Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 47
Текст из файла (страница 47)
68в. При дальнейшем уменьшении циркуляции Г точки А и В будут раздвигаться, стремясь занять свои предельные положения иа диаметре круга при 1' = О. 891 247 овтеклнив к~ ю лого цилиндгл Неравенства Г~ 4яар;, ограничивающие величину циркуляции для трех типов движения, имеют простоя физический смысл. Вспомним, что в точках пересечения милелевой плоскости с мнимой осью скорости в бесциркуляпионном течении равны удвоенной скорости на бесконечности, т.
е. 2 Р'; с другой стороны, при чисто циркуляционном обтекании скорости точек на контуре цилиндра Г равны —. Следовательно при 2га ' выбранном направлении циркуляционного движения по часовой стрелке при — > 2Р' Г 2аа частицы жидкости на поверхности цилиндра и в некоторон области ниже цилиндра (рис. 68а) будут двигаться вспять, а линии тока будут замкнутыми кривыми вокруг цилиндра. При (рис.
68б и в) — =2Р' и — (2$' Г Г 2аа ' 2аа Я критические точки будут находиться на контуре цилиндра. Как видно из рис. 68, при циркуляционном обтекании э круглого цилиндра сохраняется симметрия относительно оси Оу, но нарушается симметрия относительно оси Ох. В связи с этим главный вектор сил давления жидкости на поверхность цилиндра будет отличен Рис. 68.
"т нуля и направлен вдоль оси Оу. Заметим, что в слоях жидкости над цилиндром скорости оесциркуляцнонного обтекания цилиндра и чисто циркуляционного потока вокруг цилиндра складываются, а снизу от цилиндра— !гл. тг плоское Еьзвихгевое ляиженик жидкости вмчиТпаюлгсл. Отсюда следует, гго над цилиндром скорости больше ~ем снизу; »то вшгно и по плотности линий тока — над цилиндром линии тока сгущаются, под цилиндром, наоборот, разрежаются. При этом, согласно теореме Бернулли, давление на верхней половине цилиндра меньше, на нижней — больше, следовательно, главный вектор сил давления должен быть направлен по о и Су вверх. Найдем величину этой, перпендикулярной к направлению движения силы !4. Имеем 22= ~Рп 225, Оса= — ~Рсозег!5, гс, = — ~Р5!ИО~Г8 где контурный интеграл вычисляется по положительному обходу окружности.
По теореме Бернулли р=С— Р! Р!2 2 На контуре круга, согласно !49): И= И !! — О ж')+ — !е-"=!а-22!21' сйпО+ ), 22а !, Ияа)' откуда — ~ Ъ'!2= — !212 зш + — ) . 2 2 ~ 2яа) ' Замечая, что интеграл по замкнутому контуру от постоянной составляющей давления С, как архимедова сила в однородном поле давлений, равен нулю, получим: 2 Тс = — ~ ~ !'!Осозег!О= — ) 12!г сйп О+ — ) соя ОО!О Ра ! Ра ! Г ДО 2 .! 5 ТСР= — 4!' 5!ПЕОНЕ+ —" 4!г — ~ 5!пяе~й+ Ра + — ° — Ейп О 2!О.
2 4ООПО .! О я=-2 ~ (2У '"+ —," )'.!"-. О Интегралы легко вычисляются; имеем: й„= — 4 Ра ! шпз О соз О ~й+ — ° 4 !г, О 5!П О СО5 О 625+ О Ра ГО + — ° — ~ созе ~12, 2 422а2,1 О 249 Озтеклние эллипсА, пластинки и ди. Пз всех интегРалов отличен от нУлз лишь втоРой и выРажении Яя, так что: А.=о, ак рЬ' Г1 К„= ~ з1па а ~й = р1' 1'. (50) 540. Применение криволинейных координат. Бесцнркуляционное и циркуляционное обтекания эллиптического цилиндра и пластинки. Задача Жуковского об обтекании решетки пластин.
В некоторых, более сложных, чем рассмотренные в предыдущих параграфах, случаях задача об определении комплексного потенциала облегчается, если потенциал искать не в физической плоскости л+ гу, а в плоскости другого вспомогательного переменного -. =- 1 + 1хй связанного с з некоторой аналитической зависимостью .=з(5). (51) Геометрически это можно трактовать как решение задачи обтекания в криволинейной системе координат (1, "4), т. е. разыскание комплексного потенциала в виде Х=Х() (52) Совокупность уравнений (51) и (52) определяет искомую связь между Х и з в параметрическом виде, причем роль параметра играет комплексная переменная г Поясним это примером.
Как и в слу 1ае бесциркуляционного обтекания цилиндра, при циркуляционном обтекании сопротивления иет (Р! =- О), но зато появилась поперечная сила Яя, равная, по (50), произведению плотности жидкости на скорость набегающего потока и на циркуляцию. Формула (50) является частным случаем общей теоремы гйуновского, относящейся к любому обтекаемому контуру; доказательство этой теоремы будет дано ниже. Возникновение поперечной силы при обтекании вращающегося артиллерийского снаряда набегающим воздухом было обнаружено еще в середине ХНП! в. Роторы Флетнера, представляющие собою вращающиеся цилиндрические башни, размещенные на палубе корабля, создают при наличии набегающего ветра перпеш1икулярную к направлению ветра силу, движущую корабль.
Аналогичный эффект наблюдается на закрученных теннисных и футбольных мячах и во многих других случаях. Как будет показано в дальнейшем, задача о циркуляцнонном обтекании круглого цилиндра имеет основное значение. К этой задаче будут сводиться все остальные случаи обтекания замкнутых контуров и, в частности, задача об обтекании крыла. 95!О плоскоБ БезвихРезос ДВижение жидкости [!'л, в Уравнение (с — действительная постоянная) в=сей !' (51') дает переход от декартовых координат х, у к вллиилтичесхии координатам 1, е. В самом деле, отделяя в равенстве (51') действительную и мнимую части, будем иметь: х [- су =- с с Л (с+ (а() = с сй с сов т(+ вс зй Е в[ и и, х= сей ссовть у = с вй ( в(п й.
Полагая здесь с =- а = сонэ!, получим семейство эллипсов (рис. 69) х ! у~ с!сйв а + свай! а с полуосями а=сей а, й=свй а и фокусным расстоянием с= Раз — Ьв; по,чагая и = р = сопв(, получим семейство хв ув с' сова В св в(пв В софокусных с предыдущими эллипсами аилербол, имеющих полуоси с сов [в и с жп р. Рассмотрим теперь комплексный потенциал )( = А СЬ (" — (), (52') Рнс. 69. где А и ( = а+ вр — действи- тельная н комплексная постоянные. Переписывая этот комплексный потенциал в форме 9+ !ф = А СЬ [(1 — а)+в(й — Р)[, сразу видим, что ф=О, если ."=а или т[='Р, т.
с. нулевая линия тока состоит из эллипса с = а и гиперболы В =[в (на рис. 69 показанных жирной линией). Чтобы найти значение постоянной А, составим выражение сопряженной скорости — ЛХ ид Ле А ей (" — т) Ле Ль ' ич свйч и вычислим ее на бесконечном удалении от эллипса с = а, Будем иметь (З вЂ” угол между вектором Ъ' и осью Ох): Р— !ваа А вй(г — т) А . е ! А = [(г [е = — Пт ' = — Вп! —,= — е й 4О) овтзклние эллипса, нллстинки и дг. откуда получаем !е '' = — е —" е — 'Ь.
с Из последнего равенства вытекает: 0 =Р, А=с! Ь' !е", причем постоянная а может быть, по предыдушему, выражена через полуоси обтекаемого эллипса по одной из следующих формул: сйа= — =, зйа= — =, 1йа и а Ь Ь Ь с )гиа — ЬЯ с Ь' а~ — Ьг а гак что е" = с'и а + ай а = —, А = (а + Ь) ! Ь' Итак, совокупность равенств у = (а+ Ь) ( И ! сп !г — "), е = с с'и "., 7ЬЗ) где, напоминаем, Ь Т=а+юР=агГй — +гй, с=Уаз — Ьз, две г параметрическое выражение кол|плексного потенциала у (г) обтекания эллиптического иилиидрас полуосями а и Ь У плоским безвихревым потоком несжимаемой жидкости, имеющим скорость на бесконечности, равную по величи- Ь не ~ !г ~ и направленную под углом 6, к большой оси эллипса; угол Р =9 принято 4 называть углом атаки.
Картина линий тока показана на рис. 70. Для построения линий Рнс. 70. тока и изопотенциальных линий можно использовать функцию тока и потенциал скоростей, ~вторые получатся исключением г и и из системы уравнений: в = (а + Ь) ~ Ъ' ( ей (! — и) соз (и — р), ф = (а + Ь) ~ Ъ' ~ ай (Š— а) з!и !и — Р), к=сев|совий у = с зп с з!и тн (гл. ч плоское всзвих! квоа движьниь жидкооти сйг= — зй"= г, / ге тогда будем иметь / =- (а+ Ь)! 1/„1~ ' сй 7 — Р/,—: — 1 зй т (54) или, заменяя: с 5 7 = с 5 (и + ф) = — (е" ь 1В + е - ~ - !Ь), 1 2 ай у=ай(а+ ф) = — (е" ь'З вЂ” е-"-1Ь), 1 2 а~-Ь е" = —, с с е-" = —, а+Ь' получим еще такое выражение для /: / = — (а+ Ь)~ 1/ ~ !Г, ега(е — )/ез — са) + 1 Г а+Ь ! — з! 1— + — е-га(е+ )/еа — сз) ~ = — 1/ !е+ )/ аа — сз)-! а+а 2 + — ., Г' (е — )/ав — с').
(о5) 1 (а -~- Ь]з Из последнего выражения легко вновь получить комплексный потенпиал обтекания круга (45). Для этого достаточно заметить, гго в случае круга а = Ь и с =- О и что, кроме того, 1/еа са ~ сз 1е= о 2е' тогда (55) даст ! —,- - 1, а 1 аа ./= — 1/ 2г+-(2а)а!/, ° — = Ь" е+ 1/ Если положить в (55) Ь = О, а = с, то получим потенциал обтекания пластинки (рис. 71), расположенной по отношению к набегшощему потоку под углом атаки 3= 5 1 — 1 У„= — 1/, (е — )/ез — с')+ — 1/ (е+ )/е" — сз) = 2 2 1 1 — — (1/ +)/ ) — — (1/ — 1/ )1/е' — с = = а з — Го )/ез — сз, (55') где и , о, — проекпии 1/ на оси координат, Можно также исключить ч непосредственно из уравнений (53).!(ля этого перепишем первое иа уравнений (53) в виде у = (а+ Ь) ~ 1/ ~ (сй 7 сЛ г — зй 7 ай 5), а из второго найдем йбй >з 4о) Овтеквния эллипсл, >яде!инки и дя.
11о составу выражения комплексного потенциала 15ог') можно зак.почит>ч что косое обтекание пластинки складывается из двух те >епнй: 1) вдоль пластинки, щ> направлению действительной оси со скоростью и.; комплексный потенциал этого обтекания равен у ! (в) = и в; н 2) перпендикулярно к пластинке со скоростью >о, направленной вдоль мнимой оси; комплексный потенциал этого движения равен уз(в) = — 1о,„ф'аа — сэ, С б") в ем можно было бы убедиться и непосредственно, строя линии тока по этой простой формуле, Определим сопряженную скорость рассматриваемого косо набегая>щего на пластинку потока; будем иметь (б>6) 1'в' — сз !1риравняв правую часть нулю, найдем координаты критн >ескнт го ык Л и В !Рис. 71)> си в = х = '-->:- 1 =- >" с соя >, гле, папы>ипаем, с — половина длины пластинки; пря,'" = — — обе крп- 2 тические то >ки сходятся в пачзле координаг.
Э При в=='-с, т. е. на передней и задней кромках Я' п.юстинки, сморосгль, согласно 1бб), обраи!аюпся в г>ег>сонечнос>пгч что видно и яо щ.ущению линий тока / ! в вг) на концах пластинки. На са- 7>- в и >ч деле инертная жидкость пе может безотрывно обтекать острые кромки пла- стинки, так как при обра»у>ощихся бесконечно боль- .Р >пях скоростях должны (со- >пзсно теореме Бернулли) появляться бесконечно боль- Ряс. 71. >пне разрежения, что физи'>ески невозможно. Как вскоре будет показано, в таких случаях можно теоретически получить обтекание с отрывом струй.
При этом скорость на острых кромках станет конечной, но потенциал обтеи щня чже не будет непрерывным во всей физической плоскости. ((ласков вгзвихтквоп лвнжения жил!(ости 1гл Зг Покажем, как построить обтекание пластинки с бесконечной скоростью лишь на одной, например, передней острой кромке н с конечной скоростью на задней кромке. Этот прием является общим приемом теории крыла и будет в дальней(пем подробно изложен (посту.чат Чаплыгина, 2 42). Рассмотрим комплексный потенциал чисто циркулнционного движения жидкости вокруг эллиптического цилиндра. Для этого напишем равенство г = с в1п у = с в!и ( р+ !()) = с (ейп ~ сй ф + ! сов й э!( Ф). Подобно тому, как это делалось по отношению к равенству (51), легко заключить, что софокусные эллипсы ф = сола! будут линиями тока в некотором движении жидкости вокруг любого эллипса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
