Л. Прандтль - Гидроаэромеханика (1123861), страница 40
Текст из файла (страница 40)
е. на нижней поверхности ползуна. Однако прн таком вычислении необходимо иметь в виду. что не нижней поверхности ползуне, наклоненной к оси х не угол. тангенс которого равен давление р дает составляющую в направлении движении. Тзк кек нз верхней поверхности ползунз имеет место атмосферное давление рз, зта составлню- щая равна — / (р — рз) — ! ° буь Их а Интегрирурн по частям и имел в виду.
что р = ре длл х = 0 н з! = 1, мы получим: + / р'!!4з. ! этих сил, равный ) рхс(х. Отношение момента к результирующей силе о даст нам расстояние точки пересечения результирующей снл давления с осью х от точки х = О. Полная сила трения, на основании уравне! ! ния (40), равна ) то !(х. Складывая ее с силой ) р!зх, мы найдем резульо о тирующу!о силу, действующую на ползун, по величине, направлению и положению для каждого заданного закона Ь = Ь(х) изменения высоты щели.
Так как обычно результирующая сил давления задана, то выполнение указанных вычислений дает возможность определить высоту щели. Используя теперь уравненил (40) и (41), мы нейдем длп полной силы трения такое же выражение, как и в том случае, когда расчет ведется, исходя из выражения для касательного напряжения тс на опорной поверхности. Простейший случай переменной высоты щели мы получим, если примем ползун и опорную поверхность плоскими, но наклоненными друг относительно друга на малый угол б (рис.
122). Пусть 1 6 * у р = О и х = (, а высота щели пусть равна Рис. 122. Щель переменной высоты й = (а — х)б, (45) что означает, что прямая пересечения обеих плоскостей находится на расстоянии а от левого края башмака (х = 0). Подставим выражение Ь в уравнение (44) и вычислим оба интеграла; мы получим: 1 Нх 1 ~ 1 1~ 2ах — хз 1хз 2дз '((и х)г оз) 24зпз(о х)з' о /-=-~ Ых 1 ~ 1 11 Пз Оз 'Ьо х п1 Оза(а — х) о следовательно, бах ~ Я(2а — х) ~ 2 бза(а — х) 1 да(а — х) 1 Из УсловиЯ, что дла х = 0 должно быть Р = Ро, находим: С = Ро, поэтому 6нх ~ 4) (2а — х) Р =Ро+ бза(а — х) ( да(а — х) (46) Для того чтобы р = Ре также при х = 1, выражение в квадратных скобках а правой части уравнении (46) доллзно быть равно нулю, следовательно, пда(а — 1) 2а — 1 Подставлня это значение Я в уравнение (46) и заменяя Б(а — к) опять на Ь, после легких преобразований мы получим: 6»ох(1 — х) Р— Ро+ >,г(2 1) ' (48) 6=д а — — =Й мы получим: 3 Ро)' Р Р = 2 (49) Предположим, что давление под ползуном распределяется приближенно по параболе; тогда среднее избыточное давление под ползуном следует принять равным = -(Р> — Ро); 2 3 или, на основании уравнения (49), ,„1г яз (2а — 1) (50) Эта формула ясно показывает, что очень малая толщина 1> слоя смазки обеспечивает очень большое давление под ползуном даже при сравнительно малой вязкости» смазочного вещества.
Так как высота щели 1> уменьшается в направлении течения, то максимум давления на основании уравнения (48) лежит за серединой ползуна в направлении течения, поэтому там же проходит и результирующая сила. В верхней части рис. 123 показано распределение давления согласно уравнению (48), а а нижней части — распределение скоростей в нескольких сечениях щели. Различная кривизна кривых распределения Для оценки среднего давлении вычислим сначала давление р> под серединой ползуна (к = -). Давление Р> не совпадает с максималь2 ным давлением под ползуном, так как высота й щели, согласно уравнению (45), изменяется вместе с х; однако, если это изменение происходит не сляшком быстро, то величина р> будет близка к максимальному давлению.
Подставляя в уравнение (48) 1 Рис. 124. Башмак с шарни- ром Рис. 123. Распределение давления под башмаком скоростей ясно показывает, что давление в разных сеченинх — разное. Распределение давления зависит также от отношения —; положение же результирующей силы давлении зависит только от этого отношения. Мичел (Е.М)с)ге!1) снабдил башмак подшипника, названного его именем, шарнирным соединением, расположенным немного дальше середины башмака по направлениго движения (рис. 124), и достиг таким путем хорошей работы подшипника при любой нагрузке. Башмак такого подшипника автоматически устанавливается под определенным углом наклона к опорной поверхности.
В действительности в подшипнике Мичела часть масла, попадающая под башмак во входном сечении щели, вытекает с боков башмака. Это приводит к довольно значительному уменьшению давления под башмаком, но в качественном отношении все остаетсл по-прежнему'. Характер поля давлении под башмаком приводит к тому, что наса- тельные напрнжения на поверхности башмака около входного сечения меньше, а около выходного сечения больше обычного трения; на опорной поверхности имеет место обратное соотношение. Значения этих касательных напрнжений легко найти при помощи уравнений (40), (41), (43) и (47). Вместо определения этих значений мы ограничимся нахождением оценки для силы трения, которая будет тем точнее, чем больше отношение о.
для этой цели примем что распределение касательных ! » напряжений изображается трапецией, поэтому среднее значение силы гмшЬец А. С. Н., Еекгасьг бмазЬ. н. РЬуш!с, т. 52 (1903), стр. 123 (имеетсл а лереааде на русский язык а сборнике егидродинамическел теорил смазки», Москва, 19341. В статье Мичеле исследааан так»не случай башмака конечной ширины с боковым выходам масле. трения на единицу площади можно считать приближенно равлым силе трения иа средней линии трапеции. Так как на этой линии величина р' очень мала, то, на основании равенства (40), мы имеем: глэ т Л (51) Определим из уравнения (50) толщину Л слоя смазки: 1лэ(з р (2а — 1) (52) Подставлля это значение Л а уравнение (51), мы получим: глиэр.
2а — 1 т (53) Следовательно, при заданных значениях 1 и а, т.е. при заданных длине и наклоне башмака, коэффициент г" пропорционален величине . '11 рт1 Рассмотрим числовой пример. Пусть и = 1 %лг сек, е = 100 сл~/сек, рм = 10 кг/сжг — 10" дик/ела, 1 = 10 слс В таком случае 10-3 р Е Величина — есть не что иное, как то напряжение тренин (очень магга лое), которое возникло бы в том случае, если толщина слоя смазки была бы равна 1(!).
Следовательно, действительное напряжение трения по порядку своей величины равно среднему геометрическому из только что уиазанного малого напряжения трения и среднего значения нагрузки. Таким образом, при заданных значениях 1 и а сопротивление скольжениго изменяется пропорционально кори~о квадратному из внзкости, из нагрузки и из скорости. При точном вычислении касательных напряжений получилась бы совершенно такая же зависимость, но, конечно, с другим коэффициентом, чем в формуле (53).
В теории трения скольлсенил твердых тел вводитсл, как известно, коэффициент тренин скольжения, равный отношепнго силы трения к нормальной силе давления. В рассматриваемом случае этот коэффициент равен Далее, пусть а = 21; тогда числовой множитель в равенстве (53) будет ра- вен ~/3 = 1,732, следовательно, 1 577' Переписав равенство (52) в виде мы найдем, что средняя толщина слоя смазки равна 5» = 10см 10 ~ — = 0,0577 мм. 'ц 3 6 = з+ е соя(ф+ а), где у есть центральный угол, и развернуть квадрат величины Й, который входит в вычисления, в ряд по биному Ньютона.
Эти вычисления выполняются совершенно так же, как и в случае ползуна, причем по- прежнему принимается, что ширина цапфы — бесконечная. В результате получается, что 3 е Р л Дат (54) Для смазанной цапфы, вращающейся в подшипнике, соотношния получаются не столь простыми, как для ползуна. Это вполне понятно, так как теперь в расчет должна быть введена новая постоянная величина — так называ- :~, ',ф '", емый зазор, т.е. ширина л щели при централь- .с ном положении цапфы в подшипнике (разность Ю'' Ф 2,5 ' между радиусом подшипника т+ л и радиусом цапфы г и, кроме того, две неизвестные величины — горизонтальное и вертикальное перемеВреше"ие щения центра цапфы относительно центра под- шипника. Общая картина явления получается такая же, как и при двизкении ползуна: под цапфой образуется клинообразная прослойка масла, увлекаемая вращающейся цапфой от широкой стороны щели к узкой (рис.
125). Вычисления получаются очень сложными, но они упрощаются, если эксцентриситет цапфы е мал по сравнению с зазором л. Такой случай имеет место при быстром вращении хорошо смазанной и умеренно нагруженной цапфы в полностью закрытом подшипнике. В этом случае можно принять, что где р есть среднее давление в слое смазки, г — радиус цапфы и и— окружная скорость. Обе части этого соотношения представлнют собой безразмерные величины. Структуру правой части этого соотношения можно было бы предвидеть на основании формулы (50). В самом деле, формулу (50) можно переписать в следующем виде: р Гз г 2а — Г Гав) Левая часть этого рапспства имеет чисто геометрический характер и по своему смыслу аналогична отношению е; правая же часть отличается от правой части соотношения 154) только тем, что в нее вместо я входит Гг, а вместо радиуса г — величина Б В более общем случае!, когда эксцентриситет цапфы о нельзя считать малым по сравнению с зазором я, отношениение е является функцией числа г ргя 'Э дэг Функцией этого же числа является и угол сг, образуемый направлением результирующей силы с прямой, соединяющей центры цапфы и подшипника.
Угол сг в большинстве случаев близок к 00'. Результирующая сила пересекает окружность подшипника в определенной точке, впереди которой по направлению вращения расположена та точка, которая ближе всего отстоит от цапфы. Безразмерное число г, учитывает влияние на работу подшипника его нагрузки, зазора., вязкости масла и окружной скорости. Поэтому результаты опытов целесообразно относить к определенным значенилм этого числай. Для коэффициента трения подшипника, т.е. для отношении силы тренин, действующей вдоль окружности подшипника, к нагрузке на подшипник, получается такое же выражение, как и для коэффициента трения ползуна, а именно: Л = число )à — = число -»уй.
!ГДЕ м э г- )ГГ р„,г г !не! по!4» О. — см. сноску на стр. 208; Коппи»ег Ге!4 А., Еепсьег. Г. Мас!». н. РЬуа., т. 90 (1904) ~нмеется в переводе на русский язык в сборнике арндродинамическая теория смазким Москва. !934). хо подробностях ем, например, С й т Ь е! . Е х е г11 п Л, Не!Ьопн ипб Нсьпиегопд !.и МвасЬ!пепЬан, пег!!п, 1920. Вальгер', производивший опыты с подшипником, охватывавшим цапфу примерно наполовину (длина его по окружности составляла 1,23с(), получил для последнего числа значение 2,4. В предыдущих рассуждениях мы молча вредполагалн, что достаточный приток масла и не слишком малая скорость вращения цапфы (или не слишком большая нагрузка на нее) обеспечивают существование масляной пленки, покрывающей всю поверхность подшипника и предупреждающей соприкосновение металляческих поверхностей цапфы и подшипника.
Так как точность обработки этих поверхностей имеет некоторый предел, то при слишком малой ширине )г щели нельзя избежать соприкосновения цапфы и подшипника. В таком случае возникают явления, которые лучше объясняются обычной теорией трения твердых тел. При пользовании выведенными формулами необходимо исключить также случай возникновения в масляной пленке давлений, значительно меньших атмосферного. Возникновение таких давлений сразу приводит к разрыву масляной пленки. Тщательные измеренин, выполненные Фресселемз для подшипника, целиком погруженного в масло, показали, что в месте разрыва отнюдь не образуется вакуум, как этого можно было бы ожидать по аналогии с таким движением воды, при котором возникает кавнтация (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
