Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Это свойство у круговой лужки сохраняется при любых яогнутостях. Распределение скоростей по поверхности дужки можно вычислять по формуле (108). Следует только иметь в виду, что при е-ьх( — с==к~с) интеграл, стоящий в правой части, становится и'собственным и должен вычисляться в смысле своего главного значения и что, кроме того, предельный переход к точкам отрезка АВ должен производиться по известным формулам анализа для предельных значений интеграла Коши.' ' См., например, В.
И. Смирнов, Курс высшей математики, т. 1Ъ' остехяздат, 1941, стр. 282 †2, Несколько подробнее о „несобственных" явтегралах будет сказано в гл. 1с'П. 20* плоскол пгзвихгевои движенив жидкости ~гл. и Опуская промежуточные выкладки, ' приведем лишь окончательную формулу распределения скоростей в случае параболического отрезка; Легко видеть, что при 0 = О, т. е. при набегающем потоке, направленном вдоль хорды АВ дужки, обе острых кромки будут точками безотрывного обтекания с конечными скоростями. Такое обтекание дужки называют обтеканием с безударным входом. Подъемная сила в этом случае будет равна Я )„=2кр~ Ь' (зй=4крс~ У ~вр, т.
е. станет пропорциональной относительной вогнутости дужки. Действительно, при этом значении й формула скоростей принимает вид 1'=! Ь' ~+г') Ъ' ~~ —, — — р лз — сз~ и при з= ~:с дает: Р( )=~ 1~ )( г — ), причем тангенс угла наклона касательной к дужке в точках л=.~:с 2з равен у' =:, —.
При малых углах тангенс может быть заменен на г синус, и предыдущая формула показывает, что направление натекання и стекания струй на концах дужки совпадает с касательными к ней. В 48. Определение обтекания крылоного профиля произвольной формы В современных расчетах крыльсз и винтов самолета, лопаток рабочих колес и направляющих аппаратов турбомашнн, вентиляторов н др. приходится определять обтекания разнообразного типа профилей, значительно отличающихся от „теоретических" профилей н имеющих настолько большую относительную толщину и вогнутость, что уже нельзя применять изложенную в предыдущем параграфе теорию тонкой слабо изогнутой дужки. Для решения этих задач встал вопрос о создании практического метода расчета обтекания крылового профиля произвольной заданной формы; основной целью такого расчета является определение распределения скоростей и давлений по поверхности профиля, причем технические требования к точности расчета оказываются по необходимости весьма высокимя.
В настоящее время существует большое число методов такого расчета: одни методы используют идею приближенного конформного отображения заданного профиля на контур. обтекание которого заранее хорошо известно. другие сводят задачу к определению такой интенсивности размещаемого на Отсылаем янтересующнхся к ранее цитированному разделу курса Кибеля, Кочина н Розе. 9 48) овткклннз пгоизвольиого кгылового провидя 309 повсрхности крыла вихревого слоя, чтобы в результате наложении плоска- параллельного набегающего потока на течение, индуцированное слоем, получилось обтекание заданного профили. Последний путь крайне сложен, так кзк приводит к необходимости приближенного решения интегральных уравнений и тем самым — к большому числу трудоемких вычислений. Наиболее оправдавшим себя, без сомнения, нвляется первый путь, основанный на использовании конформных отображений.
У нас в Союзе широко используются удачно доведенные до практических вычислительных приемов методы Я. М. Серебрийского, ' С. Г. Нужина э и Л. А. Симонова.з За границей принят метод Теодорсена и его модификации.а Отсылая за деталями отдельных методов к цитируемым работам, остановимся здесь на основной идее применения метода конформных отображений н общем характере вычислительного анализа, приводящего к решению поставленной задачи. Начнем с метода Я. М.
Серебрийского. Как уже было выяснено в 646, формула конфармного отображения Жуковского — Чаплыгина (98) преобразует систему софокусных эллипсов, стягивающихся к отрезку ттгт' (рис. 94) физической плоскости г, в систему кругов с общим центром в начале координат ва вспомогательной плоскости С Далее было показано, что в плоскости г существуют такие крыловые профили с нулевым углом иа задней кромке (профили Жуковского — Чаплыгина), которые прн выполнении того же конформного отображения (98) преобразуются в плоскости 6 в круги са смещенными относительно начала координат центрами (рис.
95). Если вместо отображения (98) взять обобщенное отображение (100), то аналогичному преобразованию в круг будут подвергаться и крыловые профиля в обобщенные профили Жуковского — Чаплыгина, — заканчивающиеся острым углом, отличным от нуля (рнс. 96). Возьмем теперь крыловой профиль „произвольной" формы. Наметим среднюю линию (.скелет') этого профиля и определим его относительную вогнутость и толщину; после этого совместим, насколько это окажется возможным, профиль произвольной формы с подходящим к нему по вогнутости и толщине обычным или обобщенным профилем Жуковского — Чаплыгина.
Из непрерывности отображающей функции (98) или (100) следует, что профили, близкие друг к другу в физической плоскости а, окажутся близкими и во вспомогательной плоскости С Но один из этвх профилей— профиль Жуковского — Чаплыгина — отображается на круг со смещенным центром, следовательно, второй — профиль произвольной формы — отобразится на некоторый близкий к кругу контур, который в дальнейшем изложении будем называть яочти-кругом. Для того чтобы .почти-круг' был по возможности близок к точному кругу, следует особо внимательно отнестись к вопросу о расположении передней н задней кромок относительно фокусов Г и Р' эллипсов в плоскости я.
Так, при пользовании обобщенным преобразованием (100), если эа взят угол на задней кромке исследуемого профиля, то заднюю кромку профиля следует помещать точно в один из фокусов. При использовании обычного преобразования (98) это можно делать только в том случае, когда угол на ' Я. М. Се ребр и й с к и й, Обтекание крыловых профилей произвольной формы. Инженерный сб., т. П1, вып.
1, 1946, стр. 105. э Г. Г. Н уж ни, Построение потенциального потока несжимаемой жид~~сти около крыловых профилей произвольной формы. Прикл. матем. и мехаи., т. Х1, вып. 1, 1947, стр. 55. э Л. А. С и моно в, Расчет обтекания крыловых профилей и построение профиля по распределению скоростей на его поверхности. Прикл. матем. и и'хан., т. Х1, вып. 1, 1947, стр. 69. ' Тп ео догз ей Т.
Оепега1 Рогепг(а! ТЬеогу о1 АгЫ1гагу %)пй 5сс!(опэ, )(ЛСА Дероы № 452 (1933). плоскоц ввзвихннвов движинив жидкости [гл. тг задней крол~хе очень близок к нутю; в противном случае следует угол на задней кромке исследуемого профиля закруглить и помещать фокус на половине расстояния от закругленной кромки до центра ее кривизны. Что касается рзсположения передней закругленной кромки (иоска профиля), то прн пользовании преобразованием (98! можно сохранить ту же рекомендацию, что и для задней кромки. Основанием для этой рекомендации служит известное геометрическое свойство носка достаточно тонкого эллипса; грокус такого эллипса близок к середине радиуса кривизны носка.
При использовании обобщенного преобразования (100) фокус рекомендуется размещать между только что указанной точкой и носком профиля. При выполнении этих требований .почти-круг" будет представлять кривую, весьма близкую к кругу. Произведв указанное размещение исследуемого профиля по отношению к точкам г" и Р' — особым точкам преобразований 98) и (100), перейдем к самим преобразованиям. Будем для общности пользоваться преобразованием (100) « — ее lь — е Ч' (100) «+ вс (ь+ с) ' имея в виду, что при т = 0 преобразование (100) переходит в обычнос преобразование Жуковского — Чаплыгина (99'!.
Я. М. Серебрнйскнй использует более простое преобразование (99'), однако с точки зрение выгодного лля дальнейших расчетов максимального приближения „почти-круга' к кругу можно рекомендовать для профилей с конечным углом на задней кромке применение преобразования (100), учитывающего наличие этого углз.
Обозначим (рис. 97) через хэ, ув декартовы координаты точек Мэ гга профите К в плоскости «, черсз се, цэ — декартовы и через рэ, в — полярные Рнс. 97. кооРдннаты соответствУющих точек гИоэ .почти-кРУга' К в плоскости „" и через а — радиус близкого к „почти-кругу" точного круга Е в плоскости м, на рнс. 97, совмещенной с плоскостью "-.
Наиболее трудоемкими в смысле вычислений операциями являются: определение уравнения ,почти-круга" в полярных координатах и представление логарифма отиошсния радиуса-вектора рэ~в) к радиусу круга а в виде ряда фурье )п — = ар + ~~' (аи соэ пв + Ьпэ(п пв) Ро и — 1 9 48) овткканик произвольного крылоного прочная 311 (л+ ае)» а+ (т — ас)» а (ае ) г (»ае ) (л+ ае)»" — (е — ае)»!а ~ л, )' ' ( г )Ьь и будем считать, что координаты заданного профиля х, у выражены в часщх дапшы ас, а радиус-вектор р — в частвх длины е. Сохраыяи обозначение ч, р, е, х, у для этих безразмерных вел»»чив, будем иметь: 1)»/а ! ( 1)»а (е+ 1)' ' — (е — 1)"' положим: (е , '1) '=-1п;.'+»»', (е — 1)"ь= !и;а л — 1 = г"е' е 1-!=г»е~, »ш,ш будем иметь расчетпыс форл»улы; (!и !.'+)п !")т ! (»' 1- »")т ()п р' — 1п р")'+ (»' — гч)т ' » -1-Е а — - » -ч „— аж 1и )п;,'+ )пра ~ !яр' — !яр" ' 1п р =- — 1п 1 2 » = агс(н где: а; (г")Ч'соэ( — ~, (ге) ' 5»п ( — )' l 1и ' = (»') Ч' соз ( — ), е »' = (г') Пп ~ — р», г 1;а /1'1 '» а,l' г' = р' (х+!)э+ ух, т'= агс 18 —, У к+ 1' 1п р" = »е =-..
рг(л — 1)'+ у' агс !8— У л — 1' ' С. Л. Г ерш горин, Механизм для построения функции комплексного 1 переменного б= — (е+ — ). Изв, Ленингр. технолог, ии-та, т. П (ХХЧ!), 2 (» 'обнлейный, 1928; О механическом построении профилей аэропланных крыльев тяпа проф. Мизеса. Вести. механ. и прнкл. матея., т. 1, 1929. Л. Г. Л о йця не к и й, О некоторых общих типах конформных трансформаторов двих»ения. Изв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
