Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Г. ЛаАчискча Безразмерная плотность р в этой системе, так же как и вязкость р, предполагаются функциями Т. Пренебрегая, наконец, в случае малых перепадов температур влиянием температуры на плотность и вязкость, т. е. полагая р= 1, р=-1, подучим упрощенную систему уравнений; 5>ЗО (гл. мш динамика ш>экой жидкости н глзл в которой последнее уравнение может служить для определения температуры, если из первых двух уравнений уже предварительно определено поле скоростей, Если первые два уравнения системы (65) переписать в размерно г виде, то они примут вид (для размерных величин сохранены те же обозначения, что и для безразмерных): ди, ди ! «р д>и ! "— + и —, = — —.
— + '> дх ду а «х дут' — + — =- О. ) ! (65') «р «!> — +рот — =О, «х «х н переходя к безразмерному коэффициенту давления р и безразмерной скоросги и координате, для которых сохраним то же обозначение, »>т> и для размерных, получим: «р, «ь>' — йсЦ «х ' «х (66) Подставляя это выражение безразмерной производной давления в систему уравнений пограничного слов, заменим в ннх давление на известную функцию (>'(х). В этой форме уравнения плоского ламинарного слов были получены впервые Л.
Прандтлем в 1904 г. установленные системы уравнений на первый взгляд представляются незамкнутыми, так как число неизвестных в них как будто на единицу превышае~ число уравнений. Так, например, в простейшем случае уравнений (65) имеем три уравнения с четырьмя неизвестными: и, о,р, Т. На самом деле — и в этом характерная особенность теории пограничного слоя — при больших значениях числа К распределение давлений в любых точках поперечного сечениа пограничного слоя, в том числе и на поверхности обтекаемого тела, совпадает с распределением давлений на внешней границе пограничного слоя, где происходит смыкзние пограничного слоя с внешним потенциальным потоком; это распределение давлений р = р(х) предполагается заданным, определенным заранее путем решения задачи о потенциальном обтекании нли измеренным экспериментально при помощи дренажных отверстий, расположенных на поверхности обтекаемого цилиндрического тела.
Обозначим через с>>(х) размерную скорость, соответствующую размерному давлению р(х); тогда, замечая, что по теореме Бернулли Хй) 561 ламниапный слой па план!ни!!в Последнее более удобно, так как функция У(х) входи г. очевидно, в гидродинамические граничные условия задачи: при у=О и=О, о=О, р у и(х), (67) подробнее о которых будет сказано ниже в связи с рассмотрением простейших задач теории ламинарного пограничного слоя. $85. Ламннарный пограничный слой на пластинке, продольно обтекаемой несжимаемой жидкостью. Неизотермическое движение Представим себе пластинку АВ длины 1 (рис.
166), продольно обтекаемую безгрзничным плоским потоком несжимаемой жидкости плотности р со скоростью )г,. При этом внешний потенциальный поток Рнс. !66, можно рассматривать как однородный с безразмерной скорошьло У = 1 и давлением р= — О. Система уравнений (65) сводится к еле!у!ошей; (66) и= — О, о=-О; ди — =О, ду прн у=со и любых х Решение такой задачи представляет непреодолимые трудносги в силу наличия необходимости удовлетворения условий по оси Ох.
Задача эта ди ди и — -4- о — = дх ' ду ди де — + —,=- дх ду а граничные условия будут! при у = О и 0=-=х= '1 если х(0 или х~(, то дЪи ) ! ) динамика вязкой жидкости и газа англ. той была упрощена Ьлязнусом, предложившим рассматривать обтекание бесконечно длинной пластины — луча Ох — н затем уже применять полученное решение к отрезку АВ, т. е. удовлетворять приближенным граничным условиям: при у=О и х)О и=О, о=О, при у =- со и ==. 1.
(68') При таком подходе к задаче исчезает характерная длина 1, между тем, эта величина входит в определение масштаба поперечных длин Ь' — и поперечных скоростей $~ = )/й / ь„! рея /ы! т Отсюда сразу следует, что искомые безразмерные функции и н о должны зависеть не просто от безразмерных координат х и у, а от такой их хоибинаиии, чтобы при возвращении к размерным координатам выпа- дала величина !.
Такой комбинацией будет: и =)'(у,')l х), о = — 7 ~у!)/"х). ~' х (69) действительно, переходя при эзом к размерным величинам, получим: дь ду' д» 170) так что длина! в решениях выпадет. Конечно, в заключительном этапе, при подсчетах сопротивления трения для пластинки длины 1, эта длина вновь появится и займет свое место в числе Рейнольдса. Чтобы свести две неизвестные функции и и о или ! и ! к одной, воспользуемся вторым уравнением системы (68) и введем безразмерную функцию тока э, положив: 888 5 851 ллминлгный слой нл пластинка Тогда, вводя новый аргумент о = , будем нмегь! у 2~"х ' ч — ' = 7 ( —.), ф = — ~ У (=) лу = 2)/х ~ У(о) Щ ду 2Тгх,! 21х причем предположено, что при у=О, ф=о, Используя для краткости обозначение: 2 ~ Х(т!) Ит! = м ( ~), о найдем такое выражение для ф: ф = )г х в (т!).
(70') Вычисляя (штрих означает производну!о по ч1): дф —, дч 1 и = — ' = к' х ю'(г1) — = — э'(т!), ду ' ду 2 ' ди 1 „дп ! — =--и (!) — ' = — -.-'(т), ду 2 ' ду 4 ух дзл 1 ~ч — — (т) дуз 8х ' — Ф (т1) — = — — — =Ф И =- — то (т), ди 1 ч дз 1 у „1 дх 2 ' дх 8 )ха ' 4х дф 1 г-, дт! — — — -",(ч) 1' Т ( ) дх 2~"х' дх =- — — = о(8)+ — )Г хи'(т!) =- —.(т!о — ), 1 1 21х ' 2х ' 21гх которое надо решить при очевидных граничных условиях: при т1= — О, я=О, л'= — О при т! = оо со' = 2. (71 ) Уравнение (71) и граничные условия (71'), благодаря использовапн!о безразмерных величин, приведены к чисго численному виду, не н подставляя эти выражения в первое уравнение системы (68), полу~им обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение третьего ~юрядка о"'+оо = О, (71) 534 дннлмикл втыкай жидкости и глзл (гл.
лчп содержат иу никаких парамегров (плотность, вязкость, скорость, размер). 1'еп!ение задачи может быть закончено численным интегрированием уравнения с той или друтой точностью. Приводим табл. 14 значений безразмерной скорости и=.= —; (т1) в фупкпнн от «1 с ччтч- 1 2 пастью до четырех знаков. Таблица !4 т, и= «(т) ,1-ч 1 и = — тт(тд 2 1 — т' ('т~) 2 2,3 2.4 25 2,6 2,0 2,1 2,2 2,7 т,т 0,5 0,6 11ользуясь этим табличныъг регпеннем задачи, найдем прежде всего напряжение трения на поверхности пластинки, равное в размерных величинах; т'ди ' (дуги о 4 4т тх Опреде:яя приближенно по таблице "(0) — — т (О'!) т (О) — 1 328 0,1 будем иметь распределение трения по поверхности пластинки -.,„, = 0,332 ~тг /,ра (72) Эга форчула (ход изменения ".„, показан на рис.
166) дает очень хорошее совпадение с опытными данными, исключая области, непосредственно близкие к носику и хвостику пластинки, где по (72) имеем: уе „„!Га на самом же деле т„и при х= О и при х= — ! нз соображений не- прерывности н симметрии потока должно быть равно нулю. ! 03 0,2 ( о,з 0 ~08 ОГ664 ! 09 0,~328 1,0 0,1989 1,1 0;2647 1,2 О 3298 1,3 О.',938; 1,4 ОА563 ' 1,5 0,5168 0,5748 0,6298 0,6813 0,7290 0,7725 О,Я!15 0,8460 0,8761 0 9018 0,9233 0,9411 0,9555 0,967п 0,9759 0,9827 0,9878 0,9115 0,9942 0,0962 0,9975 0,9984 536 [гл.
1пп динамика вязкой жидкости и газа на самом деле клин с постепенным переходом на параллельные стенки. Как далее увидим, в таком потоке профиль скоростей в сечении пограничного слоя должен иметь больший уклон, чем на пластинке. Уже ранее упоминалось, что понятие „толщины" пограничного слоя весьма условно. Если под толщиной пограничного слоя понимать такое размерное расстояние у = 5 от стенки, где продольная размерная скорость а лишь, например, на один процент отличается от скорости внешнего потока Ъ', то по табл. 14 найдем приблизительно / «х 6=5,0У У а если повышать точность совпадения и и $~, то толщина будег соответственно увеличиваться. Так, если потребова гь, чтобы отклонение не превышало 0,2э/„, то коэффициент 5,0 в предыдущей формуле заменится на 5,8 и т.
д. В настоящее время избегают пользоваться этим приближенным понятием (ход возрастания 6 вдоль пластинки показан на рнс. 166), вводя для характеристики „толщины«слоя некоторые интегральные определения. Так, общеприняты: „толщнна вытеснения" ч", равная йь = ~ (1 — — ) ау = — 1,721 1/— о и „толщина потери импульса" йв" = ~ — (1 — †„, )~[у = 0,664 1/ †'" . о Формулы этих величин для общего случая обтекания любого цилиндрического тела и физический их смысл, объясняюпгий происхождение наименований, дздим несколько далее, а сейчас лишь укажем, что такое интегральное определение, хотя и не имеет той наглядности, как представление о толщине слоя (3='Зав ='7,53*"), но зато слабо зависит от неточности учета совпадения и и Ь' при больших у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
