Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Стандарт- р дг р»гг У дг ЙТ, Т, дг ное изменение температуры с высотой составляет 5 на кж; поэтому с большой точностью можно считать = — — — =сопя! 1 др л р д Йт, (,— — =) о 9,8 1 -4 1 — — 1,4 . 10 — — ) . Члены, содержащие р'Гр, ЙТ, 287 250 ж в уравнении неразрывности пренебрежимо малы по сравнению с остальными (см.
38.5), и мы можем написать (38.10) в виде до„до, г — "-à — '- — — о =О. дх дг ЙТ, Теперь уравнения (38,1) — (38.4) запишутся приближенно в виде (если учесть неравенства (38.5) и заменить еще Т, там где т входит в коэффиниенты, через Т,): до» до» дФ о — "-+о — "= — —, дх» дг дх' (38.8) о — '+о * = — — +- — Т', до» . до, дФ дх - дг дг Т, (38.9) —" + — '+ о,— =+ о, ~ — =+ = — ) = О, (38.10) до» до» д р' 1 д р' 1 дх дг ' дх р '~дг р р дг) а ап овтехлнне пвепятствня тяжелом сжнмааыоп жидкостью 563 В атмосферных условиях третий член в атом уравнении составляет незначительную долю от первых двух. 11ы окончательно остановимся на следующей форме уравнения неразрывности: — "+ — *=О. де„ дв дх дх (38.! 2) Лналогичиые упрощения прил~енины к уравнению притока тепла (38.11) (пренебрежение членами, содержащими р'/,в и т.
п.). Примем окончательно вместо (38.11): дТ' д Т' ох дх +та дх +(та т)та=о, (38.13) Теперь уравнение (38.13) может быть записано в виде дф дТ' дф Г д — — ~' — Т+т — т)=О дг дх дх г,дг а или (при постоянном т — т) д д (Т'+(та т) я) д д (Т'+(та т) а) = О, и мы получаем первый интеграл: Т'+ (та — т) а = Л (ф), где У,(ф) — произвольная функция от ф. Исключим теперь из уравнений (38.8) и (38.9) функцию Ф, для чего продифференцнруем (38.8) по г, (38.9) — по х и вычтем друг из друга. Получим: дф даф дф даф л дТ' дх дг дх дг Т, дх д'ф д'ф где Ьф= —,+ —,.
Используя интеграл (38.15) н замечая, что дха два ' дТ' ду1 дф — = — —, получим: дх дф дх ' дф д аф дф / д аф л ду|т ') =о. да дх дх (г д» Т, дф) ь где т, = — — †' , а т считается постоянной. Я ' Задача сводится к определению из уравнений (38.8), (38.9), (38.12), (38.13) четырех функций: о„, о„Ф, Т'. Эти четыре уравнения обладают тремя интегралами.
По (38.12) можем ввести функцию тока ф из равенств 564 ВОлнОВые ДВижения иделльноп жидкОсти (гл. т!!1 Это уравнение, как легко видеть, эквивалентно следующему: Отсюда мы заключаем, что 5'т'= у, з,у~,' +Уз(ф) (38. 16) где уз — новая произвольная функция от ф. Функции г! н Уз могут быть определены из условий при х = — ОО. Так, например, если пря х = — ОО, мы имеем поток постоянной скорости и = (2' = сопз(, Т' = О, то функция тока прн х = — со (назовем ее Чг) будет связана с У по (38.14) соотношением Чг =-(,!,. С другой стороны, по (38.15) имеем (7, — 7)з =-уг(Чг), таким образом, уг(Чг) = †' — Чг. Это соотношение дол2кно быть справедливо та 7 для всех ф.
Итак, у (ф) та та Далее, по (38.16) имеем — — т ЫЧ") =12(Ч1)+ (38.1?) -!е— --') а Чг, поэтому уз(ф) = — (7 Т (38. 18) ! Таким образом, для случая (о„), =- У, (Т'), =О мы должны будем решать уравнение 5!+.8(та — 7) (ф (у,) О т,и (38. 19) После того как ф уже известно, Т' определится из (38.15) останется найти только Ф. Чтобы найти Ф, умножнм (38.8) на О„ (38.9) на о, и сложим.
Получим без труда, используя (38.14), что ох дх ~ 2 +Ф+ у (7а 7) 2 а!!(г) + + ~а 5 ~ 2 + + т (7а 7) 2 — ЕЛ (Ф) ! Отсюда получается третий интеграл: +Ф+ у (7.— 7) 2 Т ЕБЙ)=Уз(Ф), (38.2О) ! где уз — третья произвольная функция от ф. Вид функции Уз определятся нз условия (Ф) =О. В рассмотренном выше примере Уз(г) 2 2у (7а 7)5'2 ' и д (38. 21) ! $ ЗЗ1 ОБТЕКАНИЕ ПРЕПЯТСТВИЯ ТЯЖЕЛОЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТЬЮ 565 Скажем теперь о краевых условиях задачи. Пусть уравнени профиля обтекаемо~о препятствия имеет вид з = '.
(Х). (38.22) Тогда одним из краевых условий будет О, = Π— „при г = С(х), (~~ х дх или, по (38.14), ф(х, я)=0 при я=С(х) (ф определено с точностью до постоянной слзгаемой, и мы можем считать, что ф( — сО, О)= О). В качестве краевых условий сверху можем принять наличие горизонтальной стенки г = — Н, и тогда будет О,=О прн я=.Н или (38.23) ф (х, Н) = сопз1. д'ф д д.т, л +12(ф)' для Т1 Ыф Вместо (38.20) мы получим теперь я х к — 2(,— дх) +Ф+ —,.
(Т.— т) 2 — —,Я,Г"1(ф)=г'з(ф) (3825) ! 3 (38. 24) Уравнение (38.15) перепишем без изменения Т' = У1(ф) (( — Т) Я (38. 26) В качестве конкретного примера рассмотрим задачу о переваливании холодной воздушной массы через хребет'). Пусть уравнение сечения хребта булет д = С(х).
') А!ы излагаем здесь работу Фр а н к ля Ф, И. и Гутмана Л, Н., Термогилролинамическая модель боры, дАН СССР 133 (1960), ге 3. Так, в разобранном нами частном случае постоянной скорости (1 на бесконечности, будем иметь ф(х, Н).= (УН. Другим типовым условием будет условие наличии сверху свободной поверхности.
Форма этой поверхности определяется вместе с решением всей задачи. Для записи этого условия следует привлечь (38.20). Обратимся теперь к подробному рассмотрению случая ллинных волн. Для длинных волн в уравнении (38.9) мы отбрасываем левую часть. Это означает в конечном счете, что вместо уравнения (38.!6) мы получим теперь 566 волновыв двнжения идеальном жидкости !гл.щи Будем считать, что выше холодного потока располагается воздух, который мы можем принять за неподвижный (рис. 189). Пусть уравнение поверхности, отделяющей теплую ь осу от холодной, будет л = т1(х).
Вид функции т) заранее не язвестен. При х = — со примем о,= сопя(= с7, Т'= О, т)=Н. Тогда Л н 7; из уравненкя (38.24) удовлетворяют соотношениям (38.! 7), (38.! 8), так что (38.24) запишется в виде + (71 т) (ф (7') = 0 (38.27) Уравнение это мы должны решать при краевых условиях ф=0 при в=с(х), ф= ()Н прн а = т)(х), Рис. !89. Рассматриваем (38.27) как обыкновенное дифференциальное уравнение (х входит параметрически); получим решеняе, удовлетворяющее поставленным краевым условиям: ф= (7)л+ 1 ((Н вЂ” ) з!и а (з — ~) — ч ьйп е(л — а)) ~, (38,28) мя ч (Ч вЂ” с) где еа= ('ч ТД~ В этой формуле не известно еще т) (х).
Чтобы найти л(х), воспользуемся краевым условием для давления (38.25). Потребуем непрерывности давленкя при переходе через поверхность л = т!(х). Вспомним, что давление р в движущемся воздухе имеет вид (38.29) )т= р(в)+)т' причем (38.30) Так как эта среда Обозначим давление в верхней среде через Р,(г) неподвижна, то ~~Рв а Рв (38 31) где Т, — температура верхней среды.
Давление р на уровне Н 5 ЗВ1 ОБтекАние пРепятстВия тяжелОН сжимАемои жидкостью 567 будет р(Н). Мы можем тогда, интегрируя (38.30), написать р(т))=р(Н)е и (38. 32) На основании (38.31), благоларя непрерывности давления имеем р,(т))= р (Н) е (38.33) Потребуем теперь равенства давлений на поверхности г = 4(х): р(т))+рг(х Т1) р(Н)е и откуда по (38,32) — ~ (г — г)ее — И гр'~ — 1. Р г=ч ПУсть теперь Т=ТВ 7г, Т,=Т,(Н) — 7,(е — Н), Выполняя интегрирование, получим: и) ляг. 1(ч — н) - '"'т д т,(н) — т (и) а т(н) т, (н) (мы ограничиваемся первыми степенями раеложения в ряд). Итак, мы должны положить (Ф) = — ь '1 '( ) ( )1 (Н вЂ” ч), (38,34) я т(Н) т (Н) Запишем теперь уравнение (38.25), заменив в нем /г по (38.17), уа — по (38,21). Получим: 1 геФ1а я е т т о а фй -~ — ~+~+- — (7 — 7) — — — ' х1= — — (7 -Т) — * 2 (де) т, е 2 Т, (т 2 2Т, " 0~ * Это соотношение должно быть справедливо повсюду.
Полагая в нем е=т)(х) (или, что то же самое, ф= УН) и заменяя Ф по (38.34), 568 волновыв двнжиння ндвальнон жидкости !гл чьн получим уравнение, из которого мы сможем определить тр — — 2 ' (Н вЂ” и)+а'и'(Н вЂ” )з= и' à — )). „ lдф 'з1 йт~ [Тв(Н) — Т(Н)] '(а)), „, т, (н) т (н) откуда О.,= бр с — ') = У ~ 1 + 2 та (Н вЂ” т)) — аз (Н вЂ” т~)з.
г=~ Здесь введен безразмерный парзметр т: Уд т, [ т<н)1 / т, и т(н) [ т,<н)) т т.— т Заметим теперь, что по (38.28) (<~~) =и'11.+ мва(Ч () ['"+(Н вЂ” "1)соз (т) — ")[1, [у.[ [ 2 (Н,1) аз (Н,)а 11 ма а <ч — с) — (Н вЂ” т~) соз а(~) — ч). (38.35) Для анализа его удобно ввести безразмерные величины т~а = т), На = Р; прн этом Р= ~~— — к(та 0 т, и' (38.36) Известная величина ч н неизвестная величина т[ булут связаны уравнением, содержащим два безразмерных (заданных) параметра т и Р: Г 11 1+.2 (Р— е — (а — е — 110 Я вЂ” Ь вЂ” (Π— а с,— Г).
Параметр т описывает скачок, претерпеваемый температурой при переходе от холодной массы к теплой, параметр Р характеризует «толшнну» (Н) холодной массы. Закрепляя т и Р, мы можем представить (38.37) в виде кривой на плоскости ("„, т)); по заданному значению 5 можем затем получить т) н решить задачу. На рис. 190 ') изображено семейство кривых (38.37) при т = 3,2 для пяти различных значений Р (Р = 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0). Здесь по оси ординат отложено Р— т[, по оси абсцисс 5. Все кривые проходят через начало ') Рисунок взят из упомянутой выше работы Фраикля и Гутмана. и мы придем к следующему трансцендентному уравнению для определения тр $ аз1 ОБтеклиие пявпятствия тяжелоп сжимлгмОп жидкостью 569 2 /Раа/свт РЛН г а?ч/азм а3 / /5 /аг 1ч ча / /Х аа ЛХ Рис. 190. Рис. 191.
будет также симметричным. Этот случай прелставлен иа рис. 191. Здесь в качестве постоянных взяты Н =- 3 кж, ?т(Н) = 270', Т„(Н) = 280", (/ = 10 и!слк, —. = — ла!сек гРад, =3 1О град/м. Прн этом 7) — 3, т 3,2. Второй режим может возникнуть при тех же значениях 7) и т, когда обтекаемый хребет будет иметь максимальную высоту, в точности РавнУю ч,а(т, О) В этом слУчае, пеРемещаЯсь вдоль хРебта от à —.— 0 до ~,„аа, мы будем подниматься вдоль кривой (38.3?), пока не дойдем до точки ч = "-.,„, после же переваливания через хребет мы можем использовать два решения.
Одно из них будет отвечать возвращению по восходящей ветви кривой до точки " = 0; это решение по своему характеру одинаково с решением, отвечающим первому режиму. Другое решение отвечает спуску по нисходящей ветви кривой (38.3?); здесь симметрия (даже для симметричного профиля) нарушается: при спуске мы получим здесь возрастание скорости, т. е. 37 заа ияо координат (прн х= — ОО, ч=О, а)= — Н прн любом В). Заме|ательно то, что каждая из этих кривых имеет максимум ".=, „(т, В). Отсюда возможность существования трех принципиально различных режимсв обтекания, Рассмотрим движение с конкретными значениями; и 7/: Если высота хребта нигде пе постигает Г.,„, отвечающего нашим значениям -.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
