Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 82
Текст из файла (страница 82)
231 12з (32.4) гаа' (3 соз' Ь вЂ” 1) + С 2МРз (32.5) :!1ы заменилн при этом в (32.4) радиус Зез!лн г его средним значением а. Введезз для краткости обозначение Ьтаз 232 Ез! (32,5) тогда выражение для потенциала 1'2 примет внд )г = — ДН (соз Ь вЂ” — ), 2 2 32' (32.7) а уравнение (32.5) может быть написано в форме !2=22 со5 Ь вЂ” — +С. 3/ (32. 8) Остается определить постоянную С из того условия, что объем жидкости остался после деформации, произведенной возмущающим телом, неизменным; это условие выражзется, очевидно, равенством (32.9) распространенным по всей поверхности Земли (мы предполагаем для простоты всю Землю покрытой океаном).
Разобьем всю поверхность Земли на полосы, каждая из которых заключена между двумя малыми крутани, отвечающими двум соседним значениям Ь и 9+ 219. Эти круги являются, очевидно, пересечениями Земли с плоскостями, перпендикулярными к линии О!'.. Плошадь такая полосы равна, Обратим внимание на то, что приливообразуюшая сила пропорциональна массе возмущающего тела и обратно пропорциональна третьей степени расстояния до последнего, поэтому прнлнвообразующая сила Луны оказывается большей, чем прилнвообразуюшая сила Солнца. Применив теперь основное уравнение статической теории приливов 132,3), получим для высоты прилива следуюшее выражение: 530 ВОЛНОВЫЕ ДВНЖЕГ!ИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСГИ 1гл, киг очевидно, 2га з!и ба Ю = 2кая ейп б Н.
Поэтому равенство (32,9) приводится к такому; 2гавз(п бН(созв б — —.1г)б+ 4яа С =О, -3! откуда после элементарных вычислений имеем С = 0 н, такны образом, имеем окончательно, что Д = Н ~созт б — — ~ . 1А з)' (32. 10) 3 ЗЗ. Выводы статической теории приливов. Уравнение (32.10) показывает, чго свободная поверхность жидкости имеет форму сферонда вращения, осью которого является прямая линия, соединяющая центры Земли н Луны.
При этом в точке пересечения этой линии с поверхностью Земли (этим точкам отвечают значения б = 0 и б = — к) 2 высота прилива будет наибольшей н равна д= — Н, так как лля 3 этих точек созт 0 = 1; для этих точек Земли Луна находится в вещие или надире. Наибольший отлив будет, очевидно, в тех точках Земли, для которых соз б = О, т. е. в точках пересечения поверхности Земли с плоскостью. проходящей через центр Земли и перпенднкулярноя к линии О~, соединяющей центры Земли и Луны.
Для этих 1 точек Луна нзходится на горизонте и л= — — Н. При перемещении 3 Луны относительно Земли поверхность жидкого сферонда будет все время деформироваться, причем одно из двух мест наибольшего прилива будет все время смотреть на Луну. Высота приливов определяется величиной Н. Дадим ее численное значение.
Для Лупы имеем: т 1 а 1 — — — — а=6370 км, М 81' 1) 60,3 ' поэтому Н=54 см. Для Солнца имеем такие значения: — =-.333000, — = —, Н=25 см. В 23400 ' Мы видим, таким образом, что пряливообразующее действие Луны в два раза сильнее такого же действия Солнца.
рассмотрим теперь определенное место поверхности Земли. Формула (32.10) показывает. что высота прилива зависит от зенитного расстояния Луны. Последнее меняется периодически в течение лунных суток (равных 24 часам 50 минутам), правда не точно периодически, ибо в силу того, что вращение Луны около Земли происходит не в плоскости экватора Земли, зенитное расстоянве Луны будет изменяться периодически в течение лунно~о месяца (равного 29'!т суткам). Поэтому приливы, происходящие от Луны, тоже будут ВЫВОДЫ СТАТИЧЕСКОИ ТЕОРИИ ПРИЛИВОВ 331 Ъ 22| обладать сше месячной периодичностью. Чтобы ближе рассмотреть э1от вопрос, введем координаты Луны, а иъ1енно ее склонение 3 (рис. 182) и часовой угол а, отсчитываемый к западу от меридиана РС~, 1 роходяшего через рассматриваемое место Земли |,Ъ и через полюс Земли Р.
Тогда по известной формуле сфериче«кой тригонометрии будем иметь: соз2 0 = (з|п О юп 3+ соз О соз 3 соз а)2 = = а|па О з|пт 3+ 2 з|п «2 соз а з!и 3 соз 3 соз а + + созз 12 соз2 ь созт а = 1 д 2 = з|пт ~2 з|п2 3+ — з!п 2О з!п 2ь сов а+ + — (1 — з!В2 Р)(1 — з!В23)(1+ соя 2а). Рнс. 182. 1 2 Производя легкие преобразования, получим слелующие выражения для высоты приливов и прилнвообразующей силы: 1 Г (1 — 3 Ып' Ь) (1 — 3 з|п' Т) 2 1 3 + + яп 2ь з|п 21у сов а+ соз2 О созт ь соз 2а~; *ъгт = — д!1, (33.1) первую формулу можно представить в следующем виде; ~1+ 12+ ~3' (33.2) где — Н(1 — 3 ып23)(1 — 3 з!В2«2) б 1 — Н з|п 23 з|п 2р соз а, 2 — Н сова «ч соз2 8 соз 2а 1 2 ~2 'ъз = (33.3) н, следовательно, прилив в данном месте можно считать слагающимся нз трех частей.
Рассмотрим каждую из этих частей по отдельности. Прежде всего отметим, что !11 зависит только от широты места наблюдения а и от склонения Луны Ь н не зависит от часового угла Луны а (изменения величины Н, происходящие от изменения расстояния Луны от Земли В при движении Луны по ее орбите, ъъы рассматривать не будем).
При этом имеет значение только абсолютная величина 3, нбо в 61 входит только з|п23. Но 8 изменяется периодически, причем продолжительность периода равняется времени обрагцення Луны около Земли, т. е, лунному месяку; период же изменсн1и численного значения ь будет, очевидно, в два раза меньше. 532 Вол1юВВ1е дВижения иделльнои 1кидкости 1гл.
чи! Поэтому /11 представляет высоту полумесячного прилива. Если возмущающим телом является Солнце, то получаются приливы полугодового периода. Эти приливы длинного периода обращаются в нуль на широте р=35'!б', для которой з(а<у=11")ГЗ, и имеют наибольшее значение на полосе. Выражение для /1, содержит ьшожителем созя, но В изменяется па 360' в течение лунных суток, в то время как Ь за этот промежуток времени изменяется мало. Поэтому й представляет высоту суточного прилива.
Если 11!) 0 и Ь) 0 (т. е. рассматриваемое место Земли и Луна находятся в северном полушарии), то наибольшая высота суточного прилива будет при сов В = 1, т. е. при прохождении Лупы через меридиан рассматриваемого места Земли; наименьшая высота прилива будет при сова =- — 1, т. е. прп прохождении Луны через меридиан анпшода рассматриваемого места Земли. Если 3 < О, т. е. Луна находится в южном полушарии, то соотношения будут обратные, Суточный прилив имеет наибольшую величину на широте 1р=-45' и обращается в ну.чь на экваторе (у = 0) и на полюсе (1г = 90'). Наконец, 7гз представляет высоту прилива полусуточного периода, ибо 1!з содержит множителем сов 2В, периодом изменения которого является половина лунных суток.
Наибольшая высота полусуточного ирилава, обычно наиболее замеююго, будет при соз 2В = 1, т. е. при В = О' или В.= 180'.:-)тн значения угла В отвечают, очевидно, прохождению Луны через меридиан рассматриваемого места Земли Я над горизонтом или под ннм. Наименьшая высота полусуточного прилива будет при сов 2В = — 1, т.
е. пря а = 90' или а = 270". Явление полусуточного прялива интенсивнее всего протекает на экваторе (где !у = 0), а такгке в те дни, когда Луна проходит через экватор (Ъ = 0). На полюсе (э = 90') полусуточный прилив отсутствует. Аналогичные выводы можно сделать и для Солнца; получаются приливы суточные (с периодом в 24 часа) и полусуточные (с периодом в 12 часов). Все эти приливы будут налагаться друг на друга, так что в общем высота приливов й окажется очень сложной функцнея Очевидно, что при новолунии и полнолунии действия Солнца и Луны будут взаимно усиливаться, так что получатся приливы значительноп величины; наоборот, когда Луна будет находиться в первой или последней четверти, действие Солнца будет парализовать действие Луны и приливы будут незначительными.
Все эта выводы статическоп теории приливов подтверждаются наблюдениями только в самых общих чертах. Так например, высота приливов в среднем гораздо больше найденного нами выше значения в 0,5 л1. Наибольшие приливы наступают не в момент прохо'гкеенпя Лупи !ерез меридиан а на несколько часов поз!нее, и т. д.
ВЫВОДЫ СТАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПРИЛИВОВ 533 На самом деле приливы нужно рассматривать как явление динамическое, а именно — как вынужденные колебания масс океана, пронсходяшие под действием прнливообразующей силы. Как мы видели в э 31, величина вынужденных колебаний зависит от свойств свободных колебаний, происходящих в данном бассейне, поэтому величина н характер приливов долткны сильно зависеть от того, а каких условиях находится рассматриваемое место Земли; это и подтверждается опытом, показывающим, что на одних берегах океана приливы велики, на других — малы, причем в одних местах преобладают полусуточные приливы, в других — суточные и т. д.
Чтобы учесть влияние местных условий, Лаплас предложил пользоваться формулой более общей, нежели найденная нами выше формула (33.1). Л именно: каждый член этой формулы надо умножить па численный мнозкитель, причем значения этих численных множителей для каждой гавани надо подбирать на основании опытных данных; кроме того, в члены, зависящие от часового угла Луны, надо ввести сдвиг фазы, тоже определяемый на основании опытных данных. Таким образом, формула (33.1) заменится теперь на й =- Н (С, (1 — 3 ейп 3) + С з(п 23 соз (я — и,) + Сз соз'3 соь 2 (к — аз)1, (33.4) такая же формула получится для солнечных приливов. Имея кривую приливов, мы можем постараться представить ее формулой типа (33.4) (к которой прибавлены еще члены, происходящие от Солнца). Более улобным практически является, однако, так называемый гармонический анализ приливов, которым поэтому н пользуются при предсказании приливов.
Эгот способ состоит в дальнейшем упрощении вида членов формулы (33.4) за счет увеличения числа этих членов. Если угловую скорость врсщ пия Земли обозначить череа ы, среднюю угловую скорость вращешщ Луны около Земли через п, и угловую скорость вращения перигея Луны около Земли через р, то каждый член формулы (33.4) будет функцией от ыг, п,г н р(, не меняющейся при увеличении какого-либо иа этих чисел на 2п. Зависимость от рт получается в силу того, что Н аависнт от расстояния Луны от Земли ьт, а это расстояние, очевидно, является периодической функцией г с периодом 2к(п.
Поэтому каждый член рассматриваемой формулы может быть разложен в кратный ряд Фурье вида (а, (), Т вЂ” целые неотрицательные числа): ,~~ А, соя (аыг -+ А) сов (рп Г + В) соя (Т р1-+ С). Воспользовавшись дважды формулами тригонол1етрии, позволяющими заменить произведение двух косинусов суммой двух косинусов, 33 Оя ПО 534 волновые движения идеальной жидкости и'л, ш1! мы счожем привести формулу для д к следующему виду: /г = ~а А„вз сов (аы(+ ~Югг,т+ ()Ы+ Ь), гле я, () н у — целые (положительные, равные нулю илн отрицательные) числа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
