Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 87
Текст из файла (страница 87)
На объем этот действуют силы давления и С» ((г)к=х ~ (Р)к х (37.8) где ч» и чз — высоты свободной поверхности слева и справа от разрыва соотзе ственно. При этом в согласии с формулой (27.2) имеем (37.9) Р=а (~ — «) 36" 556 волновыв движвния идеальном жидкости 1гл. ()г(( Прнразняем приращение количества движения импульсу сил; х,ш с, и — рчи ах = / (р) „(Гз — / (7))„„с)з (37.! 0) «го или, по (37.9), х,(о — рч и (Гх = — (ч) — ~).
лр 2 2 2 (37.11) х,п) По закону сохранения массы ми) — / р(. Гх=0. к,(о В левые '(асти уравнений (37.11), (37.12) входят интегралы вида нп) 7= 1 а (х, Г)ах, х,(л (37. 12) а+ — а = (а). Мы можем написать ((о н(о 7 = ) а(х, Г)((х+ ~ а(х, Г) а(х, цл к,(о так что Н ( да А ((х, — = / — (Гх+ — а — — 'а(х (Г), Г)+ иг ./ дг ш иг я, их, ие + — а(х (Г) Г) — — а ж з ' и( (37.13) Заметим при этом, что — = а (хп Г); — „= и (хю Г) их, . иха и( ,наши плоскости х=хи х= ха — жилкие плоскости). Будем теперь рассматривать случай.
когда толщина нашего жидкого объема стре- тле а — функция, претерпевающая разрыв в пределах интервала интегрированля в точке х=((Г). Обозначим значения а, получающиеся на плоскости х=((Г), если приближаться к этой плоскости, оставаясь слева, через а; значение а, получающеесг сели приближаться к плоскости х=-( справа, обозначим через а+. Разность а+ — а назовем «разрывом а» и будем обозначать так: 5 371 длинныв волны конвчноп лмплиттды мится к нулю, но разрыв остается внутри (так что хт — ь8, х,-+с) Тогда интеграл в правой части (37.13) устремится к нулю и мь получим, очевидно, и'У ( Вт' 1 (' вс х-эк ~г тлг l Мы получим таким образом два условия на скачке. Первое — следст вие (37.10): и (И вЂ” и 1 — Г+ и (УЬг — и+) = — [(ч ) — (~~)т); (37.14 второе — следствие (37.12): (М вЂ” и ) — (,ч (М вЂ” и'") =О. Л В В С и=(У( — ), ".=Е( — ).
лс Здесь дг= — — — скорость перемещения поверхности разрыва. ~й Вернемся теперь к кашен задаче о разрушении плотины. Будеь рассматривать в воде четыре различные области (рис. 186). Прежд~ всего это области У и М (крайняя слева и крайняя справа), где вод; находится в состоянии покоя и уровни имеют д начал ные аначення (в области У) и ~, (в области У)У). Область ! сопрягается с областью У! У С, вдоль плоскости АА. дг ! В области П жидкость движется и это движение сопрягается непрерывным Рис.
188. образом с покоем области У. Поло>кение плоскости АА и движение в области П могут быть для любог< момента времени определены (см. ниже), Далее, область ! сопрягается по плоскости ВВ с областью ПУ. Скорости и высотг поверхности переходят опять непрерывно от значений в области ! к значениям в области УП, после чего (в области УП) и и '" сохра няют постоянные аначения. Эти последние значения сопрягаются покоем в области У): вдоль поверхности СС, причем здесь и и терпят скачок. Покажем теперь, как найти скорости движения поверхности Ае и поверхности разрыва СС, а также движение жидкости в обла стях П! и П.
В области П имеем автомодельное решение системы (37.6) — (37.7 (мы помешаем начало координат оси х в точке, у которой в началь ный момент располагалась плотина). Ищем решение в виде 558 волновыв движения иделльноп жидкости 1гл. чи< Тогда для (/ и Е получаем систему урзвнений <т(/ лХ ((/ — х) — + А' — „= о, с<Х «Х х где Х= —. Решение этой системы получается в виде (/ =- — (с+ х); Е = — (2с — х)г, 2 1 3 9 ° (37.16) 2 1~ а" + и' =- 2 1~ д", (37,18) Далее, сопряжение движений в областях П/ и /)/ происходит вдоль плоскости разрыва СС. В области Ю всюду и=О, (=(о.
Принимая в формулах (37.14), (37.15) и" = — О, ч'< =чг, мы должны записать два условия сопри<кения движений в /П и /(г: (~и (М и ) Х (ч чг) 2 (37. 19) г~(<У и) чМ 0 (37.20) При этом наряду с двумя неизвестнызи< и', ч' появляется еще третья неизвестная величина: И вЂ” скорость перемешения плоскости СС. Три уравнения (37.18) — (37.20) послужат для определения и', М.
Удобно преобразовать (37.!9), заменяя в нем (' и' по (37.20), к виду ( и ) э (' + 'г)' Введем скорости с'= !/ь'', с,= Р 8"~<, сг= !< 8тг (37.21) (37.22) где с — произвольная постоянная. Там, где сопря~аются области / и П, мы должны иметь (l = О, т. е. Х = — с нли х = — с/; таким обрааом, с есть скорость перемешения плоскости АА.
Второе соотношение (37.16) позволит найти величину скорости с, ибо должно быть ч< = — (2с +-с), откуда г 9а с = — 1/д~, . Это скорость распространения волны на поверхности при глубине ч< (ср., например, (28.3)). Итак, движение а области П плоскости определено: хта и= — ! — + 7'д <! 5= — ~21/~,— — ! . (37,17) Область /П характеризуешься некоторой постоянной скоростью и' и постоянным урознег с'. Эти две неизвестные величины должны быть связаны в силу (37.!7) соотношением длинные ВОлны кОнечнОЙ лмплиткды и безразмерные величины 1 и=а:си Ж = — Л>>си с=с:си а также отношение Из уравнений (37.20) и (37.21) легко получим выра>кения для и, с через М: (37.23) и=И вЂ” = 1+ 1.+— 1 с= 2М 1+ 1+ —— (37.24) Уравнение (37.18) в безразмерных величинах при>>ет вид (37.
25) 2с -1- и = — 2; таким образом, мы можем, зная 1> (т. е. отношение ".>!".,), определить М из уравнения 1 4М 1+ 1+ — + М вЂ” = — 1->- 1 (37. 26) Иа рис. 187 представлены значения М))> дГ,, и'>>!' дГ, ("' — че))ч>, с>1)>дГ, в функциях от отношения Цгч первоначальных высот воды. Заметим, что подъем воды прн ее движении после разрушения плотины имеет максимум (около точки гч 0,18(е) и этот максимум составляет примерно одну треть от первоначальной высоты воды слева от плотины (см. рис. !87).
В предельном случае движения воды по сухому руслу, когда че = О, мы получим 6' = О, Д = и' = 2 Удч>. Результат этот получается непосредственно из анализа формул (37.20), (37.21). Этот случай схематически кзображен на рис. 188. Представляет еще интерес исследование, в фуккциях от времени, движения в том месте, где первоначально находилась плотина. Здесь может оказаться два случая: случай, изображенный на рис. 166, когда плоскость ВВ лежит справа от начального поло>келия О плотины, и случай, когда ВВ находится слева от О, Б первом случае точка О находится в области 77 н движение в этой точке целиком 560 волновыв двнжвния идеальном жидкости 1гл.шн определяется формулами (37.17), в которых надо только положить х — =О.
Таким образом, в этом случае 2 ° г — 4 а 3 ~>' е 9 т. е. скорость и высота не зависят от времени и высоты ", а цликом определяются нерва«н Во втором случае точка О попадает в область /// и здесь будет ио=п "о=«. Здесь скорость и высота вновь не зависят от времени, но теперь их значения зависят уже и от «, и от «т, ибо отношения иЯ //«> и «'/«> зависят от т/«> Нельзя ли заранее указать, какой из двух случаев будет реализоваться? Уравнение плоскости ВВ по второму уравнению из (37,7) будет х =1(3 >>а'«' — 2 )Я",,), (37. 27) поэтому если «')-й ",, то плоскость ВВ окажется Сг справа от О (первый слубй 7у 4 чай), если «' ( — - «>, плоскость ВВ ока>кетов слева 4Х Рис.
187. (второй случай). Если «'= — ", то пашко.п ВВ будет всегда прохо4 2 дить через О. Но тогда с=2/3 и по (37.25) и=2 — — =:=с. 3 3 Это так называемая критическая скорость. Она отвечает совершенно определенным значениям Ь=(>" и /У= 7>>'> последние могут быть определены из уравнений (37.23), (37.24), левые части которых заменены на 2/3. Численный расчет дает для критических отношений 1~/«> (т.
е. для /Г'а) выражение «/«> 0,1384. На рис. 187 эта точка отвечает пересечению линий и'/'К'л«> и с'/'1> 8«> (с общей ордина- $ за1 ОБтекАние пРепЯтстВиЯ тЯжелОЙ сжимАемОЙ жидкостью 561 х=««Щ до, дох 1 др о — "+о дх " д» р дх ' до, до, 1 др и — '+о '= — — — — К, "дх * д» р д» дрох дро, + =0, дх д» дт дТ х — 1 Т! др дрт о — +о — — — ~о — +о — ! = — О.
"дх «д» ««р т дх д»/ (38.1) (38.2) (38.3) (38.4) Сделаем упрощения конвекцни, аналогично тому как мы поступали в 3 36. Будем считать, что р=р(»)+р'(х, »), Т=Т(г)+Т'(х, »), р=р(»)+р'(х, »), где 1р 1«р 1Т 1«т, 1р'!«р, (38.5) р, р, Т вЂ” положительные «стандартные» значения р, ственно — известные функции от высоты»; р', Т', ния, вызванные препятствием.
При этом Т, р соответр' — возиуше- 1 «тр 0= — = — — я, и» р=крт. (38.6) (38.?) — 2 той, Равной 2/3). Если Щ < Ь'з, то Р«Г' < — Р (ч, х по фоРИУле (3?.2?) будет отрицательно и точка О окажется в области ?П. Если чя'"., > Ь*', точка О окажется в области П. Таким образои, до тех поР, пока (е/Гч бУдет меньше, чем Ь"т, мы будем иметь в точке разрушения плотины меняюшееся значение и'/р д~,(с увеличением ч,/Рч от нуля до 0,4384 и«/)« й(ч увеличивается от нуля до 2/3), но как только мы иерей- рнс 188 дем через значение ч ч, = Ь"з и будем увеличивать ",/т,т, далее мы всегда будем иметь и'/)«' д~, = = 2/3. 0 88.
Обтекание препятствия тяжелой сжимаемой жидкостью. Длинные волны. Бора. Вернемся к задаче обтекания, рассмотренной в 3 20. Не будем на этот раз линеаризировать уравнения, по упростим нх так, как это делается в теории конвекции. Отправными уравнениями будут, как и в й 20, 562 волиовыи движкния идглльнои жидкости [гл. щп Упрощения, о которых мы упомянули, позволяют написать (ср.
стр. 548) 1 др дФ 1 до дФ г д = — — — Т'. р дх дх ' р дг дг Т, где Т' — средняя температура атмосферы Ф=ЙТ,=. Р Гтналогпчно этому, 1»тр д р' =- — + — =; р»1» дг р 1»1Т д Т' — — + — = »1г дг Т 1 др д р' р дх дх р 1 др р дг 1 дТ д Т' тдх дх т' 1 дТ Т дг д т' д т' о, »Г т о» - +о» =+ дх Т 'дг Т Т, ~о —. =+ о, ~ — =-+ = — )~ = О. (38,11) — 1Г д р' Гд р' 1 Нрз к дх 7» дг р р дг Заметиьк что по (38.6) и (38,7) = — = — =ж — —, 1»Г» а' а р дг ЙТ ЙТ, др ! др 1 дт 77 т ат — — = = — — — —: — — — + —, где 7= — —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
