Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Примером таких движений являются так называемые сейшн в озерах, состоящие в периодических колебаниях уровня озера, распространяющихся на все озеро. В настоящем параграфе мы рассмотрим стоячие колебания жидкости глубины И, находящейся в цилиндрическом бассейне (в частности, при И = со получаем жидкость бесконечно большой глубины). Таким образом, направляя ось Ог вертикально вверх и берн начало координат на поверхности уровня в равновесном положении, мы будем иметь следующее уравнение дна жидкости: Мы будем рассматривзть безвихревые движения; потенциал скорости обозначим через а(х, у, г, 1). Этот потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лзпласа д т д т да„ вЂ” + — + — =О.
дха дуа дгз (24.1) На свободной поверхности должно выполняться уравнение — +д — =О при г=О. дт дт дтз дг (24.2) Наконец, на дне и на боковых стенках сосуда должно выполняться условие — т =О. дп (24.3) Чтобы получить стоячие колебания жидкости, мы рассмотрим потенциал скорости О вида ~7(х, у, г, т) = Ф (х, у, г) соз а1. формула (11.!) в 11 наводит на мысль взять следующую зависимость 4~ от г: ~ (х, у, г, г) = сп И (г+ И) Ф (х, у) соз ат. (24,4) ;. ЕН СТОЯЧИЕ КОЛЕБАНИЯ ТЯЖЕЛОЙ ЖИДКОСТИ В СОСУДЕ 505 тогда уравнение (24.1) обращается в следующее: д, + —,, +Дзф=о.
д'Ф д'Ф дх' ду' (24.5) Уравнение (24.2) дает уравнение, связывающее а и й: — е'с1з)ел+уй зй)ел=О или еа=дй1йхлк (24.6) 11ериод колебаний т определяется через е прн помощи простой формулы 2г Наконец, уравнение (24.3) на дне выполняется само собой, нбо па дне направление нормали совпадает с направлением оси Ог, но ,1 =)езпл(г+д)Ф(х, у) соза1, ( — ) ==О. де Тде Остается выполнить еще условие нз боковых стенках цилиндра, ограничивающего жидкость: — „= О. дФ дл (24. 7) и = сов о1 игаса Ф.
(24,8) 11птегрируя поэтому уравнения дх дФ ду дФ вЂ” = О = — СО5 ЕГ; — =. — Соз ЕГ, дГ х дх ' дг ' ду дг дФ вЂ” = — СО5 ЕГ, дг дг мы получим, обозначая средние положения частиц через х, у,, и подставляя в Ф (х, у, г) вместо х, у, г это среднее положение х„, у, гз (вследствие малости колебаний х мало отличается от х, ит,д): 1 ТдФТ а 'т дх те 1 ! дФ Т У=У+ — 1 — 1 ' а ду е 1 /дФТ г =г + — 1 — ~ 51па1. а (дгТ'е (24.9) Следовательно, каждая частица колеблется прямолинейно по гармоническому закону около среднего своего положения, причем все юстицы одновременно проходят как через свои средние, так и через Исследуем полученное движение сначала в общем виде. Скорости частиц жидкости определяются формулой 506 волиовыв движяния идялльног1 жидкости 1гл. вцю крайние положения, Обратим внимание на вертикальную составляю- щую скорости и вертикальную амплитуду: о,=( — ) соза1 =а ай те(гз+-)1) Ф(х, у)сова(, l дФ'1 'т дг у'е д г — ге — — — з11 /Г (ге+ д) Ф (х, у) зш аг.
(24.10) На дне сосуда о, = 0; кроме того, о, обращается в нуль во всех точках вертикального цилиндра Ф (х, у) =- О. Найдем вид свободной поверхности жидкости: Г= — — 1т — ~ — — — ейл))Ф(х, У) з(па1. (24.!1) 1 Гдтт а гтд у,= г Поверхность уровня совершает, тзким образом, гармонические колебания. С точностью до некоторого множителя эта поверхность имеет всегда следующий вид: (24.12) г=Ф(х, у). Кривые, лежащие в полости г = О, уравнение которых есть (24. 13) Ф(х, у) =сопя(., суть линии уровня поверхности (24.12).
Их можно назвать линиями равной вертикальной амплитуды, так как вертикальное перемещение всех частиц такой линии по формуле (24.10) одинаково. В частности, кривые Ф(х, у) =0 являются узловыми линиями для вертикального движения, так как на них вертикальное перемещение частиц равно нулю.
Найдем еще линии тока на плоскости Оку, которые определяются из уравнения ах ау дх ду — — или ак оу чу Ф к у Как известно, зто есть уравнение кривых, ортогональных к линиям уровня (24,18), а такие кривые называются линиями наибольшего ската. Итак, линии тока на плоскости Оху являются линиями наибольшего ската на поверхности (24.12).
Условие (24.7) выражает то обстоятельство, что цилиндр, ограничивающий жидкость, проходит через линию тока на плоскости Оху. Действительно, скорость частицы. прякасающейся к цилиндру, лежит в плоскости, касательной к цилиндру, следовательно, контур поперечного сечения цилиндра плоскостью г = 0 в каждой своей точке касается проекции скорости на плоскость Огу, т. е. является линией тока на плоскости Оху. колввлння жидкости в пгямотгольном соскдв бот 4 23! ф 2Б. Колебания жидкости в прямоугольном сосуде и в круговом цилиндре.
Обратимся к частным случаям движения. Из формулы (11.1) й 11 при Ы=-и/2, а=О получаем следующий потенциал скорости; с(х, у, г, Г,) =си а(а+6)соэйхсовеГ, ~аким обрааом, Ф(х, у)=совйх. Уравнение линий тока чх Ну Б!и Лх О выполняется в двух случаях: во-первых, может быть г1у=О, у=-сопа1., во-вторых, может быть э)пах=-О, Ах=рс, х=рп)л, ри(н = а мы определим й. Полагая р = 1, мы получим: нг =к1а, пола~ая р=2, 3, 4, ....
получим соответственно: )еа — — 2-./а, ла —— 3-,.1а, йч = 4п!а, ... По формуле (24.б) мы получим соответствуюшие функции, частоты и периоды: Ф1х, у)=соа —, рпх ! 125.1) ,,= ~'Ьй,)й Л,Ь=~/ — '1й — '„' 2п / 4ап рва — —" с1'и —. л а' др ~ те р — любое целое число.
Итак, мы можем рассмотреть движение жидкости, заключенной в прямоугольном сосуде произвольной ширины 6 (границы у=.О и у = — 6), длина же этого сосуда должна равняться кратному от и/а (границы х = — О и х = рп/й). Пусть наи дан прямоугольный сосуд длины а и ширины Ь. Тогда из условна 508 Волновые дВижения иделльнон жидкости ггл шн Если жалкость бесконечно глубокая, то (И вЂ” =С1И вЂ” '- =1, раа а а мы получим: 1? яра 77 4а-. (25.2) Наоборот, если глубина жнлкостн мала в сравнении с длиной и р,а рхл то зй — - = — —, и мы имеем: а л — ч, (25,3) уравнение (25.1) показывает, что свободная поверхность есть косинусоида, имеющзя р полуволн.
На рнс. 1?7, построенном лля случая р =- 3, покаааны узловые линии вертикального движения. Последние определяются по формуле Ф(х, у) =-О, В нашем случае это уравнение принимает внл соз — = О рхх а и имеет следующие решения; а За 2р' йр' (йр — 1] а 2р Таким образом, имеем р узлов. 14~ах, в бассейне прямоугольной формы возможны колебания различных периодов. Олнако последние определяются совершенно определенным образом. Это будет иметь место и в других случаях, Чтобы получить более общий случай колебаний, возьмем Ф,(х, у) ==. = соа [й (х соз а -[- у сйп а)[; Рис. 177 Фа(х, )О =-с05 [л (хс05а — уз!па)[. Вследствие линейности основного уравнения (24.5) мы можем образовать слелующее его решение: Ф = 2 (Ф1 — 1- Фз) = — с05 (?ах сова)с05(?еу 5|п а) ) это сводится к тому, что теперь к ~ребням волн будет перпендикулярна не ось Ох, а прямая, состзвляющая с осью Ох угол а. Движение, симметричное относительно оси Ох, будет определяться функ- цией 4 2ЗС колввлния жидкости в пгямокгольном сосгде 509 з1па =- л, и = ')с глз+из, или, обозначая для краткости ?с сов а .= т, ?с будем иметь: Ф (х, )с) = сов лсх сов Уравнением линий тока является сСх ссу пли т яп тх соз лу л сое тх Ып лу Оно легко интегрируется.
Мы отметим ные решения: т л)с ссх ссу лссяслх лсдлу голько следуюшие част- (25.4) 4п л (25.5) откуда т = — — "-', а — д= — п~?? Р— +'— ' Предполагая для простоты Рис. 178, скидкость бесконечно глубокой, получим для определения частот и периодов возможных колебаний формулы (р и с1 — произвольные целые неотрицательные числа): ° =~7'~ у ' — +'-' с Если глубина жидкости мала, то 1 На рис.
1?8 показаны линии уровня поверхности Ф(х, у) — — соз —" — соь — ' Рхх с)пу а (25.6) Поэтому, не нарушая движения жидкости, мы можем поставить стенки, уравнения которых даются формулами (25.4) и (25.5). Пусть нам дан прямоугольный у сосуд длины а (границы х = О и х =- а) и ширины (с (границы у = — О и у = ?с) (рис. 177). Тогда для определения лс и л мы имеем условия Рл йп т ' л ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ПДЕАЛЬНОИ ЖИДКОСГИ 1гл. чпг для случая р=2, а=2. Узловыми линиями являются указанные нз чертеже прямые, параллельные осям координат. Чтобы разобрать случай кругового цилиндра, введем вместо х и у полярные координаты г и 0: х=гсоз0, у=га!я6. Основное уравнение (24.5) примет вид д'Ф 1 дФ 1 д'Ф вЂ” + — — + — — + лзФ = О. дг' г дг' Г' д0' гггФ 1 ггФ вЂ” „, + — — „-+Ф=О и, значит, если /е(а) есть функция Бесселя нулевого порядка, то 12 (Г) =./е (7гг); 7 (х, у, з, 1) = соз аг сИ гг (а + 72) 70(лг).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
