Л. Прандтль - Гидроаэромеханика (1123861), страница 39
Текст из файла (страница 39)
др др (36) дх' ду' Подставляя зти значения составляющих и и о в уравнение неразрывности — + — =О, ди ди дх ду мы получим опять уравнение Лапласа: д'р д'р — + — =О, дхз дуз = >Теории движеиил природных жидкостей (воды, нефти) н газов в пористой среде получила щирокое развитие благодврл работам советских ученых; см., например, Х1 у к о аск и й Н.Е., Теоритическое исследование о движении подпочвенных вод.
)Курнал русского физииохимич. общества, ч. физич., т. 21 (1889), отд. 1, выл. 1. стр. 1 (илн Избранные сочинении, т. 1. Москва, 1948, стр. 153): Шел к а ч ее В. Н., Подаемнал гидравлика, Москве, 1944> Л е й б е н во н Л. С., Дан>кение природных жидкостей н газов в пористой среде, Москва, 194Т. Ч а р н ы й И. А, Подземках гидромеханика, Москве, 1948. аналогичное уравнению, апределя>ощему потенциал скоростей Ф плоского потенциального движения жидкости без трения.
Это обстоя- ~))!;,;~9(,)1~1 тельство позволяет определить линии тока по- /~ тенциального движения жидкости без трения ~фЪ / ' (при условии, что потенциал скоростей однозначен и непрерывен) путем эксперимента с таким движением жидкости, при котором преобладающую роль играет внзкость. Впервые это было сделано Хеле Шоу'. Он пропускал межРис.
120. Обтекание ц и л и и д а в и б е д У д в У м Я с е к л Я н н ы и и л а с и н к а м и б е с ц в е цилиндра в приборе П л„ нУю жидкость (водУ, глицеРин) и вводил в нее струйки окрашенной жидкости. Эти струйки, обтекая вставленный между стеклянными пластинками контур, давали красивую и четкую картину линий тока. Более современный прибор такого рода, работающий с водой и чернилами, сконструирован Полем (Н. РоЫ). Картина линий тока, изображенная на рис.
120, получена при помощи этого прибора. г''т' ь.~,а'> чм Рис. 121. Движеиис жидкости около источника и стока Пражиль (Г.РгайП) осуществлял течения, в которых преобладающую роль играет вязкость, в большом плоском баке, наполнявшемся до высоты в несколько миллиметров водой, поверхность которой обсыпалась маленькими кристаллами марганцево-кислого калия.
На рис. 121 изображена полученнан таким путем картина линий тока совокупности источника и стока (жилкость поступает в бак через левое отверстие и вытекает из бака через правое отверстие). ' Н с1е 8 Ьок, Мыиге, т. 53 (1890), атр. 94; Наг.1пш. Ггос., т.16 [1999), стр. 49. В потоках, в которых преобладающую роль играет вязкость, распределение давления имеет совсем другой характер, чем в потоках со слабым пролвлением вязкости, а именно, в них падение давления происходит всегда в направлении потока' и поэтому, в них нигде не могут паблюдатьсн возвратные движения жидкости. В связи с этим необходимо особо подчеркнуть, что картины линий тока, полученные указанными способами, не могут дать всестороннего представления о движениях жидкости, в которых вязкость играет небольшую роль, подобно тому как картины линий тока, вычисленные для потенциальных потоков из формул, не могут дать исчерпывающего представления о действительных движениях жидкости при больших числах Рейнольдса.
Однако потоки с поверхностями раздела а приборе Полл могут быть осуществлены; длл этого между стенкам следует вставить, кроме обтекаемого тела, еще перегородку и соответствующим образом регулировать приток жидкости к обеим стороннм перегородки. Возможность осуществления отрыва потока, нонечно, совершенно исключена. Заметим, что если в только что рассмотренных потоках слой жидкости слишком толстый или скорость течения слишком велика, то внутренние и внешние слои жидкости движутсл не одинаково, а именно, в слоях, близких к стенкам, траектории частиц изогнуты больше, чем во внутренних слоях (возникают вторичные потоки, см.
98). Это обстоятельство необходимо всегда иметь в виду при опытахз. Гюнтер~, заставляя протекать очень влзкие жидкости между стенками, установленными на сравнительна большом расстоянии друг от друга, воспроизводил таким путем днухмерпыс движения подпочаенпых аод. например, просачивание воды под плотиной. Широкие щели были необходимы для того, чтобы исключить влияние капиллярных сил. 9 10. Гидродииамическая теория смазки.
Третьим, технически очень важным примером тече>гия, прн котором вязкость играет преобладающую роль, является дни>кение масла в слое смазки между цапфой и подшипником или между ползуном (башмаком) и направляющей опорной поверхностью. Тщательные наблюдения показывают, >Наоборот, прн потенцнальнсм лап>кенни жидкостц без трения паленне дееленнл н> происходит е напрааленпн градиента ст — .
2 ' >теорию стклоненнл траектсрнп частнц жндкостн аследстенн ее ннерцнн мс>кно нептн а статье К1еае!з Р., ЕАММ, т.18 (1939), стр. 95. ай бп>нег Е., УГ>12с>зс!и.. т.нч (1940), стр. 942; а >топ сгвтье нмеетсл список литературы с данн>енин подпочвенных зад. что при вращении смазанной цапфы в подшипнике или при скольжении смазанного башмака по опорной поверхности образуется тонкий слой масла, полностью предохранлющнй движущуюся часть машины от соприкосновенил с опорной поверхностью, н что сам этот слой находитсл в определенном движении.
Способность смазанного подшипника воспринимать большие нагрузки при незначительном трении следует рассматривать именно как результат течения, происходлщего в слое смазки . Рассмотрим сначала случай движения ползуна на плоской поверхности, причем для упрощения исследования предположим, что обе скользнщие поверхности простираются в направлении, перпендикулярном к движению, столь далеко, что течение жидкости в слое смазки можно рассматривать, по крайней мере в центральной зоне, как плоско-пвраллельное . Длл того чтобы получить установившеесл дан>кение, 1 будем рассматривать движение в системе отсчета, в которой ползун покоитсл, а опорная поверхность (значительно более длиннал) движетсл со скоростью и вправо.
Предварительно исследуем течение через щель высотой Ь, верхнюю стенку которой образует неподвижный ползун, а нижнюю стенку, параллельную верхней, — движущаясл со скоростью и опорная поверхность. Пусть в направлении движения давление повышается нли понижается. Ось к направим в сторону движения опорной поверхности, а ось у — перпендикулярно к стенкам. Тогда градиИр ент давления в направлении движенил будет равен —. Для сокращения сЬ записи будем обозначать его через р'. Вследствие малой толщины Ь 1 Теории текога двухмернога де>пленил слон смезки былв резреботенв Рейнольдсом (не только длл ползуне, но и длл цапфы в подшипнике); см.
Кгупо!бе О., Рву1. Тгмь Ноу. Зос. 1886, честь 1. цлн Рвреи, т. П, стр. 228 имаетсл е превпде не русский лзьпг в сборнике агцдрадинемическвл тсш>ил смазки», Москва. 1924 слоя смазки следует считать, что градиент р' не зависит от у. Скорость течения, направление которого в рассматриваемом случае совпадает с осью х, обозначим через и (в более общем случае, когда степин не совсем параллельны, для характеристики движения также вполне достаточно одной только составляющей скорости и; составляющая скорости по оси у нужна только для составления уравнения неразрывности). Пренебрежем инерцией и допустим, что состояние движения в направлении оси х изменяется медленно, точнее, медленнее по сравнению с более быстрым изменением в направлении осп у (такое допущение дз и дзи~ означает, что можно пренебречь величиной — по сравнению — !.
дхз дуз /' Тогда, имен в виду сказанное в конце 31, мы можем написать: д и откуда после интегрирования получим: Рди = р'у+ С,, ди Интегрируя еще раз, найдем: 2 И=Р +С1У+Сг (38) Для у = О скорость и должна быть равна скорости о; опорной поверхности относительно ползуна; атому требованию мы удовлетворим, приняв С = ии. Для у = 6 должно быть и = О, следовательно, Подставляя эти значения постоянных С1 и Сз в уравнение (38), мы получим: ! Р (уг йу) + и(8 2р 6 (39) Сила тренин на единицу площади, счнтаемал положительной, равна на нижней стенке: а на верхней стенке: тз — — — р — =р — — р-.
(ди'~ В ~ Ь (,ду) „К 2' (41) и Ии. е Выполняя интегрирование, мы получим: Р/ 3 2 12р' (42) После этих предварительных вычислений мы можем приступить к решению поставленной задачи. Найдем такое ее решение, при котором давление под ползуном р, начинаясь от атмосферного давления ре около кран ползуна, сначала сильно возрастает вместе с х, а затем опять уменьшается до атмосферного давления ре. Только прн таком распределении давления ползун, несмотрн на большую нагрузку, не будет соприкасатьсл с опорной поверхностью. При постоянной высоте и щели такое распределение давления невозможно. В самом деле, вследствие неразрывности движения должно быть Я = сонат; но з есть скорость ползуна, следовательно, также есть постоянная величина, поэтому при постоянном Й градиент давления р' не может изменяться.
Следовательно, мы должны принять, что высота й изменяется вместе с щ. решая уравнение (42) относительно р', мы получим: При использовании полученного результата необходимо иметь в виду, что повышению давления в положительном направлении оси х соответствует положительное значение р', следовательно, отрицательное значение р' означает, что в положительном направлении оси х происходит падение давления. Определим теперь количество жидкости (~, протекающей в единицу времени через щель. Знание этого количества нам потребуется для формулирования условия неразрывности;Через поперечное сечение высотой Й протекает на единицу длины, в направлении, перпендикулярном к осям х и р, количество жидкости Интегрируя это уравнение, мы найдем р как функцию от х: р = 12р ("- ! — *, — о !' —,) <- с.
(44) Постоянную интегрирования С и попа неизвестное значение Я мы определим из условии, что на обоих концах ползуна должно быть р = ро. Зная Я, мы будем знать распределение давления под ползуном, после чего сумеем вычислить путем еще одного интегрировании результирующую сил давления на ползун, равную на единицу длины в направленин, перпендикулярном к осям х и у, интегралу ) р!зх, и момент о Можно было бы вычислить полную силу трения, исходи из выражения для касательного напряжения те на верхней стенке щелв, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
