формы. Особенности формы крылового профи.чя можно охарактеризовать коэффициентами разложения функции 7'('), преобразующей (рис.
87) контур профиля С в круг С' (9 42, формула (74)), в ряд по отрицательным сгепеням комплексной переменной г во вспомогательной плоскости. Как сейчас булет показано, здесь вновь обнаруживается замечательный факт зависимости силы и момента лишь от первых трех коэффициентов Разложения, анзлогичный тому, как это имело место при использовании разложения комплексной скорости. Разложим гочоморфную в области вне круга Сь отображающую функцию з = — у'(Г) в рял Лорана =К)= "-+ о+Ф+Ф+ (94) где щ, то, т,...
— некоторые комплексные коэффициенты, Тогда для сопряженной скорости Р будем иметь выражение: и, 2тт м йе га зэк пиь л. г. льаьяьсеий. 2911 плоское БгзвихР|!Йое дви>!(ение я<аялкос> и )гл. т Недостающее для вычисления лаомепта значение коэффициента а можно найти контурным интегрированием в и:пюкосги ': 1 л— а =- — ~ Ъеагг —.ба~Ъ' + —.— + ( — ' Р— -леЪ;„) — е+ ... ~Х 2аа~ е>2 Х(™-Е+то+ — „+ —,", + -..)(т- — —,. — 2 —,е — ")~~Е. Раскрывая в подинтегральном выражении скобки и сохраняя лишь член с Е-а, так как остальные слагаемые после интегрирования обратятся в нулем получим: 2ка $ Е' ', 2к! г е = —.
+ т,аи Р„, — т а Ъ' 2га Э после чего выражение момента (92) примет вид: О~Ъ ' Ео —— — 2ко д. а ( о ' +а>>аат Р„,— ат а Ъ' Р,), 2к или, замечая еще, что и, а и Ъ' Ъг =~ Ъ' 1е действительны, Г>еоЪ 'Г Ео = 2ЯР д ч ( о, а>ааааа- Р Подставим сюда выражение (80) циркуляции Г, соответствующее безотрывному обтеканию задней кромки, тогда вьара>кение момента приведется к виду: Ео= — 2>ар д.
ч. (2ааи. то ~ Ъг, ~ Ъ' з1п(ео — 9 .)+ ааиааи 1~' ), или, производя замену: Ъ' =..~ Ъ;,( ° е з!п(ео — б, ) = — (еай" '1 — е ьч '= >) 2> Таково общее выражение главного момента сил относительно произвольно выбранного начала координат. Возьмем за центр моментов другую какую-нибудь точку О' >шоскости г с комплексной координатой ео, и посмотрим, как будут сьязапы между собою величины Ео и Е,.
По известной формуле статики будем иметь: Ео=Ео +мо ага уо асе и собирая вместе члены, содержшцие е Ео — — — 2>арт, ) Ъ> 1Е д. ч. а''1(та — паааое') е ае' + алане ~'"~. (95) 291 гллвный момент сил длв,чгнив 46» или, испотжуя комплексные вели ганы: 7-о=2,о,-'г . ».(»г»»,В. Подставгпа сюда выражения 1.„по (96) и»тт ио (936 ио.»у»им, производя простые иреооразования: ~о ~о" д и('го с) —.— — '2нч»п ) (г ) д. ч. »')(т» — ап»ос ':) е '- + ал»о»" + = — 2в;,и )»' )' д.
ч.»'()т,— а(то го)е )е» + ."(то — го)е ') (96) Быберем за центр моментов таку»о точку О', »тобы выполнялось равенство т — а (и — г,) е " =- 0 » о о. или (97) то»ла момент Ео, относите:и,но этой то ~»»и оудет равен »чн = — 2кр»»»,а) 1/„)о д. ». »(то — г,) е = — 2крт ) У„, ) д. ч. »»п»е (96') Ео, =--2и(т, ) (г )в д. ч. йп», а выражение подъемной силы (93) приведется к виду »с=2ярн» а) 1» ) (е '* — 1). т. е. окажешься независил»ыл» от угла набггания потока '», а следо»»ате»»ьно, и от угла атаки о. Связанная с крыловым профилем и характерная для него точка О', обладаюгцая тем свойством, что вычисленный относительно нее главный момент сил давления потока не зависит от угла атаки, называется фо»гусов» ьрылового профиля; координаты фокуса определяются комплексным равенством (97).
Повернем ось Ол так, чтобы ее направление совпало с направлеиием бесциркуляционного обтекания или, что все равно, с направл"ниеж нулевой подъе.»»ной силы; тогда угол нулевой подъемной с»ты оо обратится в нуль, угол набегания потока»» станет равным углу :»гаки я и выражение моменга относительно фокуса станет равным плОскОе ВеЗВВКРеВОВ дВЯ>кение >!(идкости 1гл.
ч 292 у~ =~о и - а — о где х, у — координаты текущей точки на линии действия равнодействующей, а Яа, Йв имеют значения: 1с =2ьрт а~ 1гч,~я д. ч.(е ы — 1)= — 4пйт, а~ 1/ 12япеа, А'„= — 2"срт а! 1l ~ и. ч. (е !' — 1).=4пр>п,„и) 1г ('япасова. Уравнение линии действия равнодействующей будет иметь вид: Г 1т>1 х 21 и а сов а + у я п а = — д. ч.
( — ) . '(, 2а )' При выборе начала координат в фокусе О' и направления оси О'х по бесциркуляционному направлению, будем, согласно (97), иметь: т, г, = О = тв —— о = = о так что уравнение линии действия перепишется окончательно так: 2 х яп а сов а + у я ля а = — — д. ч. (>>Лв) = е. 2 Найдем огибающую линий действия равнодейству>ошей. Лля этого по общему правилу исключим а из совокупности предыдущего равенства и полученного из него дифференцированием по а равенства хсоз2а+уяп22 == О.
Тлдем иметь систему равенств: хяп 2а — у сов 2а = 2ь — у, х сов 2а--'уяп 2а =- О, хе+ уя = — (26 — у)2 хе = 43(6 — у). откуда следует или Огибающая линий действия равнодействующей, соответству>ощих разным углам атаки, представляет параболу, названнук> С. А. Чаплыгиным пириболой устойчивости или параболой метаиеитров. ' > С. А. Чаплыгин, К обшей теории крыла моноплана.
Собр. Соч., т. 11, Гостехигдат, 1948, стр. 246 †2. Найдем уравнение линии действия равнодействующей сил давления; для этого, поместив начало координат в фокус О', напишем очевидное соотношение: 293 9 45) главный момвнт сил давления Расположение параболы устойчивости относительно профиля показано на рис. 93. Фокус крыла служит фокусом параболы, директрисса ее проходит параллельно оси О'х на расстоянии у =23 = — д.
ч. (»»по) =и ч п»о На директриссе находится точка О", с комплексной координатой г „= тя; эта характерная точка профиля, называемая ионй>ор.ины.ч о" центром, имеет наравне с фокусом важное значение в теории крыла, особенно в теории нестационарного дан>кения. >лля построения линии действия равнодействующей нет необходнчости строить параболу устойчивости. Известно, что всякую параболу можно построить как огибающую перпендикуляров, восстановленных Рис. 93. к лу жм, проведенным из фокуса, в точках их пересечения с директриссои.
Поэтому, если известно положение фокуса н конформного центра, то построение линии действия равнодействующей производится без труда. Проведем через конформный центр прямую, параллельную бесцкркуляционному направлению, — это будет директрисса параболы ус»ой»изости; затем из фокуса проводим луч, параллельный направлению набегания потока до пересечения с директриссой, и, наконец, перпендикуляр к лучу в точке его пересечения с директриссой.
Этот перпендикуляр и представит линию действия равнодействующей сил давления потока на крыло. Таким образом, полная сила давления потока может быть сведена »: одной силе, равной по величине и направлению подъемной силе. Эту силу можно переносить вдоль линии действия в любую точку крьща, например в точку. пересечения линии действия равнодействующей с линией хорды„ называемую центром давления. Центр давле'»ия крыла при изменении угла атаки перемещается вдоль хорды.
1»рь»ловые профили„ у которых положение центра давления не зависит изменения угла а»аки, †т называемые профили с постоянным пе>прои давления в представля»от ряд конструктивных преимуществ. 1риверами могут служит» рассмотренная ранее пластинка или близкие 294 плос,;оь вязаная:ввцс двцжьнпв жидкости 1гл. ч к ней сизщегричпые профили, щ1стоянный ценгр дчщщнкя у которых лежит примерно на четверти расстояния от передней кромки. В этом слу;ае фокус совпадает с центром давления, а параоола превращается в точку. Вообще, если момент сил относительно фокуса равен нулю, то фокус совпадает с постоянным центром дзвления. й 46.
Частные случаи конформного отобрзжения крылового профиля на круг. Преобразование Жуковского — - Чаплыгина. Теоретические крыловые профили Среди многообразия функций (94), отображающих физическую плоскость течения з на вспомогательную плоскосгь ".. рассмотрим некоторые простейшие, преобразующие в круг О" такие замкнутые контуры С, которые могут по своей форме подойти к требованиям, предъявляемым к крыловым профи.ам.
у) Рпс. 94. Первое такого рода преобразование было указано Н. Е. Жуковским и С. А. Чаплыгиным еще в 1910 г. н имеет вид: =- = —,, ~ . + — „) . (96) Окружность С" рздиуса с в плоскости ". преобразуется в плоскости а в отрезок г'г" (рис. 94) на оси Ом с концами в точках (- — с, 0) и (+ с, О). В самом деле, полагая "=сеп найдем з = — (еп+ е-') = ссозз с 2 3 так что полному обходу окружности (О =-=- з ..—.: 2п) сооч ве гегвует двойной обход отрезка тч'Г', справа налево и слева направо. Окруж- 9 4б) ЧАстные случАи коняоямного ОУОввАжения 295 ностям С1, С в плоскости ". булут соответствовать в плоскости з софокусные эллипсы С,, Ся с фокусзчи Р и Р'; действительно, полагая, например, в !98) 9 =Ье", (Ь) с), полу 1им е = — — ~Ьеы + — е-1. ) 2 А Ь осьуд! сцдч~ г 1Г ся, У = — 1Ь -- — 1я1п е 2~ Ь/ 1.ос~являя коэффициент конформного отображения ве 1 / сед лг = — =- — 11 Б 21, чя)' видим, чго то пги Ре и Р' с координзтзми с =- - с являются особилги, ~зк как в этих точкзх и.=.= О, и конформность преобразования нарушзется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
