Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Величину перепада давления бр можно рассматривать как количественное выражение сопротивления участка трубы длины б Оощеприняты следующие два выражения величины сопротивления круглой трубы через скоростной напор, составленный по средней нли максимальной скорости: а~ар 2 ('29) Р~аьааа .1р= 29 — —, а 2 где (4=-2а — диамегр трубы, а й и ф — так называемые „коэффипиенты сопротивления". "!тобы определить коэффициенты сопротивления >. илн ф в рассматриваемом конкретном слу ше ламинарного движения в круглой трубе, заменим в (29) лр его выра>копнами через среднюю или максимальпу>о скорости по (27') изи (27"). Пос.(с простых сокращений будем иметь: б4р, >.
= —, р(аа,(( ' 6= 4р рм„,„а Введем в рассмотрение следующие два „числа Рейнольдса": Рмщааа а — "'ааааа ~а ар Тогда окончательно получим формулы сопротивления: 64, 4 (30) Из этих формул следует, что коэффициенты сопротивлений или (р, представляющие по ~29) не что иное, как особым образом составленные безразмерные сопротивления или перепады давлений в трубе, являются функциями соответствующего числа Рейнольдса К. Если два ламинарнь>х течения в цилиндрических круглых трубах 493 ~ч 79) льминягнов движвнив по твувв (31) В силу равномерности и осесимметричности движения можно составить простое условие равновесия столба жидкости (рис. 157) в трубе под действием движущего перепада давления Ьр, приложенного к сечению трубы с площадью паа, и сопротивления трения на т„,.тла 1 стенке, равного пронзведе- ПИЮ НаПРЯжЕНИЯ ТРЕНИЯ тм (Р-аР1Ла' ', М Я.Ла' па боковую поверхносгь 2па ° 1 участка 1 трубы: Ьр яаа = 2яа1.
т„г г)тсюда следует, гго между Рнс. 157. движущим перепадом и напряжением трения существует простое соотношение а тя= 1ор Я 21 (31') которое можно сформулировать так: напряжение трения на поверхности круглой цилиндрической трубы равно перепаду давления на участке длиной в половину радиуса. формулы (29) на основании (31') дают следующие выражения напряжения трения: я =- 3 Ртоьэп ;„. = — Ртваа:. (32) Для дальнейшего важно отметить, ~то формулы (29) и (32), так 'ке как н соотношение (31'). янляются общими формулаии движения подобны между сооою, то соответствующие им числа К равны друг другу. Если же эти числа не равны, а следовательно, движения не подобны, то, в полном соответствии с тем, что было сказано в конце предыдущего параграфа, коэффициенты сопротивлений представятся некоторой функцией (30) числа К, по которой может быть вычислено сопротивление при любом ламинарном движении.
Зная диаметр трубы и среднюю илн максимальную скорость, по формулам (29) н (30) можем определить сопротивление Ьр движению жидкости с заданными коэффициентами вязкости р и плотности Р на любом участке длины Л Наиболее употребительны первые формулы равенств (29) и (30), заключающие коэффициент Л и среднюю скорость тв я. Введем теперь в рассмотрение напряжение трения на стенке круглой трубы, раяное по закону Ньютона 1гл.
чш аинампкл вязкой жидкости и глзь в круглой цилиндрической трубе, справедливыми не только для ламинарного, но и для так называемого „турбулентного" движения, о котором будет речь впереди; формулы же сопротивления (ЗО) верны только для таминарного режима. Подставляя значения й и у из (30) в (32), получим: 4вшср (32') 2М'мв,. 'м л Эти же результаты гюлучин, вычисляя -.„, по формулам (31), (24"), 127') и (27"). В случае трубы э:шиптического сечения напряжение трения на стенке меняется по периметру сечения, так как поток не симметричен. Интересно отметить, что среднее значение напряжения трения по периметру эллипса меньше, чем напряжение трения в круглой ~рубе той же плоп1ади сечения. Аналогичный результат имеет место и по отношению к объемному расходу: при том же перепаде давления расход сквозь трубу эллиптического сечения меньше, чем через равновеликое ему по площади сечение круглой трубы.
Распределение скоростей по сечению круглой цнлинлрической трубы (24") можно получить и иначе. Составим вместо (23) уравнение движения в полярных координатах г':, а. Для этого выразим лапласиан в полярных координатах и опустим, в силу осесимметричности движения, члены с производными по углу е. Тогда получим в качестве основного уравнения: Интегрируя, найдем общее решение вд тг = — — гвз -'- С 1п г" -'" Г' . -1 1" -а (33') Из условия ограниченности скорости на оси трубы при г': = О следует, что Г; =- О; вторая постоянная найдешься из условия ы =-.О при г" ==п, жо приведет и полученной ранее „параболе скоростей" (24").
Решение (33') представляет преимущество по сравнению с ранее приведенным. Так, например, пользуясь равенством (ЗЗ'), легко полу~ить распределение скоростей в кольцеобразной области между двумя соосными круглыми цилиндрами радиусов а, и л )а. Подчиняя решение (33') граничным условиям: тэ= О цри гь = и и гь = гь 79! льмиилнноь днижиниг цо текин получим эпюру скоростей а также формулы расхода и средней скорости: Задача о ламинарном движении вязкой несжимаемой жидкости сквозь цилиндрическую трубу произвольного сечения не представляет ирннцппнальиы., затруднений.
Дело сводится к решеннк«уравнения Пуассона (23) с иостоаипыи свободным чзеном. Зияя частное решение уравнен»1я (23) ш =-ш» и заменяя гв иа сумму а+ ма, сведем уравнение (23) к плоскому уравнсииа» Лапласа. л:и решения которого мо«кно применять ив«од комплексною» переменного и»и другие приемы. Приведем без доказательства заимствованные из теории кручсшш иризмзгичсских стер«»»ис(» прямоугольного сечения формузы скоростей и расхода в ламинарном движении нес«кимаемой вязкой жидкости сквозь призмзтичсск»зо трубу иряшиугольного сечения (- а~а ==а, — Ьг:-у =Ь, а.л6): „ве З»гл 1, 166в су 2Ь 1 Зву 2Ь вЂ” ув + —,, соз — ° — — —.
гоз— 2 . яз ~ 21»»:а 3» ' 2Ь Зва с!»вЂ” '«Ь г1»вЂ” 2Ь ар ° аел 1 16 1024Ь Г ва 1 Зкг — — — ! Гй — -' —.16 — + ...) ~, 41«1 ! 3 сза», 26 ов 26 г'.редиюю по сеченшо скорость мо«кно определить формулой Ьр Ьа (а) мгх 16,„1 'У 1 глс функция 'п' 16 1024 Ь «' яа 1 Зяа — = — — — — ! рз — + ти рл — .-»-...) ',Ь/ 3 сг а !» 26 3 26 имеет следу»ощие значения: д / г / и ЗЬ аЬ 1 2 со ' У (а(6) ~ 2,253 3,664 5,333 ~ 4,665 5,000 5,059 5,299 4,203 Г1рость»е формулы получаются для призматической трубы с сечение»» " виде равностороннего треугольника и др.
496 (гл. Тпп динАмикА Вг!акой жидкОсти и ГАЗА 9 80. Обтекание шара при очень малых значениях числа Рейнольдса. Формула сопротивления шара по Стоксу н ее обобщения Чтобы показать значвтельну«о математическую сложность решения задач внешнего обтекания тел вязкой жидкостью, обратимся к расу смотрени«о простейшего примера в обтекания шара. 105 Поместим центр шара радиуса а в начало координат (рис.
158) а и рассмотрим обтекание шзра однородным потоком со скоростью ац — з 5 И , параллельной оси ОА н направленной в 1«! положительную сторону осн. П!Зенебрежез« влив- 1 8. пнем объемных сил и оудем считать движение стационарным. Основное дифференциальное уравнение (169 6 77 можно при этих условиях переписат~ в Инде. р (К ° т) ь« .=. — Иг«5«! р — д го1 «?. где «5, как и ранее, ооозначает вектор вихря: й = го1 т'.
'пс. 15 Интегрирование этого уравнения в его общем виде даже для с:«уюя обтекания шара представ«шет непреодолимые затруднения из-за наличия в нем нелинейных членов — конвективного ускорения в левой части. Значите««ьно суживая область применения решения, поступим так. Откинем нелинейные «лены в левой части уравнения, решим совокупность линеарнзированного таким образом уравнения с линейным уранпением несжимаемости: 0 = ага«1 р-!ц !А«о! 4?, «1!т «7= — О, (34) з затем, чгобы выяснить область применимости решения, оценим порядок откинутых нелинейных членов.
Такой не строгий прием позволяет значительно упростить решение рассматриваемой классической задачи Стокса об обтекании шара Исключим из первого уравнения рассматриваемой систез«ы (34) давление р, для чего возьмем от обеих жстей уравнения оперзпню го1; будем на«еч«л го1го1 г?= О. (35) 0 80) ОБТЕКАНИЕ ШАРА И ФОРМУЛА СТОКСА 497 Заметим, что, в силу осевой симметрии обтекания, вихревые линии представляют окружности в плоскостях, перпендикулярных оси Ох, с центрами на этой оси. Вводя сферическую систему координат (г, е, О), заключим о наличии у вектора вихря лишь одной составляющей Я„ которую для краткости обозначим просто Я, включая в это обозначение знак -+-; составляющие О„н Ям очевидно, равны нулю, так как вихрь вектора направлен по касательной к вихревой линии.
В силу той же симметрии имеем: д дЯ Вспоминая помещенные в конце $ 60 выражения компонент вихря вектора в сферической системе координат, будем иметь: то1 Я= —.— (Яз!п0), го1„()= — — =, то1 0)=О д . 1 д(га) га!па дз г дг н, повторяя ту же операцию: то1„(то1 й) = О, го!„(го! Я) = О, то1, (то1 11) = — — (г то1„2) — — — (го),Я) = 1 д 1д гдг " гд0 1 да(го1) 1 д Г 1 д = — — — — — — !Ь вЂ” — (й з(п 0)~.
г дгз гада) а!п0 д0( Таким образом, уравнение (35), если обе его части спроектировать на оси сферической системы координат, сведется к одному уравнению: да(гй) д Г 1 д г + — )' —.- — (Я 5!пб) ~ О дга дз! А!па д0 У (36) решение которого (а(г, О) можно пока подчинить лишь одному граничному условию: Я -+ О при г-+ оо. (36') Разыскивая решение уравнения (36) в виде произведения двух функций )А'(г) и Й(0), каждая из которых зависит лишь от одной переменной, и подставляя значение Я = )с (г) (0 (0) в уравнение (36), получим: г да 1 И / 1 — — [г(х'(г)) = — — — ! —.— 0 (В(0) з1п 0)~. )7(г) дгх О(0) да '1а!пад В силу назависимости координат г и 0, левая и правая части этого равенства должны быть пороань постоянными; отсюда следует 32 зюа !аа!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
