Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Можно показать, чта соответствующее видоизменение было бы эквивалентна .— 1 е замене — другим значением (завнсящнм ат Т н р), меньшим па Век»с' личине. См., например, Лннамнческая метеорология, пад ред, Извекава Б. И. и Кочина Н. В., ч. '4, 1937. 489 ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ в ю! и Ь', плотности р и р', причем нижняя жидкость ограничена снизу, а верхняя сверху гаризонтальиымв плоскостямн (р > р'). Ответ. У 7 (Р Р ) Л?а 4 5. Найти групповую скорость (/ для капиллярно-гравитационных волн на бесконечно глубокой жидкости. Прн каком условии групповая скорость больше скорости распрострзиення самих волн с? Решить последний вопрос также графически при помощи графика с(Л) (рис. 166) н графического способа отыскания с/. / лЛ 2кв 1 /ЕЛ Зева Ответ. с= (, — + —, (/= — ( — + — ), (/ > с, если Л <?хт 1 2к рЛ' с\,4к ' рЛ)' 6.
Найти скорость распространения капиллярно-гравитационных волн па поверхности раздела двух бесконечна глубоких жидкостей разных плотностей р и р'. Определитть для какой длины волны скорость распространения наименьшая, и найти значение втой минимальной скорости. р — р' РЛ 2кв / в Ответ. с'= —,— + ",; Лт=2кф р+р' 2я (р+р')Л ' )' л(р — р') ' = — Уе ь" (Р Р )' я 2 т р+р' 7.
Найти скорость распространения капиллярно-гравитационных волн на поверхности раздела двух бесконечно глубоких жидкостей разных плот- настей р и р', если верхняя жидкость меньшей плотности р' течет со скоростью (/ н величина поверхностного натяжения есть в (образование ряби ветром, скорость которого равна (/). Могут ли волны распространяться против ветра? При какой скорости (/ основное движение устойчиво для всех длин волн? Вычислить критическую скорость /'м при которой основное движение делается неустойчивым для некоторых длин волн, если р'/р = 1/770 (отношение плотностей воздуха н воды) и в = 74 дн/см. О с= р (/ ГйЛ р — р' 2 рр'(/' р+р' У 2х р+р' + Л(р+р') (р+р')в ' если т 2я р' ),р' ' то одно из двух значений с будет отрицательным, т, е. волны могут распространяться против ветра.
Устойчивость для всех волн будет при (/ < 1/ „ , в частности для воды и воздуха при Рр (/ < 6,46 м/сек. В. ТРЕХМЕРНЫЕ ВОЛНЫ й 22. Общие формулы. Обратимся теперь к изучению общего с тучая трехмерных безвихревых волн на поверхности бесконечно глубокой жидкости, Потенциал скорости должен удовлетворять уравнению Лапласа двч дте двт ь + —.+ — =О дхз ду ' дл 491 ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ а значит, и весь интеграл (22.6), представляющий сумму таких функций. /[оказ<ем теперь справедливость равенства (22.7). Сначала предположим. что всюду Р (х, у) = 1, и докажем, что ал(г/ч = 1. 2з г Г [а~ -]- (х — еР -[- (у — ч)Я]'~' (22.8) тогда интеграл (22,8) легко вычисляется: 1 / / гг/а па 1 / /" за кант 2 / / [ '+(х — 1)'+(у — И' 2 / / Ф+рФ так как вследствие отрицательности г будет ]/за= — я, Так как подынтегральная функция в (22.8) всюду одного знака, то такой же интеграл, взятый по любой части о' плоскости [т), будет меньше единицы: / /' аа1ггч 2в / / [а'+(х — $)а+(у — В)']ь Возвратимся теперь к формуле (22.6) и представим ее в виде ал'(х, у) г/1 КЧ '7о(х у а)= 2п т ~ [х'+(х — 1)з+(у — Ч)а]'~' ОЭ СО 1 / / г [г"'(1, В) — Р(х, у)] вс пя [ '+ ( — ц'+ (у —,)']гв Первый из интегралов в правой части равен, по предыдущему„ г (х, у); второй же стремится к нулю, когда г стремится к нулю, если предположить функцию Р(х, у) ограниченной и в точке (х, у) непрерывной.
для доказательства рассмотрим в плоскости (т) малый кружок 5 с центром в точке (х, у) и с радиусом е; остальную часть Введем для этого в плоскости ст) полярные координаты р и ~р, полагая [=рсоа~, т)=ра(п~у 492 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОП ЖИДКОСТИ 1ГЛ Х111 плоскости !т) обозначим через О11 тогда, очевидно, Пш г (Р ($, Ч) — Р (х, у)) дс дв «.+о ~ у (г'+(х — $)'+(у — «)') ' 1ж) Что же касается круга 5, то для точек (с, т)), лежащих внутри О, будет: /Р (Е, т)) — )о (х, у)/ ( «, причем е, можно считать стремящимся к нулю, когда е стремится к нулю (в этом состоит условие непрерывности функции )т(х, у)).
Поэтомо 1 (' /' ~Р'(:", г) — Р(х, у)) гдодя ,/,/ (го+ (х о)1+ (у )1)'л ~' /'~ гд1ДЧ ( а1 С е,. ~ 2я,1,1 (го+ (х — о)1-(-(у — г)'] ': Итак, при г, стремяшемся к нулю, второй интеграл формулы (22,9) может быть сделан меньше любого числа ен значит, предел этого интеграла равен нулю, н мы получаем, что Пш ~ро(х, у, г) =- Г(х, у), что мы и хотели показать.
Примем теперь, что функция гч(х, у) повсюду равна нулю, за исключением малой окрестности О начала координат, в которой Е'(х, у) предположим столь большой, что интеграл / тч(х, у)дх 1(у = —— П Р 1 остается ьо:1ечным и равняется — — П, где П обозначает импульо сил давлений, способный вызвать желаемые нами начальные скорости.
При таких условиях, вводя цилиндрические координаты (г, 0, г), мы получим: П г П г П д 1 9ох ух) 2яр (г'+хо+у)"' 2вр(г'+1') ' 2хр дг Р ~'-/-го Но тогла дог„) ( — 1)" П~а до 1 (д /-, '1 =О. д(ооlо 2р дга ' ) г' ' г' 1дрыэ1' 493 Овщне ФОРмулы и значит ( 1)л+!П «лет» дль! 1 ,(г ~, т)=У, (22.10) 2яр (2п)! д«" ' )г«'+г' Чтобы получить уравнение профиля волны, надо найти Ф(г, О, 1).
Но мы имеем: 1 о» 1 1 7 «2! 2 %2 ( — 1)" 1.3 ° 5... (2п — 1) '1+ 1'г» (»2 г г' ) 2лп! г»Л»1 л.=о С другой стороны, по формуле Маклоренз 1 л~д »л 7 дл 1 ) г»+«' п! 1,д»" )гг»+«272,о »1=0 Сравнивая эти два разложения, найдем: д»2,-1 =о, д«222! т гл+«' I -о ( —. д 1; ( — 1У (1.3.3... (2Л вЂ” 1)) д»22 )ггл+»'/ г22 !.1 Поэтому, подставляя в формулу (22.10) «= 0 и и= 212+1. найдем: П ~э ( — 1)21' «22ь!11222 (1.3.5... (2а+1))2 (г, О, Р)= — -,7~ ''', . (22.11) 22р (4Л + 2)! 1.2 2+ 2 а-о Лля профиля волны по уравнению 1 др(г, О, г) с» дГ найдем следующее выра!кение: Оно показывает, что форма профиля волны в данном месте завися г, главным образом, от величины дР/г, так что теперь возмушения оудут распространяться концентрически с постоянным ускорением совершенно аналогично случаю плоских волн.
Ряды (22.11) и (22.12) годятся для вычислении только при малых значениях д(1(г, 7(ля больших птэ/г удобнее дать другие формулы, аналогичные формулам (10.7) случая плоских волн. К выводу этих Формул мы сейчас и обратимся. 494 волновые двюкеиия иделльноп жидкости ггл. ши Введем для краткости обозначение — = сь дгг 2г (22. 13) тогда формулу (22,11) можно переписать следующим образом: П %1 ( — 1)льг [1.3.5 (2Л-[-1))г2гач г,ггьгг р(г, О, С)= 2 г,т („+,), (22. 14) «-а Этот ряд иожно представить определенным интегралом, причем под знак последнего войдет функция Бесселя нулевого порядка: хг хг хг ~1 ( 1)гхгг а( ) 2г+ 2г.4г 2г 4' бг+ ''' ЫИ [2 4 5...2А]г и ее производная У(х).
Рассмотрим для этого функцию Г (х) = — „[х.7а(х)~ = у (х)+ ху'(х). Разложение в ряд этой функции имеет вид С ( — 1)г(2Л+1)х — [х'а(х)[ — та [2 4 Ь 2Л)г а-а Вычислим теперь следующий интеграл: Ф (ы) = соз йЕ 1 — соз'гй) ггаа; (2 (22. 15) подставляя сюда данное ганг 2 ° 4... 4Л Соз ~в~=3 5 4л [ В[ а поэтому коэффициент при ыгг будет: ( — 1)"!2 4... 4Л(4Д+2)1г г — 1)г2глг г [1 ° 3.5...
(25 ( 1))г 2'Л" [2 ° 4 ... а[а (4Л+ 2)! (4/г + 2)1 ф(ы) = ~~~ ь-а Но, как известно, выше разложение фуккции Р(х), найдем: д 2гл [2 4 5 ... 2/г)г а 499 ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ 2 2М и следовательно, ~ ( — 1)»2» П З.Б...(2»+1))2 ~ а (4»+ 2)! »-о Сравнение этой формулы с (21.14) показывает, что Пи ~(, О, 1)= — —,Ф( ). (22.16) По этой формуле можно вычислять ~Р(г. О, 1) при больших зна1ениях Ф. Функция Ф(Ф) обозначает здесь определенный интеграл (22.1б). При больших Ф можно дать приближенное выражение дтя этого интеграла.
Воспользуемся известными из теории функций Бесселя неравенствами 12 (х)1 С вЂ” ,=- зз (х) — 1/ — со 5 ( х — — "~ вх (, 4) х'г'х ~ У (х) + ~/ — 51 и (х — — ) ( ( (22.17) 4 — и /2 Г 51 — 1х~о(~)) + р — х 5)п ~х — 4) ~ < А, а из этого неравенства непосредственно следует, что Г ') Соз гРР( — С05 гя + ~à — - Соэ гг 51П вЂ” С05 га — — ~ ~ ( = и значпг, '~АР ~ — ' — (22'н) Вычислим интеграл Ф (ы) — / со52 ~Р 51п — соз р ' г(9 12 4) 0 справедливыми для всех положительных дп здесь АФ А, и А2 обозпачаюг некоторые определенные числа. Из этих неравенств вьпекает следующее: 496 волновыв движвния идеально!! жидкости !гл.
шн Введем для этого новую переменную интегрирования ф=2у; тогда т 1 Iэ ч и Ф (е!) =- — / (1 +С05 ф) 5!и ! — —. — + — созф) д!!Ц 4.! (!4 4 Воспользуемся теперь формулой Гм в е 5!П ( — — — + — СОБ ф) = '!4 4 4 = Б!П ( — — — ) СОБ ( — С05 ф) + С ОБ ( — — — ! 5!П ( — С05 ф) !4 4) !4 ! !4 4! !4 и отметим, что прн помощи функций Бесселя можно взять интегралы / сОБ( )гтф=п/э( — ), / 5!п( )л!ф=О, о о / Созфсоэ( )с(ф=0, ~ Соэф5!П( )1ф= — яу ( — ) ° о о Г1ринимая все это во внимание, мы можем установить следуюше! соотношение: ""--) ю" (---)" (-)-"'( — -)' Е при помоши неравенств (22.17) мы найдем, что ~ Фг(ч!) — — ~/ — ( юп ( — — — ) сов( — — — )-!- +соэ( — — — ) 5!п( — — — )~~ ( нли )Ф (в)+ ~à — соэ — ~( ( 2 ° (4!+ 4,) Теперь из (22.18) мы заключим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
