Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Вот почему при движении шара в вязкой жидкости уже не справедлив парадокс Даламбера. Аналогичное явление имеет место н при равномерном н прямолинейном движении вязкой жидкости в цилиндрической трубе. Если оы жидкость была идеальна, то для поддержании равномерного и прямолинейного движения не надо было бы затрачивать энергии.
При наличии вязкости необходимо непрерывно сообщать жидкости энергию в виде, например, перепада давления; эта энергия будет рассеиваться (диссипироваться) в жидкости, превращаясь в тепло. Подсчет количества диссипированной энергии при заданном движении вязкой жидкости будет приведен в одном из следующих параграфов. 9 81. Вихревые линии в идеальной н вязкой жидкости. Сохраняемость вихревых линий при отсутствии внутреннего трения. Диффузия вихря в вязкой жидкости Ограничиваясь для простоты случаем несжимаемой жидкости, сравним между собою поведение вихревых линий в потоке идеальной и вязкой жидкостей. Вообразим, что в некоторый момент времени в движущейся жидкости существует вихревая линна (1, 1) (рис.
159), т. е. векторная линия вектора О=го17, и рассмотрим жидкую линию (П, П), образованную в момент !+г!! теми же жидкими частицами, что и линия (1, !) в мов~ент !. Если жидкая линия (П, П), представляющая новое положение вихревой линии (1, !) к моменту времени 1+ И, является также вихревой линией, т.
е. векторной линией вектора-вихря ьз', отличающегося от вектора Я на соответствующее индивидуальное изменение вектора- ' Некоторое нредставление об этой теории можно получать, ознакомнвшвсь с З 27 части второй курса К н бе ля, Кочня а в Розе, изд. 1948 г, 5О4 (гл. тп1 дииамикл вязкой ькидкости и глзь вихря за тот же промежуток времени, то будем говорить, что вихревая линия сохраняется, в противном случае†что она разрушается.
Выясним, при каких условиях имеет место сохраняемость вихревых линий. Докажем прежде всего теорему Гельмгольца: в двизкуи(ейся иод действием консервативных обьемных сил идеальной несжимаемой (В (й) жидкости вихревые линии сохраняются. 9 рассмотрим два смежных положения одной и той же жидкой линии (рис, 159): (У, 1) — в момент времени ( и (П, П)— в момент (+с(г; пусть (У,!) представляет вихревую линию, соответствующую вектору Я = го( Ч.
Сравним между собою бесконечно малый „жидкий", т. е. состоящий из определенных частиц жидкости, М' ьг вектор ММ, и его перемещенное и де- (П цр формированное ьюлоькение М'йт" (при бесРнс. 15рв конечно малых перемещениях жидкости с точностью до малых высших порядков прямолинейные отрезки остаются прямолинейными). Имеем из векторного многоугольника ММ,М,М: ММ =ММ+ММ вЂ” ММ, или, замечая, что по условию (1 — произвольный бесконечно малый скаляр): ММ, = 1ьв, ММ' = Ч а'(, М М = (Ч+ (Л(й ° Ч) Ч) й(, получим М М = 1ей + Ч ах+ 1 (й ° Р) Ч г(( — Ч йС = 1 (О + (О..
и) Ч йс) Вспомним теперь указанное еще в гл. ВД уравнение (15) Гельмгольца — фридмана, которое в случае несжимаемой жидкости принимает упрощенную форму: т=((й 7)ч. и(3 (44) Тогда предыдущее равенство принимает вид: М'М,'=1((й+ йЯ й() Щ', й 81) вихвввыв линии в идвлльной и вязкой жидкости 505 что и доказывает теорему Гельмгольца„так как элемент жидкой линии (П, П) оказывается направленным по вектору Я', представляющему приращенный за время М вектор Й. Теорема о сохраняемости вихревых линий в идеальной жидкости была обобщена А. А. Фридманом на случай сжимаемого газа.' Рассмотрим теперь ту же вихревую линию (7, /) в несжимаемой, но вязкой жидкости.
Прежде всего выведем в случае вязкой несжимаемой жидкости уравнение, аналогичное уравнению Гельмгольца. Лля этого, взяв основное динамическое уравнение (16') $7г и предположив объемные силы потенциальными, произведем в левой его части известное уже нам по гл. 1П преобразование: (Ч 7) Ч = вагаб ~ — )+ ьа Х Ч. Тогда будем иметь уравнение: дЧ гИт 1 — + кга г1 ( — ) + Я Х Ч = — афтаб П вЂ” — втаб р — т го1 О, дг (,2г' которое после проведения над обеими его часгями операции го1 дает: дЧ го1 — + го1 (ьг 'р( Ч) = — ч го1 го1 Я. дг Если использовать формулу (жидкость несжимаема) го1(ИХЧ)=(Ч 7)Я вЂ” ф.7)Ч и заметить, что в силу независимости операций частного дифференци- рования по времени и в пространстве дЧ д дй го1 — = — го1 Ч = —, дг дг получим следующее обобщение уравнения Гельмгольца на случай не- сжимаемой вязкой жидкости: — д+ (Ч ° 7) а — (а . 7) Ч = — т го1 го1 и, дй или, собирая первые члены в общий символ индивидуальной производной, — — (Я ° 7)Ч вЂ” ч го1 го Я..
Лй ч'г (45) г А. А. Фриды ав, Опыты гндромехавики сжимаемой жидкости. 1934, ДИНЛМИКЛ ВЯЗКой ЖИДКОСТИ И ГЛЗ! (гл. Чп! В силу ранее уже применявшейся формулы векторного анализа го! ТО$ Й = дгаб б>ч Я вЂ” 7вьг, перепишем (45) еще в таком виде: (45') Сравнивая уравнения индивидуального изменения вихря в вязкой жидкости (45) или (45') с уравнением соответствующего изменения вихря в идеальной жидкости (44), видим, что в уравнениях вязкой жидкости присутствует дополнительный член — ч го! ТО1 М = ч рвьг, пропорциональный кинематическому коэффициенту вязкости. Как сейчас будет показано на простом примере, этот член характеризует рассеяние или диффузию вихря в вязкой жидкости.
Если бы мы попытались повторить только что приведенное доказательство георемы 1ельмгольца о сохраняемости нихревых линиИ' в идеальной жидкости в случае вязкой жидкости, то легко убедились бы, что в результате поввления дополнительного члена диффузии чрвг> жидкий отрезок М М;, представляющий новое положение рассматриваемой вихревой линии, уже не соответствовал бы индивидуальному изменению вихря, характеризующему сохринение вихря, как некоторого индивидуального образования. Взвихренность в вязкой жидкости передается смежным жидким частицам и постепенно рассеивается во всем объеме жидкости.
В вязкой жидкости вихревые линии раз. ругиаюпгся. Если в покоящейся вязкой жидкости создать изолированную вихревую трубку, то жидкие частицы, расположенные внутри трубки, увлекут за собой во вращение частицы окружающей трубку жидкости, так что постепенно весь объем жидкости придет во вращательное движение. Вместе с тем механическая энергия будет рассеиваться, превращаться за счет работы сил внутреннего трения в тепло, а вращательное движение ослабевать до тех пор, пока жидкость не станет неподвижной. В этом процессе, частный случай которого сейчас будет рассмотрен подробнее с количественной стороны, имеет место как разрушение начально созданных вихревых линий, так и создание новых, затем в свою очередь разрушающихся вихревых линий. Чтобы проиллюстрировать применение общего уравнение (45'), рассмотрим простейшую задачу о диффузии прямолинейной вихревой линии в безграничной вязкой зкидкости.
гладим следующую постановку этой задачи. Пус>ь в некоторый начальный момент времени 1 = 0 в несжимаемой вязкой жидкости имеется бесконечная прямолинейная вихревая нить с циркуляцией Г. % 81) вихвввыв линии в идвлльной н вязкой жидкости 507 Легко убедиться в том, что хорошо известное нам по теории плоского безвихревого движения решение, представленное круговым движением частиц с распределением скоростей Г р'=— гт ~~- + (Ч ° Р) й = (9 Р) Ч+ чЧЯЯ н, предполагая движение плоским и в силу симметрии круговым, опустим оба нелинейных члена (Ч ° т)й и (Я ° т7)Ч, так как первый из них равен нулю как производная от завихренности по направлению скорости движения, т. е.
вдоль окружности, на которой, в силу пред- положенной симметрии, завихренность одинакова, а второй равен нулю как производная от скорое~и в плоском движении по направлению вектора ьа, перпендикулярного плоскости движения. Обозначим проекцию вектора й на перпендикуляр к плоскости движения через Я и перепишем основное уравнение задачи в виде: — = — ттЯ, дй дт нли в полярных координатах ( — = О): /дЯ ,ги Лй б 7вбй) — — (г"— дГ г" дг*(, дг'"/' (46) имеет место и в случае движения безграничной вязкой жидкости.
В самом деле, движение это безвихревое, а следовательно, повсюду вокруг вихревой линии Я=О; уравнения вязкой жидкости при этом ничем не отличаются от уравнений Эйлера, а единственное граничное условие \1- О при г' -~ со одинаково выполняется в обоих случаях, Разница лишь в том, что в идеальной жидкости, где нет диссипации энергии за счет работы сил внутреннего трения, такой вихрь не диффундирует в толщу всего объема жидкости и может сохраняться бесконечно долго, поддерживая указанное только что установившееся круговое движение частиц без притока энергии извне; в вязкой же жидкости для поддержания такого движения необходимо сообщение энергии извне от источника завнхренности, например, от вращающегося в жидкости тонкого цилиндра. Сущность рассматриваемой нами задачи как раз н заключается в рассмотрении того неслгакионауного процесса, который произойдет, сели в некоторый момент времени Г = О удалить источник завихрепности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
