Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 85
Текст из файла (страница 85)
— Рт !(совО), (35,26) 2л+ 1 ле 2с1+1 л- гтР„"(сов 0) л(п — гл+1) т (п+1) (и+ т) в1п О "„= — Рл,, (сов О) — Р'„л ! (сов О), (35. 2?) мы можем записать (35.24) в виде р' = 2 (а+ т) рВНт (сов О) сов (тХ+ ат1), где и (л — т+ 1) (и+1) (и+ т) Нл (совО)= — ( +1)(2 +1)Рл„!(совО)+ (2 +1) Рл !(совО). (35.28) Далее, выражение р'=2(а+т)р~~.", ~ [В~сов(т),+алл()+ л=тт ! + В„в!и (тй + а'„1)) Н„(сов О), (35,29) где В'„л и „— произвольные числа, будет также решением нашей системы УРавнений.
Можно выРазить тепеРь Вл и В„т чеРез посРедство Ат н А„'". Для этого положим в (35.29) 1=0 и перенумеруем члены так, чтобы получать ряд по Рт(сов О). Будем нметь, очевидно: л т т ! т (и+2) (и+ т+ 1) 1 Г т (п — 1) (и — гл) ') Б л и н о в а Е. Н., Гидродииам!!ческая теория волн давления, температурных волн и центров действия атмосферы, ДАН СССР, г, ХХХ)Х, )чй 7, 1й43 ВОлны ВО ВРлгцлющгнся лтмОсФБРнОВ ОволОчкг 545 4 зн Сравнивая почленно ряд (35.25), в котором коэффициенты заданы, и ряд (35.30), в котором коэффициенты неиавестны, придем к системе уравнений ГЕ) (и — 1)(и — ) ! д ( + 2)( + + 1) ) А ! " ' (2и — 1)и + "'"' (2и+3)(и+1) ( ) ГЕ) т (и — 1)(и — т) „Е) т (!!+2)(и+ги+1) ) т 2 и+т р(~Е) -! „1)„Е), ! —,„+ „В )!=Аи (35.
31) Из этой системы уравнений определяются последовательно, начиная с младших номеров и, коэффициенты Е) через коэффициенты А. Возмущения 9' функции тока для нашего движения представятся по (35,23) в виде .,"~ ~Е)„сов (гиЛ+ оиЕ) + 0 т з(п(ги) + э„г)1 Р'„"(соз 6), и=т т=! где ЕУ„" и Е)„— величины, уже определенные выше.
т На практике расчеты упрощаются тем, что, как показывает сравнение выражений (35.26) н (35,28), для больших и справедливо соотношение Н~ (соэ 6), соз ОР„(соз 6). Мы остановились подробно на анализе уравнения (35.19); последнее было нами получено в результате линеаризации уравнения (35.13). В 1945 г. Эртель указал на возмо!кность получения ряда частных решений нелинейного нестационарного уравнения (35.13). Эртель ищет решение для ф в виде ф(0, )ь !) = — Рзх соз 6+ Уи (О, ), — Я„!)!), (35.32) где Уи(0, ).) есть сферическая функция порядка и: Уи(6, Х) = АРи(созб) + ~~ А",,'Р",,'(соз 6)соз(и),+В'„'г), (35,33', п~ ! причем и, 1)т АВ, А',", В'„и — постоянные. Так как ЬУл = — и(и+ 1) Уи, ') Аналогичное, но более частное решение было получено Крэйгом (Сг а 1и й., А зо!и!!оп о! попппеаг хогг!спу ег!напои гог а!шоз!жег!с шопоп, Тйе )ог!гпа! о( Ме!еого!ойу, 2 (!945), № 3). Однако прн метеорологической внтерпретацни своего решения Крэйг сделал неправильный вывод.
Вывод Крэйга был исправлен в работах Блиновой (Блинова Е. Н., Об определения сноросп! движения ложбин пз нелинейного уравнения для вихря, ПММ, т. Х, вып. б — 6, 1946) н Нимтэна (В! е а ш ! а и 8., Тйе шопоп о( Ьагпюп!с жачев !и !Ва агшоарйеге, Тйе )оп!па! о! Мегеого!Оду, 3 (1946), №2). 546 волновып движвния ндвлльнои жидкости !гл шы то по (36.30) Ьф = 2гза сов 6 — а(и + 1) Ул; дар дУ„ ~~о . — =- — а(и+ 1) —" = а(п +1) 2„— "; дг дг и лЛ ддф д~о — =- — 2гза гйп 9 — и (и + 1) —" дв ДВ ддф д!'„ — = — а(и +1) —" дх дЛ Кроме того, — =г па)п 9-+ — ", — = —" ° Вставляя этн аф, . аУ„аф ВУ„ дз дв ' дЛ дЛ производные в (35.13), придем к соотношению (и + 1)()„ "- + , ! — ~~~~ згп В + ~~" ! (а + 1) ~~"— — — "( — 2гзпэ)п — и(п+1)- "1~+2а — —" =О, дуо г оЛ ~ дэ )~ дЛ что после приведения и сокращения членов дает: а (а -! — ! ) 2„— о.п (и + 1) + 2 (о: + оо) = О, Такиьг образом, (35.30) удовлетворяет при произвольных А, А„ В"„', в уравнению (35.!3), если только 2 (*+ и) Я =о.— — —— л а(п+ !) (35.34) Решение (35,32) представляет (как и аналогичное решение в линейном с.чучае) волны, наложенные на западно-восточный перенос, угловая скорость которого есть д.
Угловые скорости йо движения волн будут представляться по формуле (35.31), Но угловые скорости во.чн в линейном случае будут: о~(т; это по формуле (35.22) будет в точности совпадать с выражением ь)„, полученным для соответствующего нелинейного случая, ф 36. Центры действия атмосферы. В предыдущем параграфе мы рассмотрели бегущие возмущения, наложенные на западновосто:шый перенос. Для метеорологии представляют большой интерес неподвижные (стациоиарные) возмушепив чисто зональной циркуляции. Прнмераии таких возмущений могут служить так называемые центры действия атмосферы (исландский минимум, азорский максимум, сибирский аптициктон и др.). Возникновение этих возмущений западиовостошшго переноса, сохраняюшихся в течение промежутка времени порядка сезона, можно обьяснить, привлекая бароклпнность атмосферы, Пересечение изобар п пзотерм будет иметь место уже потому, что материки и океаны, как правило, нзгреты по-разному; зимой магерик буди.
холоднее, океан — теплее, летом — наоборот, На прннципиа.тьную возможность пошроенцв стационарных решений типа 547 цап ггы депствпя АтмосфГиы центров действш1 указывал еше Россбн 1Коззйу). Гндродннамнческая теория явления была дана Е. Н. Блиновой '). Изложим здесь в общих чертах теорию Блиновой. В нашей задаче мы будем считать процесс стационарным, а температуру атмосферы заданной функцией: Т= Т(0, )„г). Будем искать все остальные гидродинаьшческие элементы: три составляющие скорости н давление (плотность найдется через р и Т по уравнению Клапейрона).
Эти функции свяаапы уравнениямя движения и уравнением неразрывности. Все уравнения должны быть преобразованы применительно к специфике атмосферных движений планетарного масштаба. Так как основная масса атмосферы содержится в ничтожном по сравнению с радиусом Земли аз слое 1порядка 20 кш), то в коэффициентах наших уравнений мы можем всюду заменить г на аа, а производную д!дг — на производную д/дл, где г = — г — аа — расстояние от поверхности Земли. С большой точностью можно считать, дйг дгг' что — — = — =0 и что дл ду дйг дг =- — К где ускорение силы тяжести д — постоянная в пределах атмосферы величина.
Поэтому в согласии с методом длинных волн третье уравнение движения может быть записано в виде О= — — — — д. 1 др да (36.1) Далее, одшгм нз наиболее важных свойств атмосферы является всегда сугцествуюшая заметная зависимость давления и плотности от расстояния от поверхности Земли; зависит от высоты, как правило, и температура.
Вид этой зависимости в основных чертах сохраняется всегда. Можно ввести понятие стандартной атмосферы и рассматривать р, о и Т на каждом уровне как величины, близкие к их стандартным значениям )з, 1ь Т данного уровня. Пусть р= р(л)+р,102 Л, г), Р=р(г)+Р,(0, )., г), ) (36.2) Т= Т(а) + Т,(0, Л, г) Функции р, Р, Т будут в дальнейшем считаться известными. Они связаны барометрической формулой (уравнение статики) О= — — — — д ! др 136.3) и уравнением Клапейрона р = )срТ.
') Сл», сноску на стр. 544 а далее: Блинова Е. Н., К вопросу об определении давления на уровне моря, ДАН СССР, т. Х1П, )чь 3, 1953. 548 Вол!сивые движения ндГАльмог! ж!!г!кос!!! !Гл ч!г! Выражая в барометрической формуле р через р и 7; получим: 1 с!р р д» )1T откуда р !») = р (О) е Так как абсолютная температура Т всегда положительна, р будет падать с высотой. Величина (р!//р будет всегда мала по сравнению с единицей.
Так, например, за стандартное давление на уровне моря можно принять (Р), а= 1013 мб (1 .яб= !Оз г/см сека); вели юна (р), е будет колебаться в пределах от 960 мб (глубокий циклон) до 1050 мб (высокий антициклон). Б первом случае р, = — 53; ао втором р! — — 37. В обоих случаях )рг!!Гр 0,01. На высоте в 5 «я! р будет иметь порядок 500 мб, величины же р, будут, как правило, колебаться в пределах от 460 до 540 .яб и т. д.
Имея это в виду, преобразуем 1др Г ! дру, выражение — — (или р дз )," р дЛ!' — — = — — — — = ЙТ ' = 11Т вЂ” ~1п р+1п(1+=11 )° 1 др КТ др д1п1р+Р,) д Г - ! Р! ! Р дз Р дз дз Так как, далее, р не зависит от О„ разлагая 1п (! -+ — ! в Ряд Р! Л Р !п(1+ = 1== — — !=) + ... и ограничиваясь первым членом, РЛ Р! 1!рЛЯ р 7' р 2 'Л, ) мы получим: — Р АСЯТ вЂ” Ф.
р дз дз ~ Аналогичным образом 1 дР д Р! р д), д! р С другой стороны, — — = ЙТ вЂ” !п р+ ЙТ вЂ” = 1 др т д р, р д» д» д» р ид! по !36.3) 136.4) = 14Т вЂ” -= — и— 1 др д Р, т †,, д» " д» р Т центРы дейстВия АтьгосееРы Уравнение же (36.1) примет на основании (36А) и (36.2) вид О= — 1г~ — 'Р'+8 — "'.
(36.7) д» р Уравнение неразрывности предыдущего параграфа (35.6) с большой точностью можно записать в виде 1 дро, 1 (доз»1п В дп) ) Р д» аоз!пВ ! дз дЛ / (36.8) Уравнения нашей задачи содержат два дифференцирования по». Значит, мы должны прибавить два краевых условия. Это будут: (36.9) (36.10) о,=О; при »=0 по, -» О. Умножим (36.6) на ьбп О, ородифференцируем полученное уравнение по О и вычтем продифференцированное по 1 уравнсние (36.5).
Получим, принимая во внимание (36.8): пз д!+ 2а соз 0 о1 дО+ 2м соз 0 а, дв а ми в дЛ Р (дТ, д /р,') дТ, д /р~ !1 С+2асо»В дро, аяпз(дЛ дО(р/ дВ дЛ!рД р д» Это соотношение заменит нам в дальнейшем одно из уравнений движсния. Обратимся теперь к уравнению неразрывности. В нашей задаче характерные гориаонтальные размеры явления будут иметь порядок 1Оз клс = 10з см. Горизонтальные скорости имеют, как всегда в метеорологии, порядок !О м/сек =!Оз см/сек; значит, характерные 1 доз 1 до~ 10 з 1 значения — — или — — будут: †, =- 10 — .
С другой стоа, дО а,мпз дЛ ' 10' сел' роны, вертикальные скорости в метеорологических процессах большого масштаба, как правило, ничтожно малы — их порядок не превышает величины 1О лг/сек, В то же врелгя характерными высотами будут 10 км = 1О' м (ятолщина» тропосферы). Тогда до,/д» Мы можем теперь написать уравнения движения предыдущего параграфа (35.2), (35.3) для нашей стационарной задачи в виде — о,((+ 2ы сов 8) — — —— )гТ д р~ 1 д о о (36.5) а, дВ р а, дв 2 о„(".+-2ысоз О) —— 1!Т д р, 1 д о и (36.6) а, з1п 0 дЛ р ав з!и О дЛ 2 550 волновые дзи.кения иделльнон жидкости 1гл.шгг дев Мп 0 до~ дз дЛ (36.12) Отсюда, конечно, не следует, что 0,==0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
