Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Волны во вращающейся атмосферной оболочке. Рассмотрим еще длинные волны, которые образуются в земной атмосфере. Последняя захватывается вращением Земли. Кроме того, в земной атмосфере существует, вообще говоря, всегда, начиная с нскотороп высоты, западно-восточное движение') (атмосфера как бы перегоня т землю в ее западно-восточном вращении). Возьмем сферическую систему координат, связанную с вращаюгцеися Землей. Обозначим через 0 дополнение до широты с: 0 =- †, — 0н и через 'х — долготу, отсчитываемую от некоторого меридиана к востоку, через г — расстояние от центра Земли.
Пусть оз — составляющая сиорости по мсрилиану (положительная, когда скорость направлена к югу), ог — составляющая скорости по кругу широты (положительная, когда скорость направлена к востоку). Запишем уравнения движения в форме Ламба — — о Х го! о = — — Чр — р ~ — + Ж') + 2о ~ ю. (35.1) де 1 lе е дг 8 'т 2 Здесь )г', как и прежде, — потенциал силы тяжести, включаюшип в себя ньютоновское притяжение и центробежную силу вращения Земли, а последний член справа представляет силу Кориолиса (глава пятая, э 9). Напишем составляющие этого )равнения по осям 0 и ) при чем в согласии с методом длинных волн пренебрежем членами с ') Существование холодных полюсов н теплого экватора приводит к тому, что, при почти постоянном давлении на уровне моря, на высотах получается низкое давление над полюсами, более высокое н умеренных зонах и еще более высокое в экваториальной зоне (см.
барометрическую формулу й 3 главы третьей). Наличие силы Кориолиса создает затем циклоническое вращение вокруг полюсов, т. е. западно-восточные ветры. 540 волновыв движения идгальнон жидкости !гл.ти составляюшнмн скорости по осн г. Получим: аоа 1 др 1 дУоо — — о„(, + 2ю сов 6) = — — — — — — ! — .+ В ), (35. 2) дт гр дО т' дВЛ 2 1 др 1 д(оо гра!вв дЛ гйпО дЛ Л 2 + !' — а — + оа (С+ 2ю сов О)— до1 где '=(о ),= — „,„~ 0 — — ) 1 / д Мп Оох доа'1 гйпВ Л ав аЛ~ (35.4) Уравнение неразрывности др 1 дргто„! / дроа а!и 0 дро> Х др, + р /аоаа! О+ дох1 О дг гмп0 Л д0 дх, / Умнохкнм обе части (35.3) на в!и 6, проднфференцнруем полученное выражение по 6 и вычтем нз него проднфференцнрованное по Л уравнение (35.2). Получим, принимая во внимание (35 4) н (35.б): д; оа дв+2и соа 0 ох д д! + г дО + га!о0 дЛ (г-~-2юсозв)= 1 у др др др др Л+ О+2ы соа О дро„ гтйпвр'Хдв дЛ дЛ дО) д~ Пусть Земля есть сфера раднуса аа.
Тогда прн г = аа мы должны положить о,=О. Кроме того, прн г — «со надо считать (ро,) — «О (атмосфера не теряет н не приобретает массу нзвне). Но тогда существует такая высота, для которой ро, достигает максимума'), т, е. где Р'=О. дг Постулнруем, что по крайней мере однц такой уровень существует для всей земной атмосферы. Назовем его «средннм уровнем«. Практнческн можно говорить в этом смысле об уровне 3 — 5 клт. ') другая возчожность отвечает случаю отсутствяя вертнкальных скоростей о, = О. можно значнтельно упростить применительно к атмосферным двнженням.
Именно, в таких двнженнях, в отличие от задач нелинейной акустика и газовой динамики, изменения плотности р со временем н прн перемещеннн по горизонтали малы по сравнению с самой плотностью; так как к тому же толщина действующей части атмосферы (велнчнна порядка 20 кж) мала по сравнению с раднусом Земли, мы можем вместо (35.5) написать с большой точностью: я 3;! волны во врлщлюшспся лтмосегнноп оволочке 64! Для среднего уровня (35.6.) запишется в виде дпа Мп 0 дог до д> так что существует функция тока ф(8, Х, г) такая, что 1 дф 1 дф гнпо дХ' и г д0' (35.8) (35.9) где д (.
дфт 1 дгф Ьф = — — ~ в1п 8 — ) +— ми о до 1 до) з!пао дУ" то мы получим окончательно: д дф 1 (дф д аф дф д даф1 дф дг + гамп 0 (до дх др до )+ 2ш д1 —— О. (35.13) (35. 12) ') Строго говоря, так как при г =а, и, = О, можно написать: Г "=,~~ — + (до пе д."+2св соя о пт д(+2м соя В т р дг ~де г д0 гмпо д1 ) "+2эсоз0 ' так как еще при г-ьсо рог-ь0, то получится: .~('- (д" пе д(+2 сов о + п, дО+2нсоз01 Рдг (В ' ОГ д~ )~.~.2 1 ао таким образом, уравнение (35.10) выполняется лишь в среднем по высоте.
1 (др др др дпЪ Далее, выражение — рт — — — — — ) точно равно нулю для р (до дх д1 до) баротропной жидкости. В атмосфере можно по уравнению Клапейрона 1 рдТ др дТ дрт (р = Р(ТГ) заменить этот двучлен на выражение — ~ — — — — — ), Т(,д1 дО дО дх). В задачах теории климата (в стационарных или квазнстационарных задачах) близ поверхчюсти Земли, где горизонтальные контрасты температур велики (они порождаются хотя бы наличием материков и океанов), приведенный здесь двучлен оказывается существенным. На среднем уровне, где горизонтальныс контрасты температур сглажилаются, этог двучлен несуществен в задаче о бегущих волнах. Поэтому мы окончательно можем написать уравнение (35.5) на среднем уровне: д( + пе д(О+2п сов о) + п„д(О+2а сов В) дг г д0 гзшо д1 Нам остается только заменить ч по формуле (35.4) и о,, о,— по формуле (35.9), и мы получим одно уравнение для определения функции ф.
Так как вследствие (35.4) и (35.9) (= —, Ьф. 1 гя волновые дв[окгн!1я иделл1*нОЙ жидкости [ГЛ. Ч[11 Представим теперь, в согласии с тем,что мы говорили в начале этого параграфа, что наше движение на среднем уровне состоит нз основного, стационарного, чисто зонального, западно-восточного потока, на который накладываются малые, незональные возмущения так, что о[=-и„'(О, ),, Г), О1 =-о, (0) + о (О, Л, Г), Р =Р(0)+Р' (В, Л, Г), (35 ! 4) где и,, п,с р' малы, а о, н р зависят лишь от О.
Примем, далее, что О„=ага!и В, где а — постоянная величинз. Тогда, если ф = ф (О) + ф' (О, ) г) то вследствие (35.9) и (35.15) получим: ф(0) = — аг'соз О и (35. 15) (35. ! 6) (35.17) 1 дф', 1 дал а гыпв дЛ ' х г дз (35.18) Вставляя (35.16) в уравнение (35.13), принимая в расчет (35.17) и отбрасывая члены, содержащие квадраты ф', получим для определения ф' уравнение д Дф' д Дф' + а — + 2 (а+ а1) = — О, дф' дт (35.19) 2(а+о>) т + л(и+1) причем (35.20) примет вид ф = ь)Ра'(соз 0) соз(и[Л+ а„ф (35,22) (35.23) Решение этого линейного уравнения можно искать в виде ф' = 1 (В) соз(тЛ-+а[), (35.20) где ги — целое число, а — неизвестная постоянная и г"(0) — неизвестная функция от О, Для такого решения Ьф' = ~ —.
„— (з[п Π— ) — —.,О 71 сов(тЛ+ат), так что (35,19) даст следующее уравнение для определения 7': — Ода(з[" 0 ло)+~ .О+ И~ ) 1У= (3 21) 5!ы получим уравнение для присоединенных полиномов Лежандра и вл[есте с тем единственную возможность для всюду ограниченного решения, если поло[ким второй член, стоящий в квадратной скобке, равным и(и+1), где и — целое число. Мы придем, таким образом, к соотношению з зз! ВОлны ВО ВРАщАющегтся АтмосФВРВОЙ ОБОлОчке 543 где Е> — произвольная постоянная.
Давление определится теперь квадратурой. Действительно, обращаясь к уравнению (ЗО.З), мы получим после его линеаризапии (оставляем лишь основную плотность р среднего уровня, которая считается постоянной): де~ а( р1 — ' о'(",+2а соз 0) = — —. — — ~о и'+— дг гз1ВО дЛ ! л л З ) где ! ~= —, Ьф. Используя (35.15), (35.17) и (35.18), получим: а'Ф аФ' д г . аФ р л едп 0 — 2(а+ т) сов Π— =- — — !а з1п О + — )!.
дт дв дЛ дЛ ! дв С другой стороны, по (35.23) дФ' ат дФ ат т дЛ ' Теперь мы можем выполнить квадратуры по ), и написать; р ар ет — + а а!и Π— = 2 (а + а) сов О Ф' — — ". В)п О дз т дз Используем еще (35.22) и (35.23) и придем к равенству Мп8 др р =2 ~";.»А [- Ю".Ь В вЂ”, — „—,"1 са ( «-'; ."8 (35. 24) Заметим еще, что, приняв (35.15), мы получим на основании (35.2), что р — +В'=С+па ~1 +- — ) г з!Вз О, 2ж ) где С вЂ” не зависящая от 0 и Л величина.
Величину п (угловая скорость вращения основного потока) назы- Вают индексом ииркуляцип. Как правило, она положительна, но коле- блется от сезона к сезону: зимой а=0,04ы, пегом и; 0,20ы. Фор- мула (35.22) имеет многочисленные чстеоролопшеские приложения. Она показывает, в частности, по волна, наложенная на основной поз ок, будет двигаться с определенной скоростью, завясящей от индекса ппркуляпип и от размеров волны (от чисел т и л, характеризующих размеры волны). Согласно (35.21) волны, отвечающие небольшим воз- мущениям (большие и), будут двигаться с запада на восток (е",' < О) как бы уносясь основным потоком; напротив, крупные волны будут ~впгаться против зонального потока.
Чы получили одночленное частное решение вила (35.20). Зло решение Гаурвпиа. Общее решение, которое позволяет следишь зв судьбой начального возмущения произвольного вида, наложенного 544 ВолнОВые дВижения иделльнои жидкости (гл. Вн! на наш основной поток (35.15), было получено Б. Н. Блиновой '). Чтобы получить общее решение, Блинова рассуждает следующим образом. Пусть начальное поле возмущения давления (р), е может быть представлено в виде ряда по шаровым функциям (на среднем уровне): (р'), е — ~~,У,(А„совий+ А„тейп тй) Рл (сов!), (35,25) л т т 1 С другой стороны, используя известные соотношения, представляющие совОР„и в(ВО „„" в виде линейных комбинаций Р„'"„! и Р',", совОР",,'(совО)= Рле!(сов О)+.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
