Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 74
Текст из файла (страница 74)
е-м' / — —.й, я) ,/ à — -Ь Амплитуда образующихся далеко позади тела волн дается формулой а = — ер ж(Г+ 2ггчсЬ2), 2 с (19. 34) й = — Х = рч (Г+ 2ячсЬ2)те 2"л, РГ2 РГСЬ2 2РгчсЬ2 ресчьч рячсчач 2ряччЬчся 1' = рсà — — — —— 4гл 2Ь2 Ь 2лч Ья Ь + р — (Г+2ячсЬ2)яе 2"ЕЬ (2чЬ)+ярдЬ2; (19.35) последний член формулы для У представляет собою подъемную силу Архимеда. Полагая Ь=О, прихолим к формулам (19.24) для случая вихря. Для случая Г=О получаем, подстзвляя значение ч = д)с2: 4я~рх'Ь' 2ел ы с' (19.36) у- — г — „, [~ $ ч ~ ./4(Ь) — ч( —,) *'е6(ч) — 2~ ].
Волновое сопротивление быстро уменьшается с увеличением глубины Ь; при заданной глубине Ь волновое сопротивление Й мало ири очень малых и очень больших скоростях с и достигает максимального значения при с = ~ЯЛ. Рассмотрим теперь волны, возбуждаемые при движении произвольного контура С параллельно оси Ох с постоянной скоростью с.
Влезаем предварительно следующее замечание. Если мы сложим оба изученных нами выше течения (19.191 и (19 28), тч получим волны, возбуждаемые вихреисточником, причем а для волнового сопротивления и подьемной силы получаю~си сле- дующие выражения: 474 волновые движения идеальном жидкости 1гл.
ши мы будем считать последний находящимся в точке ч=с-1-(ч). Мы будем иметь то~да формулу: чтм 1 Г+1Πà — л;) (à — 1О) ч, еи' л'г 2Ш ( г — ' Для образующихся далеко позади вихреисточника волн легко находим. складывая выражении (19.22) н (19,29), где х надо заменить на х — с и Ь на — ч), выражение 3(х) (Ггйпч(х — с)+Ясозч(х — 1))= 2е'" =1ш1 ' ) е" сч П~. (19.38) ( 2 (Г+!О с Обозначим теперь через юе(г) комплексный потенциал скорости того течения, которое получается при движении контура С в безгРаничной жидкости.
В этом слУчае г1твегчуг есть голомоРфнаа фУнкцня в области, внешней по отношению к контуру С, и по формуле Коши мы имеем равенство иапо 1 Г лгяо чгс 1 Г лгяч (с) Лз 2чг 3' ЛС а — 1 2я! 3' с с где ч есть переменная точка контура С и контур С пробегается в положительном направлении. Мы видим, что движение жидкости можно очи~ать происходящим вследствие наличия на контуре С ряда вихреисточников, причем на элементе г1ч расположен вихрь г(уе и источник гГфе. Но тогда, заменяя в формуле (19.37) Г+ЕЯ на г(ше(Г) и производя интегрирование по контуру С, мы получаем волновое движение, вызванное только что описанным распределением вихреисточников.
Это волновое движение можно считать первым приближением к тому, которое вызывается движением контура С. На самом деле, в силу наличия свободной поверхности, произойдет некоторое изменение величин вихрей и источников, расположенных на контуре С. Это изменение, очевидно, тем меньше, чем глубже находится контур. Таким образом, рзссматриваемое приближение тем лучше, чем больше погружение контура С. Итак, в первом приближении мы находим формулу ' е'гчл и'г 2зг'( и г — ", и г —" 1с $191 475 волновоа сопготивлгннв Для профиля волн, образующихся далеко за телом, находим, поль.
зуясь формулой (19.38), выражение — сн» с гц с(~ Введем в рассмотрение функцию Н(ч) = с-мсс(и (ч)' (19.40) тогда получим: 3 (х) ! гп ~ — Н (т) си" ~ . г2 'ь с (19. 41) Следовательно, амплитуда образующихся волн имеет выражение а = — |Н(ч) ~. 2, с (19.42) (19. 43) сз' Г 1 "'"~=~' ь'(0<.
ч Ь2 ~ьв1" Производя разложение подынтегральной функции в ряд Лорана в окрестности точки г.= — (ли легко находим: са г (ь+И)' + 2я7 ь+ГИ ~ а +~ г ...1 1 + следовательно, по теореме вычетов Н(ч) = с '«(Г-1-2ячс(гз) Таким образом, амплитуда образующихся волн имеет значение — -юа г г гела сл а= — е-'а(Г+2я сба) = — ~Г+ — )е с ~ с А тогаа для волнового сопротивления мы находим, применяя формулу, приведенную в начале этого параграфа, Рассмотрим два примера. Пусть контур С есть круг радиуса Ь, центр которого нахолится на глубине ли и пусть циркуляция скорости вдоль контура С имеет заланное значение Г, Для движения цилиндра в бесконечном потоке мы имеем формулу (19.33), поэтому, пользуясь формулой (19.40), находим: 47Г> волиовыг: движения иделльиоп жидкости (гл.
ши для волнового же сопротивления получаем выражение тел р ег (р+ г"Ае ) с оба эти выражения совпадают с найденными выше выражениями. В качестве второго примера рассмотрим случай, когда контур С есть эллипс, центр которого находится на глубине /г и оси которого 2а и 2(1 направлены параллельно осям коорлинат Ох и Оу. Значение циркуляции Г примем для простоты равным нулю. В этом случае обтекание контура С потоком безграничной жидкости определяется при помощи вспомогательной переменной сс формуламн а= — И+ —, 1/аг — 'рг(и+ — ), 1,г 1ч 2 ш = — — 1/аг — рг(и+ — ), 2 / а-~-~3 гле г= 1/ ='' и )и~ =г есть уравнение той окружности в плоа — я скости и, которая соответствует контуру эллипса С.
Внешности эллипса соответствует внешность этой окружности. Составляем по формуле (19.40) функцию Н (ч) = ~ е '" е(ш =- с е-""е ' ~ " ( — — 1/аг — (тг) (1 — —,) гги. )к! Г Производя подстановку и = Го, получим: Н(ч) = — — 1/аг — 'рте 'ь ~ ег ~ е (1 + —,) г(о. 2 1е! Г Но из теории функций Бесселя известно, что —,(-;) и г 1 — <6 е' — =/„(л); 2Ш Л ееч1 1е~ г поэтому Н(ч) „, 1/' г р~ге- ь (/,(ч )/аг — (гг) +гг/ (» 1/аг — 9г)11; воспользовзвшись еще формулой / г (а) = — лг (л) ВОлны и с>кимлгмип ж!1дкости 477 1 ЕГ! и вышеуказанным значением г, получим: Н1ч)=2пср~гУ вЂ” е *~УЯч у'з — Я. 119.44) Таким образом, амплитуда волн, возбуждаемых ирн лвижении эллипса, имеет значение а= — 4кр)/ ''~~ в — ау !'ч з,г„т с ) 11 9.
45) для волнового же сопротивления получаем формулу зяь й = рчБ1ч)з= 4ятрй~т е с 21 ( ). 119 46) В 20. Волны в сжимаемой жидкости. Обтекание воздухом горного хребта. В прелыдущих параграфах, посвященных волнам. мы ограничивались рассмотрением несжимаемой жидкости. В этом параграфе рассмотрим пример волн, образующихся под действием силы тяжести в бароклннной сжимаемой среде. Ограничимся рассмотрением стационарных волн, возникающих ири адиабатическом движении около цилиндрического препятствия. В бесконечной среде, заполненной несжимаемой жидкостью, беаотрывиое обтекание профиля, обладающего симметрией относительно оси, перпендикулярной к направлению потока на бесконечности, будет симметрично относительно этой оси.
Напротив, если обтекаемый профиль расположен иод свободной поверхностью, то симметрия потокз даже в случае симметричного профиля нарушается благодаря появлению сзади профиля волн. Волны, получающиеся из-за наличия свободной поверхности, всегда имеют одну и ту же длину: 2я 2кгч в за счет бароклинности возникают волны разных длин !одновременно существует конечное число таких волн). Волны эти хорошо известны метеорологам ио облакам, возникающим с подветренной стороны хребта.
Подробный анализ влияния бароклинности был дан впервые Работах Дородницына'). Результаты Дородницына мы здесь и из.зож им, Обрзтимся к обшей системе уравнений гидромеханнки н выпишем лля стационарной плоской задачи. Направим ось у вертикально вверх. а ось х — горизонтально. 1Ч ) Д о Р о л н н ц ы н А. А., Возмущения воздушного потока, вызванные неровностями местности, Труды Главной геофизической обсерватории, вып. 23.
1938; а!зв Зч' породи и цып А. А., Влияние рельефа земной поверхности яа возгшиыв течения, Труды центрального института прогнозов, вып. 21. 1950. 47а ВОлнОВые движения идеальной жидкости !гл щн Мы лолжны удовлетворить двум уравнениям движения: до, дв 1 др Р (Π— '+Π— ) = — —. дх г ду) дх' дв„ деу', др Р,. — '+. — ")=- — — Кв. дх у ду ) ду (20.1) (20.2) уравнению неразрывности дзо, дьв дь (20.3) и уравнению притока энергии 1сьп гл.
11, Э 11) — условию адиабатичности лвижения: Π— — + о„— — =О. д р д р дх рь -' ду рл (20.4) х Будем считать, что лвижение происхолит Рис. 172. в некоторой полосе (струе), ширина которой О вдали от неровности вверх по течению нам залаяв 1рис. 172). Над этой полосой жидкость покоится. Пусть уравнение неровности имеет вид у =". (х).
Б качестве одного из краевых условий мы должны потребовать равенства нулю нормальной составляющей скорости на поверхности у=ь: (20. 6) Далее, на верхней границе потока мы должны иметь равенство давлений при перехоле из области движения в область покоя. Пусть уравнение поверхности струи имеет вид у = Н + т) (х).
120,7) Таким образом, мы имеем для опрелеления четырех функций: О, О, р, р — четыре уравнения. Обратимся к краевым условиям. Мы рассмотрим обтекание неровности земной поверхности установившимся воздушным потоком, который вдали от поверхности вверх по течению становится горизонтальным. Скорость этого невозмущенного потока У нам известна как функция от высоты. Распрелеление плотности по яысоте р в не- возмущенном движении вдали от неровности вверх по течению есть известная функция от высоты у. Наконец, У распределение давления р в невозмущенном лвижении также будет известно и связано с р, барометрической формулой "- = — л, . 120.б) др ду со' волны в сжичлвмоп жидкости а ги у нь у ир (20.8) Бнд функции т~(х) заранее не известен. Чтобы поверхность (20.7) была поверхностью тока, мы должны потребовать равенства = — (о дв ( гу=нрч дх ' )у и+ ~' (20.9) Представим наши искомые функции в виде о,=(/(у>+о,'(х, у); о,=о'(х, у); (20.10) р= р (у)+ р'(х, у); о=р (у) +р'(х, у).
Прн отсутствии препятствия о' =о' =р'=р'=О. Будем считать, Х что неровность у=0 и образующиеся возмущения столь малы, что мо;ьно пренебречь всюду квадратамн величин, снабженных штрихами. Тогда уравнение (20.1) запишется в виде де„. , д(l др р и "+р о' — = — —. дх с у ду дх ' (20.1!) Уравнение (20.2), если принять в расчет (20.5), запишется так: де дд (20.12) Уравнение неразрывности (20.3) даст нам: др,е др (У др р„ дх дх ду '+ — + "=О. (20.13) Так как Р !+в Р.~ ) то (20.4) заменится уравнением (20.!4) р". дх (р. р, ~ ду Р„, дг В краевом условии (20.6) пренебрежем произведением — ° о'; дх х' с вечностью до малых второго порядка (20.6) можно записать в виде Ж Ы ( )у "е дх В покоящейся среде мы будем иметь давление р,(у).
Поэтому мы должны написать: 480 волновые движения иделльнои жидкости [гл, щ!! Далее, так как т, считается малым, то если использовать (20.5) и аналогичное уравнение, связыва!ощее р„(у) и плотность р,(у) верхнего слоя, то (20.8) можно записать теперь так: (20. 16) (предполагается, вообще говоря, наличие скачка плотности при пере- ходе из струи в верхнюю среду). Наконец, (20.9) примет внд ( ) ((7) У (20.17) Исключая «) из уравнениИ (20,!6) и (20.17), получим ( ') = (~) ~1 — рв(~)1 1дР ), (20 18) Итак, задача сводится к определению четырех функций о„', о', р', р' нз четырех уравнений (20.11) — (20.!4) при краевых условиях (20.15), (20.18).
Исключим все функции, кроме о'. Для этого решим сначала (20.!4) У' др' относительно — . Получим: дх ' др р дР р п„Н!па 3 (20,! 9) дх «Р,,„дх У ну где 8=р'"/р . Подставляя это выражение в (20.!3), будем иметь р дР др е„др е„, д1пв — У вЂ” + — + У+р о' =О, «Р дх дх ду ' л ду (20.20) или, если исключить — при помощи (20.11), др' дх (Р)у=н~л=Р (Н+'))+(Р )р.н,л=р (Рг)+( ду ) нт1+(Р)у-и волн в ~инлсмоп жидкости 481 1 зн С дрюо11 с~проны дифференцируя (20,12) по х и исключая при гомощи (20,19) и 020.11), я р', получим: »г «у д2 двоР» 11сключая из (20,21) и (20 22) —, получим одно уравнение для определения р и'..
Обозначая р и„'=М, (20.23) получим для М уравнение деМ д2М А (У) ™ + д (у) М = О, (20.24) где А(У)=, 2 ~ — + г» «!па 1 — сГ /а ~ яйТ х ( — '„'"' — —,— "„' )-;-' —,'", —,у(»,, 1) Г ~~' (20.25) 0 — р2» р — — /1Т Р Позтому «1па «Т х 1 «р 1 я (20Л1) и обозначая « = — (, получим: ~ги где аз = т р я1»Т драт скорости звука. Выражения для А могут быть значительно упрошены. Заметим сначала, что Ь "' жег быть выражено через р и Т; 482 ВОЛНОВЫВ ДВ1ЯКГ1Н1Я НДСЛЛЬНОЙ ЖНДКОСТИ !ГЛ. Ч111 (20. 26) (20.27) Наибольший интерес представляет случай, когда Т линейно от высоты (Т =сопя!) н в то же время Т мало ъ1еняется по нию со своим средним значением Т,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
