Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Величина о, определится из уравнения (36.11), в котором все члены имеют один и тот же порядок малости. Приближенное соотношение (36.12) позволяет вывести функцию тока ф из равенств дф аемп0 дЛ ' ае дэ ' (36.13) Чтобы довести решение задачи до конца, примем, как и в предъ|дущем параграфе, что движение состоит из основного, чисто зонального западно-восточного переноса и наложенных на него малых возмущений, так что на = не(0, ),, з), ог = ох(О, з) +о> (О, Л, з), о, = о,(0, Л, з), ) (36.14) р, = р,(0, а)+р'(О, Л, а), где о„', о,, о,', о' малы, а о, н р, зависят лишь от О и з и нам заданы. Нам заданы также и температуры Т, = Т (О, )+ Т (О, Л, ), (36.15) причем Т,(О, л) характеризует перепад температуры между экватором и полюсами (различный на разных высотах), а Т' описывает незональные влияния материков и океанов.
Примем, далее, что Фг = з (3) ае э!п О. ф=. Э(О, г)+ф'(О, ), г), о(0, г)=- — а(г) а'сов 0 (36.16) Тогда. если то по (36.16) (36.17) 1 дф' 1 дф' а,нпэ дЛ * ' а, дз (36.18) Величина "<я) растет с высотой н лостигаез экстремума в нижней стратосфере; отношение а/и всегда мало (а)п < 0,06), Заметим 102 е 1 имеет порядок — =10 . Мы видим, что в уравнении (36.8) 10' сел ' каждый из членов, содержащих горизонтальные скорости ое и и,, будет на порвдок выше третьего члена, содержащего вертикальную скорость. В метеорологических случаях считают поэтому, что для всех уровней атмосферы может быть написано приближенное соот- ношение ЦЕНТРЫ ДЕЛТСТВИЯ АТМОСФЕРЫ еще, что Т1, оы р, будут связаны между собой двумя уравнениями — (36.5), (36.7), записанными для основного движения.
Замеа ияя в коэффициентах этих уравнений Т на Т, полагая, что 1+ — ~1, 2Ф получим по (36.6): д р, 2ыаае сов 0 21п 0 = )ТТ вЂ” — ', дв р' Заменяя в (36.7) Т на Т, получим: (3 6. 19) д р, Т, да р гсТ' (36.20) Интегрируя (36.19) по О, получим: Р~ аиаа 2 — ' = с (а) + = — ' сйп2 0, р ЯТ (36.21) где с(г) — функпия одного л. Отсюда по (36.20) имеем: Т, (О, г) =С(г)+ М(з) 01п20, (36.22) где а 72 дс Фас - и а 2 С(е) = — —, М вЂ” 72 А дс ' , де Т 2Ф соэ 0 — = йТ вЂ” — + а ейп 0 — —. (36.23) дИ - д р' .
д дт' дЛ дЛ р дЛ дв Уравнение (36.11) нам даст, если принять в расчет (36.19) и (36.22): д Д(г' дф' а — — +2Ф вЂ” — = дЛ д). «а соа 0 дТ' р 2а саа 0 дра, = 2а' — — 2(7М вЂ” — — соз 0 + а, '— ', (36.24) Т дЛ дЛ р р дг Наконец, уравнение (36.7) можно записать в виде Р к тс да р 7772 Итак, нам надлежит найти три функции 17', р', о,' нз трех уравнений (86.23), (36.24), (36.25) при краевых условиях (36.9) н (36.10).
(36.25) Перег1дем теперь к составлению уравнений для возмущенного движения. Из уравнения (36.6) получим вследствие (36.14), (36.17), (36.18), если отбросить члены, содержащие квадраты малых величин и заменить а+ 01 на Ф, выражение 552 волновые движения идглльнои жидкости 1гл.ччгг Проинтегрируем уравнение (36.25) по л от 0 до г.
Получим: р'(О, Л, л) Р(В, Л) Л / Т'(О, Л, е) р() р(0) + г ) Т'() (36,26) или по (36.26) 1 о (36.28) где Р(0, Л) Т'(О, Л, л) т= соз зр(0) Т'(л) соз 0 (36.29) Далее, так как М/Т((1 (Л4 — перепад температуры по горизонтали, Т вЂ” температура), то второй член справа в (36.24) может быть откинут по сравнению со вторым членом слева. Тогда по (36.9) г 1 д Д(' дф' о соз 0 дТ' ро 2ваа сов о,/ (, дЛ дЛ " о Т дЛ / / (а — — + 2в — — 2ваоа — р г(ю (36.30) Таким образом, условие (36.10) приведет нас к равенству (а ЬГ'+- 2в;") о дг = 2ва ~ а-.,То г(г, о (3(.31) где Р(0, ).) — неизвестное возмущение давления на уровне моряг Р(0, Л)= р'(О, )„О). Дальнейший ход решения, по Блиновой, заключается в следующем.
Интегрируя уравнение (36.23) по ), и используя (36.26), выразим ф' через Р и Т', уравнение (36.24) при условии (36.9) позволит путем квадратуры опрелелить о,' через ф', р', Т', т. е. так как )' уже найдено через Р и Т', определить о,' через Р и Т'. Нам остается написать замыкающее условие (36,10), и мы получим связь между Р и проинтегрированными по я от 0 до сю комбинациями из Т'. Эта связь будет иметь вид дифференциального уравнения в частных производных по 0 и Л; последнее должно быть решено на сфере при одном лишь условии ограниченности решения. Определив Р, найдем и все остальные функции.
Остановимся иа приближенном решении. В уравнении (36.23) второй член справа будет мал по сравнению с членом, стоящим налево (из-за малости а/2в), Поэтому можно (36.23) заменить приближенным равенством РТ (36.27) 2а соз 0 р ДЛИННЫЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ в зг! где т,=созО т'(В, Л, г) (36,32) Та (г) Заменяя ф' по (36.28), получим окончательно для определения у уравнение а! ЬР+ 2алр = Р(О, А), (36.33) где а, = ~ аТ р г(г: ( Т р с(г, а а аа 1 л л г! ~4л (О )= д / а / Ьттг1г+2ы / ттг(г — -, Трав: / Та с(г. а (36. 34) Если Р разлагается в ряд по шаровым функциям: Р =.)~ ~~',(Г„'соя тЛ-)- Р„™ сйп тЛ) Р~ (соз О) л л~ (Р,',", Г, — известные постоянные), то Р найдется по (36.33) в виде ряда ,р — "г', ~ (рм соз тЛ+ роля)п тЛ) Р"'(соз О), л л~ причем алл л' л л а Рл 2а — п(п+ !) а~ 9л = 2н — п (п+!) а~ ' В выражении для Р (36.34) член, содержащий ти описывает эффект пересечения изобар и изотерм, проведенных в горизонтальных плоскостях; член с та появляется за счет пересечения изобар и изотерм, проведенных в плоскостях вертикальных.
ф 37. Длинные волны конечной амплитуды. Волны на келкой воде. Разрушение плотины. При выводе в О 27 основных уравнений для длинных волн мы сделали три допущения: допущение о возможности пренебречь вертикальными ускорениями, допущение о возможности пренебречь вертикальными силами, кроме силы тяжести, и допущение о малости амплитуд колебаний частиц жидкости. В этом параграфе мы снимем третье допущение и рассмотрим длинные волны конечной амплитуды. Примерами задач, сюда относящимися, будут разрушение плотины, разрушение волны, обтекание берега или препятствия в случае мелкой воды и т.
п. В этих задачах допущение о малости амплитуд будет приводить к неточности, в то время как остальные допущения теории длинных волн оправданы. В случае плоских движений несжимаемой жидкости (6 27) мы оно ~ь имеем здесь уравнение (27.3). Однако мы теперь не будем 36 за, 554 волновые движения идеальной жидкости (гл, чш ааменять г(о„ф( на до„/д(, а напишем вместо (27.4) двх дэх д( — + о — = — е — '-+Х. дх "дх дх (37.1) При получении из уравнения (27.7) уравнения (27.8) мы пренебрегали нелинейными членами.
Теперь мы этого делать не будем и возьмем второе основное уравнение для длинных волн в виде дг д Н7г + «) х)' дс д (37.2) Для пространственных движений, когда имеются дзе скорости, ог, и две координаты х, у имеем по аналогии: дел дел — '+ о — '+о —" = — е — +Х, дГ "дх Уду дх дог двг деу — ~+ о — +о — у= — л — + у", дГ х дХ У ду ду ((д+()о )+ ((д-)-()о )=О. (37.5) д. "д д (37.
4) Если Ь = сопя( (дно горизонтально) н Х = )' = О, то уравнения (37.3)— (37.5) совпадаюз с уравнением плоской нестационарной задачи о дви- жении сжимаемой жидкости, обладающей специальным видом зависи- мости плотности от давления: в= р(,в), где чу(р) = ау Г2 У рением одного характерного примера приложения уравнений (37.3) — (37.5). В качестве этого примера рассмотрим задачу о разрушении плотины. О Рис.
184 Пусть в начальный момент вертикальная перегородка удерживает в равновесии прилегающие к ней слева и справа покоящиеся слои воды (рис. 184) толщины (ч и (ч соответственно; пусть для конкретности чг ) ча, Перегородка внезапно убирается. Требуется найти движение. (политропный процесс с показателем политропы а=2. См, гл, П, ф 11).
Движения сжимаемой жидкости рассматриваются подробно во второй части этого курса, в главе по газовой динамике. Методы, излагаемые в главе по газовой динамике, могут быть перенесены на рассмотрение соответствующих задач о длинных волнах на поверхности воды, Мы не будем сейчас останавливаться на общих ревеняях, а ограничимся рассмот- ДЛИННЫЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ $ зп 555 В качестве дифференциальных уравнений задачи будут служить уравнения ди ди дс — + и — = — е' —, дг дх дх * (37.6) д".
дг, и — '-+- — =о д( дх (37. 7) (о =и), из которых нам надлежит определить лве функции: и и С (скорость и высота свободной поверхности соответственно). Движение наше, начавшееся с разрыва в искомой функции»., будет и дальше сопровождаться наличием разрыва. Нзм предстоит сначала вывести условия на разрыве, которым (во время движения) должны удовлетворять искомые функции. Чтобы вывести эти условия, обратимся к законам сохранения количества движения и массы. х«, х=д х»«г Пусть мы имеем движение, Рнс. !85. происходящее при наличии разрыва (рнс. 185).
Рассмотрим вертикальную плоскость, состоящую из жидких частиц, которая находится слева от поверхности разрыва; пусть закон ее движения х=х((г). Рассмотрим еще плоскость, лежащую справа от поверхности разрыва; пусть ее закон движения х= хе(г), Закон движения поверхности разрыва пусть будет х = с(1). Рассмотрим массу воды, заключенную между двумя вертикальными плоскостями, движущимися вместе с водой: х = х((1), х = — х,(Г) (хз ~ х,). Количество движения этого жидкого объема будет х,(о р(. а'х, к,(11 где р — постоянная плотность жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
