Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 84

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 84)

Как доказывается в кинетической теории совершенных газов, величина е, равная отношению нс, л (5) (с — козффициент теплоемкости газа при постоянном давлении), почти не зависит от температуры среды, а зависит лишь от физи- ческих свойств (атомности) газа. Теоретически величина ч может быть г, выражена через известное отношение Й= — — теплоемкосгей при посч стоянном давлении н постоянном объеме по формуле: 4А е 9Л вЂ” 5' (6) В табл, 12 помещены некоторые цифры, показывающие, насколько зерна формула (6), и дающие представление о величине а для рааличных газов. Таблица 12 е (экспери- мент) ся Названнс газа л =— с, 4й 9а — 5 Гелий..., Азот Водород . Окись углерода Кислород Окись азота .

Хлор Углекислый газ 1,659 1,408 1,408 1,403 1,398 1,380 1,340 1,'310 0,668 0,734 0,734 0,736 0,737 0,742 0,761 0,771 0,691 0,739 0,717 0,765 0,731 0,738 0,743 0,805 й 76) овозщеняк закона ньютона Для многоатомных газов при приближении 7с к единице а, как это видно из формулы (6), также приближается к единице.

Для воздуха а представляет слабую функцию температуры н равно а =. 0,72 при 0'; при высоких температурах а несколько возрастает (а= 0,727 при 1000'). У несовершенных газов а может сильно зависеть от температуры, так, например, у сухого насыщенного пара при 1 ата н изменении температуры от 100 до 300' коэффициент а увелгичнвается вдвое. Перегретый пар, приближающийся по своим свойствам к идеальному газу, имеет значение а =0,9 (при температурах порядка 250 — 300а). При приближенных расчетах удобно, как далее будет показано, принимать для газов а = 1„ иногда а = 0,75.

Совершенно иначе обстою дело с величиной а для лсидкосгпсд; в этом случае а имеет совсем другой порядок величин и, кроме того, сильно зависит от температуры. Так, ~гаггриьгер, для воды а быстро убывает от значения 13,7 при 0' до 1,75 прн 100', трансформаторное масло имеет а=220 прн 4()' и а= — 100 при 80'. Отсюда следует, что при изучении движении вязких жидкостей в неизотермических условиях приходится считаться с сильным влиянием температуры па величину а; прн движении совершенных газов этим влиянием можно пренебрегать. й 76. Обобщение закона Ньютона на случай произвольного движения среды. Закон линейной связи между тензорами напряжений и скоростей деформации 11озврзгцз~гсь к формуле (1), можем ее трактовть как закон пропорциональности одной из касательных компонент тензора напряжения, соответствующей рассматриваемому частному случаю плоско~о прямолинейного движения, компоненте тензора скоростей деформаций: риа = рзх:.

Обобпгзя закон Ньютона (1) на случай произвольного движения жидкости или газа, будем предполагать, что тснзор напряжений в движущейся жидкой или газообразной среде предсгавляет линейную грункцию тснзора скоростей дефорзгаиии. Зту, хорошо оправдываемую на опыте для большинства употребительных жидкостей н газов гипотезу можно было бы назвать обобщенным законом Ньютона. '1исленное выражение искомоИ линейной связи можно легко написать, если дополнительно предположить движущуюся среду „изотропной", г. е. такой, по физические ее свойства не зависят от каких-либо особых, заданных наперед направлениИ в пространстве. При этом коэффициенты линейной связи между тензором напряжений Р н тензором скоростей деформаций .Я должны быть скалярзчн н искомая связь с водится к форму, ~г Р =- а5 + 14., (7) ![низинка вязкой жидкости н глзл (гл.

щп где и и д — скаляры, а о — гспаорная единица, т. е. геизор с коипонентаии:' ( () ири ! =~/, ((, 7'=1, 2, )), ~1 при сохраняющий свойство сферической симметрии в любой ортогональной системе координат и соответствующий принятой изотропии среды. По условию линейности связи скаляр а не может зависеть от компонент тензоров Р и 5 и поэтому является физической константой среды, це зависящей от формы ее движения; имея в виду, что формула (7) является обобп(синем закономерности (1), примем для коэффициента а обозначение; а.== 2р. Скаляр д может быть связан линейным образом с компонентами тензоров Р и 5 только через скалярные линейные комбинации этих компонент. Как уже упоминалось в гл, 1, всякая физическая скалярная величина должна быть инвариантна по отнопгению к любому повороту осей координат.

Таким образом, в выражение скзлярз д могут входить лишь такие линейные комбинации компонент тензоров напряжений и скоростей деформации, которые инвариантны по огношению к повороту осей координат. Едии такого рода линейной комбинацией для тензора 2-го ранга является его линейный инвариант, равный сумме компонент, расположенных по главной диагонали, в чем легко убедиться, составляя указапну!о сумму з двух произвольно повернутых друг по отношени!о к другу системах координат и используя связь х!ежду компонентами тензора в этих сис!емзх координат. Линейным иннариантом тензора напряжений будет сумма трех нормальных напряжений, приложенных к трем взаимно псрпеидикулярньщ плон!адкам в данной ~о псе потока, г.

е, величина Ры г Ряя Рвв. Линейным ипиариацгом тензора скоростей деформации буде~ служить сумма д(г!, д)гв, д1'в л. + т овв= ы ' ЯЯ ' дхт ' дх для равная, очевидно, дивергенции скорости б!чЧ. т Прп выводе основных 1равнений движения неидеального газа д.щ упрощения вида формул прелстазяястся удобным принять слсдующес обозначение координат: х=.хп г —. лс, я-=.хв и аналогичным образом нумеровать компоненты векторов и тсизоров.

Тяго проекции скопостп дзльщс будут обозиачв1ься рг(( -- 1, 2, 3) зисс|о обычных у пас (и, и, и); компоненты тснзорз яяпрялссииб Р!;(!, 7-- 1, 2, Э) вместо ряйсс приз!еиявпп!хсп )~пп,...,рях,... 8 78! ояовщвпие закона ньютона !!ринимая, как наиболее общую, связь между величиной !> и эгими инзариангами в форме Ь=--Ь(Р»+! +раз)+Ь" б! Ч+Ь™, где Ь, Ь", Ь" --некоторые константы, получим Р=2ИЯ+(Ь'(р„+р +раз)+Ь" б!чЧ+Ь"'!$. (7') Взяв сумму трех диагональных компонент левой и правой частей равенства (7'), будем иметь: р„—,р +рва — — 2! 8>чЧ+ЗЬ (р» т рея+рва)+ЗйкбгчЧ+ЗЬ, или, совершив приведение подобных членов: (1 — ЗЬ)(р, + р + рзз) = (2!ь+ ЗЬ") б!ч Ч+ ЗЬ"', (8) Предположим теперь, что рассматриваемая среда находится в покое, тогда 8!ч Ч = О, а сумма нормальных напряжений, как было доказано в гидростатике (гл. П, >ь 17), станет равной Р Рая+ Рзз = Зре.

где Рс — гидростатическое давление, и равенство (8) приведется к виду: (! — зь') р, = зь". Из этого равенства в силу произвольности величины гидростати>еского давления сразу вытекает: ь> = —,, ь"'=!!. 3 ' !!осте эгого из равенства (8), верного при лк>бом 8!ч Ч:7'--!1, след> ец >то 2 й 3'' Окончательно общая форма линейной связи (7) между тензорами >юпряжений и скоростей деформаций будет иметь вид: 81 2 Р = 2Р.5+ ~ (Рп + Рва+ Раа) "- З !с и!ч Ч1 Ф. ' '(З (9) Сделаем наиболее простое дополнительное допущение, что среднее >рифметическое >прех нормильных напряокениа представляет дав.>ение в даянии то>ке. Смысл этого допущения заключается в воз- 1 можпости РассмотРениЯ величины — (Р„+Рея+Раз) как фУнк>1ии лло>нности и темиернтуры, определенной, з слу >ае совер>пенного ~ ша, по формуле Клапейрона.

Такое предположение является новым до~ущениеч и»и доно>п>и>е>иной гипогезой к обобщенному закону 474 [гл. чш динамики вязкой жидкости н гхзз Нщотопа. 11рнняв эгу гипотезу, сохраним для давления в вязком газе прежнее обозначение, положив ' ! 3 (! ~~+~ +Раз)— (!0) формула связи (9) примет после этого вид: Р = 2)г5 — (р+ — р.

б!УЧ) б. 2 3'' В качестве другого, более общего допущения можно принять, что среднее арифметическое трех нормальных напряжений отличается от только что определенного давления в данной точке на величину, пропорциональную скорости объемного расширения гйч У. При атом вместо равенства (10) будем иметь 1 — (Рд+Рзз+Раз) =- — Р+, 'гйч У, 2 (10') где 1ь'--новый козффицнент вязкости, называемый вторым козффициеягяол вязкости, а соответствующее ему явление — второй вязкостью.з Сделанное допущение преобразует формулу связи (9) к виду; Р = 2)г5 — (р + — )ь гйтм — Н' бгт У) $. 2 3 (11') Вторая вязкость приобретает особо важное значение при изучении мед. лепно развивающихся процессов, время релаксации которых велико, например, при образовании в движущемся газе химических реакций, скорость которых мала.

Как показывает теоретическое исследование, козффоцнспт второй вязкости равен нулю, если гзз одноатомен.з Во всем дальнейшем нзлогкснни удовольствуемся предположением, что вторая вязкость отсутствует (гг =" О). Связь мегкду компонентами тензора напрщкеиия н тензора скорое.гей деформации, согласно формуле (11), имеет вид: формулы упрощаются в частном случае движения несжимаемой жидкости, когда д Кг д !'„д Ъ'з б!ч Ч = — — + — г-+ — ' 0; дхг ' дхз дхз г Выбор отрицательного знака в правой части уже был пояснен в 5 17, гл. Кк з На возможность такого допущения указывал еще Стоке и после него в своих лекциях по теории тепла — Кирхгофф.

Современное изложение этого специального вопроса см. Л, Л з яд ау и Г. Л и ф ш иц, Механика сплошных сред. Гостехпздат, !944, стр 46--47. з См. цитированную книгу Л, Ландау и Г. У!ш[чпнцз, стр. 434. г д)гг д)г х р,! — + — ~) ! дх, дхг,) д!'; 2 Р+ 29 дхг 3 при г -Е1, (12) Гд!й дрз д1з' р ( — + — + — ! при г =г. (, дхг дхз дхз г 3 77) овщнв хелвнзния движения вязкой жидкости 47б з этом случае ииееи: ! дху дх;~ гдк, д!з. р! — + — '! прн /~'-!, (!3) д!' з ! — Р+2р д ' при !'=~', дхг !1ри квазитвердои движении, лишенноя деформаций: '!г = Ч -', Х !'~ = !'ог+ еяхз — ыахз, !'я= !' + "зх ! з !газ+ ы хв ~ях скорости сдвига !скошений углов), стоящие в первой строке системы (13), и скорости относительных удлинений, входящие слагаемыми во вто- рой строке, обращаются в нуль, н напрязкения сводятся к давле- нию — р, так же, как з идеальной жидкости.

В плоском пряиолинейнон движении, рассмотренном в начале настоящей главы, будем иметь: Ъ',=и, Ь'я — — Ъ'з — — О, и=и!з); дк Рш = Ри' = !" д т. е. формулу !1). $77. Общие уравнения движения вязкой жидкости. 11инамическне ураннения и уравнение баланса энергии. Граничные условия движения жидкости с трением н теплопроводностью Вернемся к выведенным еще з гл. !! уравнениям динамики сплошной среды !29), которые именовались „уравнениями в напряжениях", и заменим в них напряжения цо формулам !12) настоящей глазы, 'Гогда получим основную динамическую систему уравнений движения вязкого газа: -!- — ~з ! — + — ц — — — (р. д!т Ч) да 1 ~дг дх)) 3 дх (14) д !' дш 2 д + 2 — ', ! —, — —" — (! д! У).

Характеристики

Список файлов книги