Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 68
Текст из файла (страница 68)
!Ч, такое свойство характеристик значительно облегчает построение решения. Обобщим на случай проиавольного нелинеаризированного сверхзвукового потока понятие о линиях возмущения. Будем по аналогии с линеаризированным потоком называть „линиями возмущения такие линии в физической плоскости !х, у), касательные к которым образуют с направлением скорости угол а а, синус которого обратен числу М в данной точке !Вспомнить формулу !21) В 27 гл. 1Ч, а также Ц 51 и 52 настоюцей главы): ейпа= ~ М' 1 Докажем, что характеристики нелинеаризированных уравнений оавиженин в плоскости !х, у) образуют „линии возл!ущенил" сверхзвукового потока. Для этого составим выражение тангенса угла между Вектором скорости и касательной к характеристике в плоскости !х,у); Яя Зак, !Вс!. Л Г. Ло1яя акай, 370 плОскОе Безвихаезое ЛВижьние сжимаю!ОГО ГАВА (Гл.
211 тогда по известной формуле аналитической геометрии будем иметь. о ио ге а Г' 1~2 — аг Ш вЂ”вЂ” и и2 а2 и 1и а =- — ..=.1 Ра .2. и и' — аа и аао='аи 1г1'2 — а' и(1'2 — а2) се ао 1 Р2 — а2 11 Ра — а2 т Ма — 1 или 51ПО= ! М (84) Определим теперь азкон изменения скорости вдоль характеристик С, и Са плоскоРнс. 120. сти (х, у) или, что все равно, уравнения характеристик Н, и На в плоскости (и, о).
Как уже ранее было указано, уравнение (83) может быть проинтегрировано в общем случае. Для упрощения интегрирования уравнения (83) перейдем от проекпий скорости и н и к величине скорости И и углу 8, образованному вектором скорости с осью Ох, положив: и = Исоа 11, о== Игйп Ц. Имеем, согласно (83') н рис. 120: ио 1 — 1 .= — — = — С1п(8 — 2), ви 1 та (~ — ) = — — = . - С1ц'(8+а), Из этой формулы вытекает, что: 1) характеристики уравнений сверхзвукового движения являются „линиями возмущения" в потоке и 2) вектор скорости образует с характеристиками в плдскости(х, у) одинаковые по величине и разные по знаку углы, т.
е. вектор скорости направлен ло бисектриссе угла между характеристиками обоих семейств в данной точке (рис. 120), и, наконец 3) проекция 12„ скорости на нормаль к харак1перистике равна местной скорости звука: 17и= ИСОВ(90' — и) = 1 =- 1' Гбп а =- 1Г ° — = а. й 57[ нелинРАРНВНРОВАнный сВВРхавуковой поток 371 т. е. (ЙР аи — = — с1д (О:, а). Произведем в этом урзвнении замену: Ии = — г1 [г ° соз Π— И Вйп 0 Ф, аго = г( Ь' ° а[п О [- [г соз О дО; тогда получим: [з[п О+с18(0:, а) сов О] г1$'-[- [сов 0 — сгд(0 —.а) з[пО] [lс[0 — 11 откуда после простых приведений найдем: И ~ с1яа ° — =О.
(8о) Вводя, по (84), число М, перепишем уравнение (85) в виде: [11 = -- У'Мв — 1 сИ' (85') окончательно получим простое дифференциальное соотношение: (85") Интегрируя, найдем: 0 =- о(А)+ сопз1, (86) где введено обозначение а(А)= ~ 1 а+1 а-1-! а — 1 =ОР— агсге ( Аь — 1 — агс 1я — 1 К' а+1 (86') И И или совершая переход от чнсла М = — к числу й= — по ранее а ач выведенной формуле (52), которую можно еше переписать так: 872 плоское вязвихгявов движение сжимаемого гззл !гл. тг! Переходя по обычным формулам обратных тригонометрических функций от арктангенсов к арксинусам, приведем выражение з(Л) к несколько более простому виду: / гг-1-1 . г' / з — ! з(Л) = 1/ — агсгйп! ~г — $/Ля — 1)— л — 1; 2 — агс мп ( ~/ г /ь( ! У1г (86") заметим, что з(Л) при Л = 1 обращается в нуль.
Функция ч(Л) является сверхзвуковым аналогом функции з(Л), определявшей основное преобразование (60) в методе Христиановича. Задавая различные значения постоянной в формуле (86), получим селгейства характеристик О, и Ня в плоскости годографа 1г, 6 или Л, 6. Безразмерная скорость Л меняется в пределах 1 =,Л== хг / д+! левая граница представляет критическую скорость ч'=а', правая— предельную максимальную скорость 1г „„, при которой давление, плотность и температура обращаются в нуль (полный вакуум). Про- / ~+.~ ведя концентрические окружности Л = 1 н Л = 1гг —, можем У Л вЂ” 1' заполнить все пространство между ниии сеткой кривых (86).
Подробный анализ показывает, что зтн кривые представляют собою семейство зли!!иклоид, описываемых точками окружности радиуса 1 ('1/г тг.4- 1 ,— (1/ — — 11, катящейся по кругу Л = 1. Имея раз навсегда указанную сетку эпициклоид, нетрудно методом, аналогичным изложенному в $ 28, производить расчеты плоских сверхзвуковых обтеканий. Не останавливаясь на изложении существующих в втой области графических приемов, покажем аналитическое применение только что изложенной теории к основной задаче газовой динамики о сверхзвуковом обтекании угла. В 68.
Обтекание выпуклого угла сверхзвуковым потоком. Влияние угла поворота струи на ее газодинамнческие влементы Рассмотрим задачу о повороте сверхзвукового потока вокруг острой кромки выпуклого угла О (рис. 121) на угол 9.' Как станет вскоре ясным, нисколько не нарушая общности, можно предполагать, что начальный поток слева от прямой ОС„ — звуковой (Л = 1, О = О); окончательному состоянию потока после поворота на угол 6, соот- г 71ь Ме у е г, ОЬег гчге!г!!вепз!опа!е Вечгейипйзчогдапйе !и евев Сгаа, г!аз вп ОЬегзсна!!йезснгч!пг!!я!гей згговг.
Гогзсняпйгне!! без тг1З!, гго!. 62 1908, Я. 5. 31 — 67. 6 58) сВеРхзйукОВОе Овтекание ВыпуклОГО утлл 373 ветствуег однородное течение справа пт прямой ОС, с безразмерной скоростью ЛР Поворот на конечный угол Н, можно рассматривать как результат последовательных малых поворотов в области СрОС', затем в области С'ОС' и г.
л.; нелинеаризированная задача расчленяется, таким образом, па Ряд линеаризированных. Отсюла сразу следует, что лучи ОСв, ОС', ОС", ... являются „линиями возмущения" нелинеаризированной задачи, или характеристиками первого семейсгнва. Влоль каждой из этих прямых линий угол возмущения и, а следовательно, и числа М и Л будут принимать некоторые постоянные значения. В силу (86) постоянное значение будет сохранять и угол Н между вектором скорости У и Се Г начальным направлением потока. Определим газолинамнческис элементы потока после поворота его на угол Н,.
Согласно (86) и принятому условию Н =-0 при Л =- 1, получим: Н, =:(Л,), (87) где з (Л) задается одины нз ес 12 Равенств (86') или (86е). Разыскав по выбранному значению Н = Н, величину безразмерной скорости движения Л == Л, и используя обычные формулы изэитропического потока, найдем также и Мн р„ р, и т. д. Значения этн приведены в табл. 9, рзссчитанной для возлуха (й = 1,4). Об общем характере изменения величин можно судить по кривым рис. 122.
Огибая внешнюю часть выпуклого угла, поток, как это слелует из приводимых кривых и табл. 9, расширяется, скорость его возрасгает, давление и плотность уменьшаются. Явление в целом несколько напоминает расширение газа в сопле Лаваля, но, в отличие от принятого в гл. 1У одномерного подхода, настоящая теория позволает сулить как о суммарном эффекте поворота потока, так и о деталях заключенного в угле СвОС, плоского потока, переводящего одноролный поток слева от линии возмущения ОСВ в однородный поток справа ог линии ОС,. Чтобы исследовать это движение, введем в Рассмотрение угол з между некоторой промежуточной характеристикой ОС и начальной характеристикой ОС,.
Как легко заключить из рис. 121. угол е будет связан с углами и я Н простым соотношением: + 2' (88) 374 плосков ввзвихвевов движение сжимавмого газа 1гл. тп Таблица 9 М Л р/ре чО М " Р)ре 1,000 ' 0,5277 1,068, 0,4777 1,107 ~ 0,4499 1,141 ~ 0,4244 28,98 28,42 27,88 27,34 26,82 26,32 25,80 25,33 24,87 24 42 2,062 2,098 2,135 2,174 2,214 2,251 2,296 2,339 2,378 2 422 89,02 90,58 92,12 93,66 95,!8 98,20 99,67 28 29 ЗО 31 32 33 34 35 1,173 1,201 1,227 1,253 1,276 1,'аей 1,322 1,344 1,366 1,387 1,407 0,401 0,381 О,зббаз 0,3455 0,3299 0,3133 0,2988 0,284 0,270 0,257 0,245 36 ' 101,13 37 ~ 102,58 38 ~ 104,02 39 ~ 105,46 40 ~ 106,88 41 ! 108,30 42 ! 109,71 43 ~ 111,11 44 ~ 112,51 23,98 ! 2,466 ~ 23,54 ' 2,508 ~ 23,12 2,550 22,70 2,595 22,29 2,640 ~ 21,89 2,689 21,49 2,734,, 21,11 2,778 ' 1,428! 0,233 1,448! 0,221 !,467 1,486 1,504 1,523 1,541 1,559 1,576 1,592 1,609 1,625 1,64! 0,2100 45 ~ 113,89 20,73; 2,826 ' 20,37, 2,873: 20,00; 2,920' 19,64 ' 2,968,' 19,29 3,021 ' 18,93 3,074 ' 18,59 3,131 ' 18,26 ' 3,188', !7,97, 3,250( 0,000' со 0,199,' 46 ~ 115,27 О,!89," 47 ! 116,63 0,179; 48 ! 118,00 0,170 ' 49 ' 119,36 0,161 ~ 50 120,71 0,153', 51 122,07 0,145!, 52 123,41 0,137 ' 53, 124,74 0,130 54 ) 126,03 0,123,')129,32, 219,32 2,0!2 0,019 2,437 0,000 По определению угла возмущения а имеем: Используя зто равенство, а также 187) и 186"), получим по (88): 2+6 — и= — '+1/ а ! агсз!и'Л)Г 2 )/Л~ — 1)— ~ / а-1-! )Газ — 1) ---("" "-Р") (88') 0 1 2 3 4 5 б 7 8 10 11 12 13 14 15 16 17 !8 19 20 21 22 23 24 25 26 27 О, 00 23,72 30, 04 34,82 38,88 42, 34 45,42 48,30 50,93 53,46 55,84 58,16 60,38 62,49 64,52 66,53 68,47 70,33 72,18 73,98 75,74 77,49 79, 20 80, 90 82,55 84, 20 85,81 87,42 67,28 61,.96 58,18 55,12 52,66 48,70 47,07 45,54 44,16 42,84 41,62 40,51 39,48 38,47 37,53 36,67 35,82 35,02 34,26 33,51 32,80 32,10 31,45 30,80 30,19 29,58 1, 000 1,084 1,1 ЗЗ 1,178 1,2 20 1,258 1,295 1,332 1,366 1,401 1,435 1,470 1,505 1,539 1,572 1,608 1,641 1,675 1,710 1,7 44 1,779 1,815 1,850 1,884 1,918 1,954 1,989 2,025 1,657 О,!1 1,673 0,11 1.688 0,104 1,704 0,097 1,720 0,092 1,735 0,086 1,752 0,080 1,767 0,075 1,781 0,071 1,795 0,066 1,810 0,062 1,824 ' 0,058 1,837 0,054 1,851 0,051 1,864 0,047 1,878 0,044 1,891: 0,041 1,903 0,038 1,917 0,036 1,928 0,033 1,9З9 О,ОЗ! 1,951 0,0 1,963 0,027 1,975 0,025 1,987 0,023 1,999 0,021 878 плов~ ое Бсзянхвезос дана(ение сжимлех!Ого глзл (гл.
у! переходит в формулу; . / »-1-! / Г»--1 /= Л-1 ! ..(е » -1- 1' и сравнивая ее с выражением д ля угла я: ~й — ! а = атсс1я 1/Мв — 1 = а!с с1е:. » — 1.„' 1-. — Ха »+1 видим, что между х и е существует соотношение с11, х =- )// ', 18(~/ „г, (90) позволяющее онредегить угол а между скоростью н линией возму- щения по заданному углу е линик возмущения с перпендикуляром к направлению начального потока. По формуле (88) найдем связь между 8 и е: О = е + агс с18'( ~/ 1у ~,, е ) — — .
/»Ч-1 //» — ! (91) когорос легко интегрируется и дает: (92) где г„= г(0). 11ак видно из последнего равенства, все линни тока подобны между собою относительно центра О. Таким образом, задача полностью разрешена. Обратим внимание на следующий интересный физический факт. Согласно (87) н (86"), чем больше угол 8, полного поворота струи, тем больше безразмерная скорость й! в конце поворота ее. По формуле (89! максимальное значение Х будет равно /»- ! 1, = — ~/ — - (для воздухи г, =-2,437!. 'шах 'пзхх Этому максимальному значению й соответствует движение с мзксимальной скоростью в абсолютном вакууме: и'„,„=. а' 1/, М= оо, р.= О, Т=-О, 8=--0. / »-1- 1 Найдем, наконец, форму линий тока в области СеОСн Лля этого по (90) и по известной формуле для котангенса угла между касательной к кривой, заданной в полярных координатах, и радиусом.вектором составим дифференциальное уравнение ! г/г /»4-1 / / » — 1 га~ а/ » — ! '1/ »'! ф 59) СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК ВНУТРИ ТУПОГО УГЛА 321 Максимальное значение угла поворота струи э,„определится, согласно (86"), при этом так: й-Р 1 0,„„=В(л„) = $ ЕГС Б1П 1 — а!с з!п 1 = ~ ~/ — — — 1) —; для воздуха (й = 1,4) получим: 0,„= 129,32 .
Характеристика (линня возмущения), соответствующая максимально Возможному углу отклонения струи, будет образовывать, согласно (89), с осью ОСЕ угол: .Гдч-! т, вах 1~ Г 1 л:и возлуха 1й = 1,4): в,„,„= 2! 9,32 . Заметим, наконец, что при М = зо угол возмущения т равен нулю, ь с. линия возмущения совпадет с линней тока. Таково предельно возможное расширение потока при огибании угла. Изложенное общее решение задачи об обтекании угла может быть использовано для начального потока с л!Обими значениями чисел ), ) 1 или М ) 1. В этом случае следует начинать с характеристики (линии возмущения), соответствующей заданному начальному значению ) или М, и подводить к ней однородный прямолинейный поток пад соответсгеующим углом 0 или я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
