Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 61
Текст из файла (страница 61)
д. Выбирая ось х параллельной этому однородному потоку, будем нметьс и=Ь' +и, О=О, О=р,+й, р= — р, +р, а=а +а', ди' 2 ди' (а — Ч ) — +аз — = О, дх 'ду когорое, после введения числа М = —, перепишется так: а (1 — М'„') — + = О, ди' ди' дх ду где величины и', О', р', р' н а', так же как и их проиаводные по координатам, считаются настолько малыми, что можно пренебрегать вх квадратами н произведениями. В этом предположении оудем иметь вместо (5) следующее линейное уравнение: 326 плоское ввзвихрквоя движение сжимаемого газа (гл. ч! р- (г- +р' др', дт' ду ' (9) после чего уравнение (8) приведется к виду: дгтг дг' (! — М„) — + — — О. дхе дуг (10) Из уравнения неразрывности (2) следует, что существует такая функция ф(х, у), по аналогии с несжимаемым потоком называемая Функцией тока, что р ду' р дх' (11) В условиях принимаемой линеаризации уравнений движения сжимаемого газа рааобьем функцию тока ф, аналогично (9), на функцию тока однородного потока и функцию тока ы возмущений, соответствующую отклонению действительного потока от однородного, по- ложив У= ~'-У+) ' (12) тогда, согласно (11), будем иметь: р +р', дФ' — (1' +и') = И +-3-, р~ ' у' р +р', д!' р дх' или, откидывая малые второго порядка р' дф' и'+ — ~' ду (13) о'= —— де' дх Освободимся в первом из этих равенств от р', выразив его через добавочную скорость и', согласно формуле Бернулли, переписанной, в силу уравнения изэнтропы, в виде: !/г г, а-г а ( = — + — — ') .= сопя!, к — ! !р Разбивая потенциал скоростей 9 на потенциал однородного потока и малый потенциал 9' возмущений, будем иметь: й 511 линьАРВЗИРОВАнный ГАзОВый пОтОк Будем иметь, задавая константу на бесконечности, или !г и'+ — р' =О.
Рс~ РГ Исключая из этого равенства — и подставляя в (13), найдем: Ра 1 д(Р 1 — М' ду ! (14) Если последние выражения и' и О' подставить в условие отсутствия завихренностн (4), то получим уравнение относительно О1'. дгь 1 д~с~ длг 1 !ь1г дуг = 0 (15) аналогичное уравнению (10) Относительно добавочного потенциача е'. Уравнения (10) и (15) представля~от линелризированные уравнения плоеного безеихрееого движения сжимаемого газа; их следует решать при обычных граничных условиях для скорости на бесконечности и на поверхности обтекаемого тела (условие непроницаемости).
Покажем ход решения линеарнзированных уравнений на простейших примерах. 61. Линеаризировинный до- и сверхзвуковой газовый поток вдоль волнистой стенки 2и у = е з! и — х. А (16) Определим возмущения и', О', р', р', вноСИмыЕ тВердОй Стенкой з однородный поток со скоростью !г, направленный вдоль оси Ох. Начнем с рассмотрения дозвукового потока, при котором М (1. Обозначим через мв величину: ма= 1 — М,.„; В качестве первого примера решений линеаризированных уравнений рассмотрим поток вдоль безграничной волнистой стенки (рис.
102) в виде синусоиды с амплитудой е, весьма малой по сравнению с длиной волны 1. Уравнение такой стенки будет (1 7) 11опытаемся составить искомое решение, удовлетворяющее граничным д=е)(п ух Рис. 1()2, условиям (17), в форме произведения двух функций о.г отдельных аргументов Х(х) и У(у): ф' = Х(х) ° 1'(у); (18) Х" (х) )(у)+ —, Х(х) 1'"(у) = (), или Х"(х) ул(у) Л (х) == шек(у) = Г ~ 1 тх, (сов "(Х, (е'( У, у(у) = ~ из которых можно сосгавить комбинацию, удовлетворяющую граничным условиям (17), л' = А яп 7х е - ("')), (19) 2г если положить 7= — —. 1 йял '; Действительно, на стенке (у=езш — ") должно по (17) вьполняться равенство гу= Аз(пух ° е ' "'" '' =Аяп7х(1 — 7меяп7х+..
Е)= — (г ез1п 7х. 328 плоское Безвихю(вое движение си(имАех(Ого ГАзл будем искать решение уравнения (15) при следующих условиях: ) = (), 2ех прн у=ежив 1 или, согласно (12): 2хх 2г.х при у = ев1п— ), и при у-+ го л'= — )г еяп--:-- ), ф' -+ к конечной величине. подставив его выражение в (15), полу)им где 7е — некоторая постоянная. Отсюда находим систему частных решений (гл. ю граничных 9 51! линеАРизнРОВАнный ГАВОВИЙ поток 329 :-)то граничное условие будет выполнено приближенно, если положить А= — ГГ, е (20) я оторосить в предыдущем равенстве, согласно принятой линеаризацнн, члены с ев и высшими степенями г. Можно еще поступить иначе: выполнить первое граничное условие (17) Гиочно, но не на поверхности стенки, а на оси Ох, положив при У=О, б'= — Ь' ез)п(х.
-т$ Г-М е 6' = — ГГ е ейп тх ° е (19') а используя (14), находим искомые проекции скорости: .Ое Г дУ ~' 1 — М" (21) д ' ' —;. ~' à — з~ "' х О'.= — — „' = !Г ЗГ соя тх е дл !Гак видно из этих решений, при удалении от волнистой СтЕнкИ (у- со) дополнительные скорости а' и О' быстро, по показательному закону, убывают до нуля, т. е. движение вдалеке от стенки переходит в невозмущенный однороднГчй поток со скоростью ГГ (рис. 103). СравГГнвая полученное дозвуковое движение газа с соответствующим движением несжимаемой жидкости со скоростью около той же волнистой стенки (М > = 0) 'злю Гл ВГВ!и Гх ° е — и =йй — М Ю и Гл е(соз'Гх рн..
1ОЗ. коГОрое можно получить из (21), полагая в нем М =- О, заметим существенный для дальнейшего физический факт: в дозвуковом потоке с ростом числа м область возмущающего влияния стенки уве- личивается Г!одобный прием, характерный для всех методов рассмотрения движеьшй, мало уклоняющихся от некоторого прямолинейного, применялся Уже В ПРедыдущей главе при рассмотРении задачи об обтекании тонкой мало вогнутой дужки потоком несжимаемой жидкости, набегающей на дужку под малым углом атаки. Второе граничное условие, очевидно, также выполняется. Итак, по (19) и (20), имеем решение поставленной задачи: 330 плоское вязвнх»ввов движение сжимлвмого глзл 1гл. хч Отношения добавочных скоростей в сжимаемом и несжимаемом газе равны: г 0 — Уа — и'1к важ Е ааж паж 11г — 1' а-мв 1и .,— =е Рнаж Таким образом, линии тока при М = 0 выпрямляются скорее, чем при больших М (рис.
103). Определим распределение давления дозвукового потока на волнистую стенку. Для этого введем, как обычно, коэффициент давления Р Р,а 2 а" который в случае лннеаричированной теории равен (22) ! 2 аса '*' 11о теореме Бернулли Рв Л Р А — 1р2'Л вЂ” 1р, исключая плотность при помощи изэнтропы, получим или, вводя малые отклонения и', о' и р'. К,л'+ — = О, гаа р'= — р У и', линеьуизиРОВАнный ГАВОВый пОтОк ЗЗ! Подставляя это значение р' в формулу (22), найдем общее выражение коэффициента давления р в линеаризированной теории — 2и' р= (23) В частном случае волнистой стенки будем, согласно первой из формул (21), иметь 2ст .
— т )/!-м~ в р = — з1П 1х ° е У ! — М'„' Давление на волнистую стенку получим, если, следуя принятому приближению, положим в последней формуле у = О; будем иметь 21 (Р)в-о = — З1П ух. У ! — М'„ Сравнивая коэффициент давлений на стенке в сжимаемом газе при данном М и несжимаемом (М = О), получим — важное соотношение, показывающее, что в принятом приближении коэффициент давления ло поверхности обтекаемой стенки растет с числом М по закону Раса У ! — М'„' Это соотношение в дальнейшем будет обобщено и уточнено. Перейдем к рассмотрению сверхзвукового потока (М ) 1).
Вводя в этом случае обозначение а =М вЂ” 1, перепишем уравнение (15) в виде: дед' 1 дЦ' О (15') дхт ас дут Это волновое уравнение имеет, как известно, общее решение и,~я в симВОлы пРОизвольных фУнкций) Ф' = Гг (х — аУ) +ге (х+ аУ), з чеи легко убедиться простой подстановкой.
Рассмотрим решение, соответствующее первому слагаемому Ф! =У! (х ау) 332 плоское везвихвавое движение сжимаемого газа [гл. чг Полагая х--ау = С„ убедимся, что вдоль прямых этого семейства (С,) величины б', и', о', р' и т. д. принимают постоянные значения Ф'(С,), и'(С1) и т. д. Вспоминая сказанное в й 28 гл.!Ч, видим, что семейство прямых (С,) представляет одно из двух семейств хиракгиерипиик волнового уравнения (15'). Аналогично, семейство прямых (С~ х+ау = Ся представляет второе семейство характеристик того же волнового уравнения. Уравнение (1б') — линейное уравнение с постоянными коэффициентами; в силу этого характеристики (С,) и (Ся), в отличие от рассмотренной в й 28 гл.
!Ч нелинейной системы (27), определяются в простой конечной форме. Вспоминая ранее изложенные свойства характеристик, убеждаемся, что и в настоящем частном случае, зная распределение характеристик в плоскости х, у, можно по заданным значениям ф', и', о', р' и т. д.
вдоль некоторой линии, не принадлежащей к семействам характеристик, найти значения этих величин во всей плоскости: и'(х — ау) = и'(С,), о'(х — ау) =о'(С,). и'(х+ ау) =- и' (Ся), о' (х —, ау) = о'(Се) и т. д. Принимая во внимание необходимость выполнения граничных условий: 2кт прн у=О у = — )г ез!птх, !т= — ') х при у -+ со 6' -ь к конечной величине, будем искать функцию ',' в виде ф' = А а!п [т (х — ау) [, Тогда из первого граничного условия будет вытекать А= — )г, е, что приведет 4 =- и-- (2б) к следующим окончательным результатам: — )г,о ев!и!.! (х — ау)[, 1 дт' ~/ — — соа [; !х — ау)[, М~ 1зу т,Г а, Де 1 — — = 1гае"1соа [7 (х — ау)[, 2чт соя [т (х — ау)[.
[УМ'„— 1 51) г!инаАРизиРОВАниый ГАВОВый поток 333 На поверхности волнистой стенки в выбранном приближении 1У = О) будем иметь: (Р)ч ь = — — сов !х. !26) $'М-' Проанализируем полученные результаты тим следующее специфическое свойство сверхзвуковых потоков: вазжуигаюигее влияние стенки на поток не исчезает при удалении от стенки, как это имело место в дозвуковых потоках. Наоборот, возмущения, создаваемые сгенкой, сохраняют свою величину вдоль наклонных к стенке прямых:!иннй (рис.
104): (25). Прежде всего отме!  — 1 ь све51 М„>1 Рпг, 104. Х вЂ” МУ = СОП51. Угловой коэффициент згиога сенейтпва характеристик вкгнавага уравнения 115') равен пу — =!аа = —:= ах ума — 1 1 а = агс гйп —. М По ь 27 гл. 1Ч заключаем, что характеристики играют роль линий вознуивения в рассматриваемом сверхзвуковом потоке. Чем больше ~исг!о М, тем меньше „угол возмущения" а, образуемый линиями возмущений с осью Ох.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
