Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Никакого другого 46б ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЛ ЖИДКОСТИ 1ГЛ. ЧН! решения задачи, удовлетворяющего всем поставленным условиям, не существует. В самом деле, преаположнм, что есть еше другое решение задачи ш,(е). Образуем разность яР (е) = те1 (е) — те (е), Функция те,(г), подобно ш(г), должна в окрестности точки е= — !л иметь вид ~т(~) = й .
рл(л+Ж+К1(~) Г Ым !ш(1 — — чш) =О при у=О. гге Г!Озтому функция Иге Р'(е) =- ! — — чти тгз (19. 18) может быть аналитически продолжена в верхнюю полуплоскость по принципу симметрии Шварца. Итак, Р(е) голоморфна во всей плоскости е, т. е. является целой функцией от е. дй1 Величина ~ „~ ограничена во всей нижней полуплоскости; пусть пусть еше ! Те(ОЯ < ДГ; тогда из следует неравенство ! Те (е) ! ( тч + Л4 ! е ), поэтому мы имеем оценку (Р(г)! ( Л4+ч)ч1+чЛ4 ~я~. Эта оценка доказана только для точек нижней полуплоскости; но так как в симметричных относительно вещественной оси точкаХ функция Р(о) принимает комплексно сопряженные значения, то эта где д,(г) — голоморфная функция в нижней полуплоскости, поэтому функция те(е) должна быть голоморфной в нижней полуплоскости у ( О.
Она должна, далее, удовлетворять условию $ !51 ВОЛНОВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ оценка имеет место во всей плоскости. Но то~да из неравенства Коши следует, что гт(г) есть линейная функция от г г".(г) = аг+ д, где а и Ь вЂ” вещественные числа вследствие условия (19.18). Итак, а!а ! — — тш = аг —,- д. Интегрируя это равенство, находим: ди! и, а = — гчСе- и' —— дг а Ь га те(г) = Се-'" — — г — — — — —, 52 ' чем н доказывается высказанное выше утверждение.
Определим теперь вид свободной поверхности жидкости. Для этого воспользуемся равенством (19.6) 8(х) = — ! — 7! = — цебо (х). е(дх,) „5 е Дифференцируя равенство (! 9,17), найдем: дг 2я!' 1 г+1д г — сй 1 5 ! г — 1'л Г1олагая в этой формуле г =х и отделяя вещественную часть, легко находим, что Г / !соз' (! — х) — Й51пт(à — х) '(.) = — — ~'— ис,/ Г5+!й г1!. (19.20) Очевидно, что так что на далеких расстояниях перед вихрем свободная поверх""сть жидкости приближается к горизонтальной, как и должно быть. (дм и так как по условию — ( стремится к нулю, когда г стремится ! а'г к сс вдоль положительной вещественной оси, то величины а и С должны равняться нулю, и следовательно, 468 волновые движения идвлльнон жидкости !гл щп Иная картина имеет место далеко позади вихря.
Заметам прежде всего, что мы имеем равенство еы! — с!1 = 2к(е-'л; 1 — !Д г — О с ? / . = ~ — '.„-+ (, - = — 2я1е- л+ поэтому мы можем написать также — — — + — ~+ 2Гт!е '"е-'" — — е с!с 2е! с+ !Л с — !Л я,! 1 — Вй ' Исходя отсюда, получим для 8(х) выражение 21 —.и . 1 1соз т(1 — х) — Ь ыв т(! — х) о(х) .= — е-'"гйп тх —— с яс „/ сс+ Л' Интеграл в правой части стремится к нулю при х — > — са, следовательно, при очень больших отрицательных значениях х мы будем иметь приближенное равенство 2Г 3 (х) — — е "" з(п тл, с (19.22) показывающее, что далеко позади вихря свободная граница жидкости имеет вид синусоиды, амплитуда которой имеет значение 2Г , 2Г ел е ы с с (19.23) Длина волны определяется формулой 2в 2ес' в самом деле, стоящий слева интеграл, взятый по всей вещественной оси, может быть дополнен интегралом, взятым по полуокружности бесконечно большого радиуса, расположенной в верхней полу- плоскости, ибо значение интеграла по этой полуокружности стремится к нулю, когда радиус полуокружности стремится к бесконечности; но в верхней полуплоскости лежи~ единственный полюс 1=1)г функции, стоящей под знаком интеграла; находя вычет функции в этой точке и помножая его на 2п1, мы и получаем значение интеграла.
Мы можем написать: 469 волновое сопротивление 4 сй Это есть, очевидно, длина тех прогрессивных волн, которые распространяются по поверхности бесконечно глубокой жидкости со скоростью Вычислим еще силу, действующую на вихрь. Если проекции этой силы иа оси Ох и Оу обозначить соответственно через Х и )', то по известной формуле Чаплыгина будем инетзл 1'+ с'Х = — — ~ ( — ) с(е, где интеграл берется по любому замкнутому контуру, охватывающему "р .
Пользуясь формулой (19.2), напишем: ср(тс 1' 1 — -- =- — —,— + а (е), сте 2ж а+И где с а (г) == — с + —.. — — е — '" 1 — —. 2гУ е — И я .l à — И есть, очевидно, голоморфная функция в нижней полуплоскостп. Поэтому вычет функции ( 1 ~ 2 сгйс)я Г 1 Га (е) сте / 4сс' (е+И)И+ ес'(е+сл) 1'сс ( — И) в точке е= — И, в которой расположен вихрь, равняется сц и по теореме вычетов мы получаем: ~ ( — „— ) ссг=-2Ра( — И).
Итак, 1'+ сХ= — — рГа( — И) = рГс — + — е-'ь рГз ргеч ы е срс 4яа я,l У вЂ” И ' Вводя в последнем интеграле вместо т новую переменную и формулой и = 1ч (1 — И), мы можем привести его к виду — сз — — -",!'— ес"' ИГ, / еа — = е-ы 1 — сги, И вЂ” „! при этом необходимо подчеркнуть, что в плоы.ости 1 путь интегриРования должен был целиком лежать в нижней полуплоскости, в плоскости же и он должен лежать в верхней полуплоскости.
4РО ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОИ ЖИДКОСтн (ГЛ. 22!г! Функция е" — г(и = Е! (В) Е!! (х) = гте Е! (х); тогда будем иметь равенство Е((х) = Ег,(х) — к(, предполагая путь интегрирования расположенным в верхней полу- плоскости. Итак, мы получаем равенство У + !Х = ррс — — + — е — 2'лЕ!! (2222) — грГ2тв . 2'л; рг2 рГ22 4еа отделяя в этом равенстве вещественные и мнимые части н подставля! вместо ч его значение д/с2, получим окончательные формулы: 22,"Л ранг! Х= — — е с' (19.24) 2лв 'г'=рсà — — + — е "Е( ! — ).
рГ' рдГЛ вЂ” —, Г 2еа ! 4ва вс2 21 22 )' Первая из этих формул определяет волновое сопротивление 2аЛ лГ2 Д= — Х= — е 22 2 (19.25) мы могли бы определить его и по обшей формуле, приведенной в начале этого параграфа: ! (с = Е = — рда2, подставляя вместо амплитуды образующихся волн а ее значение (! 9.23). Из этой последней формулы видно, что амплитуда волн, а вместе с тем и волновое сопротивление, уменьшается по показательному носит название интегральной показательной функции. Если г поло« жительно и путь интегрирования лежит в верхней полуплоскости, то интеграл могкно брать по вещественной оси, обходя точку и = 9 сверху по бесконечно малой полуокружности. Так как вычет подынтегральной функции в этой точке равен 1, то значение интеграла по упомянутой бесконечно малой полуокружности равно — п(, Поэтому мнимая часть Е!'(х) равна — и; введем, далее.
обозначение Л71 ВОЛНОВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ 9 191 закону с увеличением глубины погруткения вихря. Что же касается зависимости волнового сопротивления от скорости движения вихря, то простое исследование показывает, что при очень малых и очень больших скоростях с волновое сопротивление очень мало; оно достигает максимальной величины прн с =.. 1Г2дЬ. Вторая из формул (19.24) показывает, что подъемная сила вихря слагается из двух частей: подъемной силы Жуковского рек и добавочной подъемной силы: (19.2б) е е/ч ю(з) = — 1п (гз+ лз) — — е-"' / .
г)г, (19.27) 2ч я,1 т — Тд ес для комплексной скорости получаем выражение Ее 2я 1е+ГЛ е — ИВ1 я д à — гд профиль волны определяется уравнением 0 Г гмпч(т — х)+Лсозч(т — х) ВС / 19+ Лч — Ф, причем !1гп е(х) =-О, к-ч а при х-ь — со мы имеем приближенное равенство о(х) — е-'л соз чх, 2() с (19. 29) так что амплитуда образующихся волн равна -»ь а= — е-'. е (19.30) которая имеет положительный знак при малых скоростях с, отрнцас тельный при больших скоростях и обращзется в нуль прн — = 1,57. ~хеЬ Задача о вынужденных волнах, возникающих при движении источника интенсивности Я, решается аналогичным образом.
Мы приведем поэтому только окончательные формулы. Комплексный потенциал ш (г) имеет в этом случае следующее значение: 472 ВолнОВые движения идеальной жидкОсти 1гл чн1 Составляющие силы, действующей на источник, определяются формулами: Г12 2еа Х=рсΠ— ре —,е <19.31) 2еь 1)а,е О2 12дь т — +- — Е " Е1', ~ — ~. 4яа гс' 11 с' )' Первая из этих формул показывает, что на источник действует тянущая сила рсО, которая имеет место и в безграничном потоке жидкости, и, кроме того, сила волнового сопротивления, которая опять-таки ищжет быть выражена через амплитуду образующихся волн по обшей формуле, приведенной в начале этого параграфа. Подъемная же сила У совпадает с выражением (19.26) добавочной подъемной силы, получившейся в случае вихря, если только мы заменим в этом выражении Г на С2.
Заметим теперь следующее. Если мы примем правую часть формулы (19.28), дающую выражение комплексной скорости для случая источника, за выражение нового комплексного потенциала / е1.1 то мы удовлетворим, кзк легко видеть, всем поставленным выше требовзниям. Очевидно, что в точке г = — И мы имеем диполь с моментом, направленным по оси Ох, следовательно, предыдущая формула определяет волны, возбуждаемые при движении диполя под свободной поверхностью жидкости. Аналогично мы могли бы определить движение, соответствующее диполю с моментом, направленным по оси Оу или имеющим произвольное направление, а также движения, соответствующие особенностям более высокого порядка.
Комбинируя тзкие движения, нетрудно получить волны, возбуждаемые при движении параллельно оси Ох круга радиуса Ь, центр которого находится на глубине Ь. В самом деле, комплексный потенциал движения безграничной жидкости определяется в этом случае формулой сЬ' Г яе(з) = —, + —.1п (в+И), (19.33) показывающей, что это движение можно считать наложением двух течений: одного, происходящего от диполя с моченточ, направленным по оси Ох, и другого, происходящего от вихря интенсивности Г. ВОЛНОВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ Ь ий Полагая в формуле (19.32) Я= — 2ясЬ2 и складывая получающийся потенциал с потенциалом (19.17), приходим к искомой формуле Г+ 2ячсЬч Г енг + .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
