Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Направление подъемнгях сил при Ч =Ч также будет одинаковым. Замечая, что, в силу равенства Ч„=1 ° Ч вЂ” 1 ° Ч,=О, вектор 1 перпендикулярен к Ча (вектор Ую следовательно, имеет то же направление, что и ось решетки), а вектор 1;к, Чл перпендикулярен к плоскости течения, т. е. и к Ч,„, можем переписать равенство (120) в виде й = а1У Ра. Это скалярное равенство, так же как и векторное равенство (119), имеет то преимущестно, что указывает в явной форме зависимость (прямую пропорциональность) главного вектора К от плотности жидкости, шага решетки и двух характерных скоростей †средн векторной и скорости девиации потока решеткой. Ю= рЧ„,Г, (190) аналогичном формуле Жуковского (86) 9 43.
Вектор )с направлен перпендикулярно средней векторной скорости Ч, играющей при обтекании решетки профилей ту же роль, что скорость на бесконечности в случае одиночного профиля. Направление вектора 19 можно определять как непосредственно построением произведения (119) по заданным направлениям 1, Ч и Ч„, так и путем использования поворота вектора Ч на 90' в сторону, противоположную „положительному направлению циркуляции".
Введение средней векторной скорости Ч представляет большое удобство для сравнения подъемных сил крыловых профилей: одиночных и в решетке. Сопоставляя обтекание профилей одной и той же жидкостью при равенстве скорости на бесконечности Ч.,„ — в случае одиночного профиля и средней векторной скорости Ч„, †п обтекании профиля в решетке, будем иметь для отношения подьемных сил равенство: 32! ~$ 49) тконеагл жкковского для плоской ншпкткн Таким образом, теорема Жуковского обобщается на случай безвихревого обтекания плоской решетки профилей.
Легко видеть, что при беспредельном увеличении шага обобщенная теорема Жуковского переходит в теорему для одиночного профиля. При г-ь оо циркуляция !' стремится к циркуляции вокруг одиночного профиля, следовагельно, по (119'): прн )-~со, Уа — +О, Чг-~.Ч -+У„, так жо Уж = 2 (Уг-! Чт)-~ У~, и мы вновь приходим к обычной формулировке теоремы Жуковского о подъемной силе одиночного крылоного профиля. Изложенный вывод теоремы не был связан с выбором системы осей координат. Если задать систему координат, направив ось Ох по вектору-шагу, а ось Оу по осн решетки, то в обычных обозначениях будеч иметь, согласно только что вывеленныи векторным формулам: гхх — оо 1 = — р(о ы+ц ) ! 1 (121) Й вЂ” чггых — — — р (и, —,— ич) 1, 1' = г'(нв — пг).
Постановка ирямои задачи об обтекании реи~стки такова: задается вектор скорости перед решетной Ч„геометрические параметры решетки (шаг, угол выноса или установки), форма профиля и угол между осью решетки и направлением потока перед решеткой нли какой-нибудь другой, связанный с ним угол. Следует определить направление и величину скорости на бесконечности за решеткой при условии выполнения постулата Жуковского — Чаплыгина о безотрывном обтекании задних острых кромок профилей, а также силовое действие потока на решетку. В качестве иллюстрации применения выведенных общих формул рассмотрим обтекание пластин, расположенных вдоль осн х (рпс.
80). Согласно теории, наложенной в 9 40, скорости на бесконечности У, до н У, эа решеткой будут в этом случае иметь проекции (выбранное в 9 40 направление осей ьоор иниж отличается от настоящего): и ==и — г), и -=ий г - ' 1" и =- +г), пгс ег и н в — проекции на осн координат (рнс. 80) скоростей на бесконеч"ости до н эа решеткой прн бесйиркуляиионном обтекания рассматриваемой Решетки. 21 зэк, ниь л. г.
лоачянсхьа. 322 плоскок кззвихпквоь движении жидкости [гл. (г Средняя векторная скорость У„будет иметь, очевидно, проекции: 1 1 "!я~=-Д'("г Рпч)="~" он=-2 ('т+'з) ='~ яс я! Г=2а [(и, +9) — (и — 4)) =4ау= 4яв. (д — =2Го гй —, где ! = 2с — длина пластинки. Вспоминая формулу (б!) й 40, найдем по (120) отношение подъемных спл плзстинки в рассматриваемой решетке и одиночной пластинки; ег 1',я 'ч» 2п 2о Яс 2Г к! Г д„„ 2-.го кс 2а я! 2г (!22) Как видно нз полученной формулы, козффициент Л пересчета подъемной силы с одиночной пластинки на соответствующее обтекание пластинки в решетке представляет функцию относительного шага г/й В случае решетки пластинок, ориентированных иеряеядик гу кулярно осн решетки Ох, соответствующая формула пересчета имела бы зид Л =.- — 111 — ' . (123) 21 яг к! 2г " г,а На рис. 101 приведены графики зависимости козффициента й от отио(у снтельного шага решетки пластинок при различных углах установки 3 (рис.
99) пластинок в решетке. Соотношениям (!22) и (123) на графике соответствуют крайняя верхняя и крайняя нижняя кри- (О вые. Интересно отметить, что при углах й, меньших 50', н при любых относительных шагах коэффициент Ф меньше единицы, т. е. подъемная сила пластинки йу в решетке меньше, чем у одиночной пластинки. Наоборот, при углах установки, приближающихся к 0 =90', и не очень малых относительных шагах ко- 0 зффициент й становится значительно 0 7 у превосходящим единицу. При больших !д относительных шагах ( —.+ со)козффиРнс. 101. циеит й, естественно, независимо от угла установки 3, стремится к единице. Разыскание комплексного потенциала обтекания решетки профилей представляет задачу, значительно более тРудную, чем соответствующий вопРос теории обтекания одиночного профиля; объем настоящего курса не позволяет становиться на изложении даже простейшей задачи об обтекании решетки ставленной из пластин.
Отсылаем интересующихся к недавно вышедшей равные проенциям скорости, соответста> ющей бесцнркуляционному обтеканию решетки пластинок. Замечая, что шаг в данном случае равен ! = 2а, будем иметь по последней из формул (121)г ь' 49! творама жхковского для плоской эвщнткн в свет монографии Н. Е. Кочина.х В этой краткой, но весьма содержательной монографии излагается теория обтекания плоских решеток, составленных как из пластин и тонких дужек, так и из теоретических профилей конечной эолщины. В настоящее время созданы различные методы расчета обтекания решеток, составленных из профилей произвольной формы,э однако эти методы еще только начинают получать практическое применение.
Точно так ~ке, как и в случае одиночного профиля, большие услуги в деле определения потенциала обтекания и распределения скоростей и давлений по поверхности профиля в решетке оказываег метод электро-гидродинамнческнх аналогий (ЭГЛА).э ~ Н. Е. Кочин, Гидродинамическая теория решеток. Серия,Современные проблемы механики", Гостехиздат, 1949. з Н. Е. Кочин, Влияние шага решетки на ее гидродинамические хара. ктсристики.
Прикл. матем. и механ., т. Ч, вып. 2, !941; Л. А. С и м о и о в, Построение профилей по годографу скоростей. Приял, матем. и механ., т. Ч, вып. 2, 1941; Э. Л. Блох, Исследование птоской решетки, составленной из теоретических профилей конечной толщины. Труды ПАГЙ, вып. 611, 1947; э Желающим углубить свои знания в области теории плоского движения рекомендуем монографию Л. И. Седов а, Плоские задачи гидродинамики, Гостетиздат, 1950.
214 !ЛАВА Ч! ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА Общие уравнения нзэнтропического плоского стационарного безвихревого движения идеального сжимаемого газа при отсутствии объемных сил н отвода тепла. согласно наложенному в гл.
!!1, можно свести ь ин гегралу Бернулли: 1/2 1 2 ф р ~/2 л2 — + Ю =- — + — — = —,+ — = сопэ1, 2 2 к — 1 р 2 Л вЂ” ! (1) уравнению неразрывности: †! †'к) -~- д !'") = О дх ду !2) н уравнению изэнтропьп — = сопи; Р р 2 к этим уравнениям присоединяется еще уравнение отсутствия вихря: ди до — — — = О.
44) де дх Перепишем уравнение неразрывности (2) в виде: р — + и — '+ о — +р — =О да др, др де 12', дх дх ду ' ду н произведем в этои равенстве замену; др др др р 1 др рду дх др дк аэ р дх аэдх' др Лр др р 1 др рдф' ду др ду а2 р ду 3ду' или по 11): ду а21, ду ду)' ф 50. Основные уравнения плоского стационарного безвихревого движения сжимаемого газа. Линеаризнроваиные уравнения ~ 50) ОСНОВНЫЕ ГРЛВНЕНИЯ БЕЗВИХРЕВОГО ДВИЖЕНИЯ 325 Тогда уравнение (2') после простых преобразований сведется к такому: (а- — и-) — — ип ( — + — ) + (а — ОЕ) — = О. е 2 ди /дв дит э дв дх 1, дх ду,) ду (5) В этом уравнении две неизвестных функции и и О могут быть сведены к одной — потенциалу скоростей ° (х, у), так как, согласно (4), будем, очевидно, иметь: д; дт и= — ', Ф= —, дх' ду' (6) Что касается величины аэ, то связь ее со скоростью газа Ъ' в данном весте определяется интегралом Бернулли 1/2 а2 — -$- — = сопз1, 2 ' Л вЂ” 1 (7) так что аэ= — сопз1 — — (иэ+еэ) = сопи — р — ) +1х — )2 ~.
в — 1 2 2 ~(дх1 'хду7 ~' Уравнение (5) представляет сложное нелинейное дифференпиальное уравнение второго порядка в частных производных относительно неизвестной функции э(х, у), вопрос об ннтегрируемости которого при заданных граничных условиях представляет непреодолимые трудности. Бак это уже было сделано в гл. 1Ч прн рассмотрении одномерного нестацнонарного движения, попытаемся лилгаризировать уравнение (5). сделав предположение, что в рассматриваемом движении поле скоростей, плотностей, давлений и др. мало отличается от некоторого однородного движения со скоростью Г , плотностью р , давлением р и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
