Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 89
Текст из файла (страница 89)
л. г. лавматамь динлмикл вязкой жидкости и глзл (гл. чш (а †произвольн постоянная): — — (гР(г)] = а, йз Р(г) агт 1 Н 1 1 — — — — (()(0)з(п 0)~= — . о(0)аз~ Мпз дв 6 (0) = з(п В, а первое уравнение системы превращается в дв 2 агя (гР (г) ) г Р (г)1 легко видеть, что единственное решение этого уравнения, удовлесопзг творяющее условию обращения в нуль при г -+ со, будет —, Обозначая константу через А, получим искомое решение дла вихря Я в виде: Я= —. Аз(пз г' (37) Обращаясь теперь к задаче разыскания сферических составляющих скорости У„и У, (составляющая (г,= — О, в силу симметрии обтекания), имеем для их определения два уравнения: 1) уравнение (37), которое, пользуясь выражением вихря скорости ьа через составляющие скорости в сферических координатах (г„и Ум можно переписать в форме: 1 д(гУз) 1 д1/г А з1пВ г дг г д0 гт (38) и 2) уравнение несжимаемости в сферических координатах (при (г, =: 0): — — — — — — = о.
1 д(гтУг) ! д(Узз(па) (39) г" дг гл1п 0 дВ Систему уравнений (38) и (39) надо решить при граничных условиях: при г=а, У„=О, У„= О, при г=со, У,= У созВ, Уз= — У з(пВ. 1 (4О) Принимая во внимание эти граничные условия, будем искать решения в форме: Уг=(У„+ ~ — в]сов 0, Хл' У —— ( — У ]- ~~~~~ — „) яп В, (41) к-т Используя произвол в выборе постоянной, подберем ее так, чтобы второе из только что полученных уравнений имело по самому смыслу задачи периодическое решение. Заметим.
что при а = 2 уравнение имеет очевидное решение: 3 8О) озтвкАние ШАРА и ФОРмхлА стоксА где число и считаем неопределенным. Подставляя выражения (41) в уравнения (38) и (39) и приравнивая коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях, получим: Х (Ля+(1 — Д)ЛА)г' "= А, АФц лчч ((2 — й) Лв+ 2ЛАА г' = О. а=1 В силу произвольности величины г будем иметь при /А = 1: Л,=А, Л,+2Л,=О, 1 1 А,= — — Л,= — — А 2 1 2 а при 4)1: Л„+(1 — д)Л;=О, ~ (2 — 1е) Ла+2ЛА = О. ) Последняя однородная система имеет решения, отличные от нуля, голько при равенстве нулю определителя системы 2 — (1 — 3) (2 — 3) = О. Корни этого уравнения; А=О и в=3, причем первый отбрасыззется, так как и) 1. Отсюда следует равенство 1 А„= — Лз ', 2 все остальные Ль и ЛА тождественно равны нулю.
Возвращаясь теперь к (41), составляем общие выражения скоростей: У„= (У + — + — ~) соз 6, ' =(-' —.+ — >""" А ЛБА. 2г 2гз) подчиняя которые граничным условиям (40), получим следующие два уравнения для определения коэффициентов А и Лз. А Лз — + — = — У а аз — — + —.=У. А Лз 2а 2аз Найдем: 3 1 А= 2пУ Лз=2аУ ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И 1'АЗА (ГЛ чпг после чего окончательно получим." (41') Остается найти распределение давления в потоке и трение на поверхности шара, а затем и полное сопротивление шара. Из первого уравнения (34) имеем нгабр = — рто143 илн в сферических координатах: др 1 д сов б — = — (в — — ((2 Ып 0) = 3(во И вЂ”, дг гв!Вб д0 :О в 1др 1 д 3 вввб — — = (в — — (г()) = — — йаИ г д0 г дг 2 Эта система уравнений в полных дифференциалах легко интегри- руется и дает искомое выражение р 3 сове р = — (ва)г — в+р, или, составляя по предыдущему коэффициент давления (42) р — р Зи сове 0 сов 0 °,, 142'1 1 в вр а (г!а)в К (г/а)в' 2 где под )т' подразумевается характерное для обтекания шара число Рейнольдса (д = 2а †диаме шара): р(г а )г д й, 'г Ъ Выделяя из полученных выражений составляющие скорости на бесконечности: (г совб и — (г сйп0, получим составляющие „скорости возмущения" шаром безграничной ~явкой жидкости и„'= — (г„Я вЂ” '„— ф( — ",) ~, р =(г Я вЂ” "+ —,'( — ") ~.
Подчеркнем, что, в отличие от обтекания шара идеальной жидкостью, где порядок этих скоростей возмущения (вспомнить $64) был — , 1 в вязкой жидкости имеет место гораздо более сильное возмущение, 1 убывающее при удалении от шара лишь как —. г Распределение завихренности определится по (37) в виде 3 в1п0 (2 = — — а(г 2 гв 5 ВО) ОВТВКАННЕ ШАРА И ФОРМУЛА СТОКСА 501 Отметим некоторые характерные отличия обтекания шара вязкой жидкостью от обтекания его идеальной жидкостью: 1) в идеальной жидкости коэффициент давления зависит только от относительного положения точки, в которой давление определяется, и не зависит от величины тела, скорости и плотности жидкости; в вязкой жидкости коэффициент давления является функцией числа Рейнольдса обтекания, т.
е. зависит от размера тела, от скорости, плотности и вязкости жидкости, 2) распределение давления по поверхности шара, согласно (42), не симметрично относительно миделевой плоскости, так что главный вектор сил давления при обтекании шара вязкой жидкостью отличен от нуля. Касательная составляющая напряжения трения на поверхности шара ры будет равна Га1г, 1 а1„1 „~ Г00;,, З р„~= в( — + — —" — — ) = — - и~ — '-1 = — ~ в — з1п0.
Взяв на поверхности шара поясок (па рис. 168 показанный штриховкой) с площадью 2пасйп0 аЛ =-2паез!п0Н, умножим на эту площадь напряжение трения р... и давление р; полученные таким обраюм элементарные силы спроектируем па ос. Ок и просуммируем по всей поверхности шара (ог 0 ==- 0 до 0.-= и). Тогда получим силу сопротивлении 0У в виде 1Г = ~ ( — р„„з1п0 — рсозб) ° 2каезп10Л =- ч йпйа!',, ~ з1пйг10=-бя)ьаЬ' . (43) о Это — известная формула 61токси.
Получив искомое решение, оценим изрядок откинутого нелинейного члена й(Ч ° 7)Ч по сравнению с сохраненными членами справа, в частности с членом рго1й, так как >тай р равен ему по величине. Имеем ( знак пропорциональности) а~(Ч 7)Ч~ 00;"'а "У, а Р!го!Я~ а ° йй ай[l ~ричем коэффициент пропорциональности представляет некоторую функпдю безразмерных величин г'а и 0. Из приведенного соотношения видно, что рочь нелинейного члена — конвективного ускорения — тем меньше, чем меньше число Рейпольдса обтекания.
Полученное решение оказывается пригодным лишь для достаточно малых чисел 1с . Количественная сторона этого вопроса будет сейчас выяснена 502 [гл. эти динАмикА Вязкой жидкости и ГАВА (43') Более точная теория Озеена — Гольдштейна дает вместо (43') разложение в ряд по степеням малого параметра К 24 / 3 !9 А с = — (1+ — К вЂ” — К +...). К (, !6 !280 (43") Сохраняя первый член ряда, получим решение Стокса; два члена дают формулу Озеена с = — 11+ — К !. 24 г 3 К„!, 16 (43'") Чтобы дать представление о порядке совпадения этих теоретических формул с опытными данными и, вместе с тем, чтобы выяснить диапазон значений числа К, для которого допустимо пользование формулами (43") и (43"'), приводим табл.
13. Таблица 13 К, Стокс Озеен опыт 0,0531 0,2437 0,7277 1,493 451,2 98,5 32,98 16,07 456,5 103,1 38,23 22,32 4?5,6 109,6 38,82 19,40 Из этой таблицы видно, что формулу Стокса можно применять только в случае очень малых значений чисел Рейнольдса (К ((1) (пыль в воздухе, мелкие шарики в масле и др.). В настоящее время хорошо изучены стационарное и нестационарное движения шара, эллипсоида и других тел как в неограниченной, так н в ограниченной жидкости, а также вращательные их движения при малых значениях числа Рейнольдса.' А См., например, 9?. МВ11ег, Е!и!Ййгппй!и бег Тйеопе бег тайен Краз. з!фсейеп. Ее!рг!8, 1932. Заметим, что только что приведенное рассуждение применимо н для любых других движений. Можно вообще утверждать, что число К служит мерой сравнительной роли инерционных и вязкостных членов в уравнениях движения.
Чем меньше число К, тем больше роль сил вязкости в рассматриваемом движении. Переходя в формуле (43) от силы сопротивления к коэффициенту сопротивления с, будем иметь: В' бяэа Р 24 — а Ь', каа — а 1?,,яа ь' 81) вихвявыв линии в илвлльной и вязкой жнлкосги 503 Ззачительный практический интерес представляет рассмотрение враьцательных движений цилиндра в цилинлре и сферы в сфере, когда малый зазор между ними заполнен вязкой жидкостью. Эти движения лежат в основе гидродинамической теории смазки подшипников, основоположником которой по праву считается знаменитый русский ученый и инженер Н. П.
Петров. рассмотрение этой теории, однако, представляет самостоятельный интерес и не может найти место в настоящем курсе.' В заключение настоящего параграфа подчеркнем важный для дальнейшего факт. Вязкая жидкость оказывает движущемуся в ней поступательно, равномерно и прямолинейно шару сопротивление, следовательно, для продвижения шара в вязкой жидкости необходимо непрерывно совершать работу, которая идет на создание возмущений в покоящейся жидкости. В отличие от идеальной жидкости кинетическая энергия этих возмущений угасает, рассеивается, превращаясь, благодаря наличию сил внутреннего трения, в тепло.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
