Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 77
Текст из файла (страница 77)
что 1 1 в' В Ф (в!) — — с05 — ! ( —, г2 2! где  — определенное число. Таким образом, имеем приближенное равенство 1 н Ф(е!) = СОБ —. г'2 2 ОБЩ11Н ФОРМУЛЫ 497 4 22| и значит ь) 2 11д|2 812 Ф(г, О, 1).— — ~ соз ь ° (22.19) 2~ 2грг2 4)г 2яргз 4г Для профиля волны найдем уравнение | лт(г,О,Г) 112 7722 йлгз А12 «(г, 1)= — — ' ' соз — — 5!ив л 02 21'2пргз 4г 8У2пвг' 4г или, оставляя только второй член, более важный для больших ~1214г, получим окончательно следующее приближенное выражение для профиля волн: — 51П (22.20) 87 2грг' 4г Приведем еще выражения функций р(г, О, 1) и «(г, 1) через бесселевы функции.
Вследствие (22,15), вспомнпая определение функции Г (х), имеем; ф(12) = / Соафз ( СО52~)[Х~ 2. / С05 0С)1 ( — Соз 17)2ЕФ пбо,У'(х)= — /1(х). Произведя в обоих интегралах подстановку — в 1 В 5|и~у= )г 2 в1п —, со517 йр= — соа — 210, 2 122 2 в со52~0 = 1 — 2 жп2 — = сов 0, 2 получим: м2 вя ( ')= соз 10у ( — соз'Ф) г741 = — ( соз — Уо ( сов О) "0 0 7в 12 ) ' )Гиl .( ') '.= т~' созз У ~ — со52 У~оо== ( созйсоз — /1( — сов 8)п0= | ! ЗВ соз — + соз — ),/1 ' — соз 0) д10. 2У2, ~ 2 2 «2 322 цю КОРАБЕЛЬНЫЕ ВОЛНЫ 409 е51 Вслелствне формулы (.(Г, 4)= — —— 1 дт(г, О, Г) дг и пользуясь форчуламп теории бесселевых функций, легко найдем лля профиля волны следующее выражение: (24, Я1 у (Ч— -"~' Ю' Ю ' Ф' (И~- 4 4 4 Т вЂ” г 11 (г)~ ( — ) — 1 .,( — )1, (тг))).
144.24) 4 4 4 Эти формулы дают решение залачн, пригодное при любых значениях ы, 3 23. Корабельные волны. В прелыдущем параграфе мы получили для поверхности жидкости, возмущенной приложением в опрелеленной точке ее некоторого импульса давления, приближенное выражение: П444 Гг — — 5!п — . (23. 1) 8)Г2П4г4 4г С1 Мы применим этот результат д к нахождению вида корабельных р" 1юлн, производимых кораблем при лвижении его на очень глубокой Рнс.
173. воде с постоянной скоростью с. При этом волиообраз)юшее действие корабля можно заменить действием двух импульсов лавления, пронзволимых его носом и кормою (от носа и кормы образуются самостоятельные волновые системы, которые интерферируют друг с другом). Мы ограничимся, однако, еще более простым случаем и рассмотрим только один возмущагоший центр, который примем перемещающимся по оси Ох в отрицательную сторону со скоростью с. Пусть в момент времени 1 = 0 этот центр находится в начале координат. Обозначим через ~ время, которое потребовалось возмущающему центру, чтобы переместиться из поломгения О в положение О (рис. 173); тогда, очевидно, ОЯ = сг. Волны, исхолившие из возмущающего центра, когда последний нзхолился в положении (,4, имеют в разных местах разную ллину и разную фазу.
Рзссмотрим какую-либо точку Р. Волны, пришелшие в эту точку и испущенные возмущающим центрол1 в положении О, будут налагаться на волны, получившиеся в те моменты, когда возмущающий центр занимал другое положенке на оси Ох. 324 500 волновыг. движения идеальном жидкости 1гл нш г Итак, результирующая амплитуда волны в точке Р может произойти только от воли, созданных прн положениях возмущающего центра, близких к тем положениям О, для которых Н вЂ” = — г/1 — —, г(г = О, Гт 21 (23.2) Но очевидно, что ОО' = с Н, и если ввести угол ООР=-0, то из,Л, гесс'с/" (гнч" ~ Рг4'): г(г =- с сов 0 ~й. Поэтому уравнение (23.2) дает: 1 г.= — ст соз 6.
2 (23.3) При помощи этого уравнения нужно определять те точки которые дают главную часть волнения в точке Р. Это проще всего сделать геометрически. Для этого отметим (рис. 174) на оси Ох положение Я, точки Я, разделам отрезок ОЯ, пополам и середину его обозначим через М,; тогда в /1 М,РО, будет Мфг —— ст/2, РО,= г, но тогда формула (23.3) показывает, что ~ М,юг=90=. Эти волны, создзнные возмущающим центром в различные моменты времени, будут иметь в точке Р, вообще говоря, самые различные фазы и потому будут взаимно уничтожаться. Может, однако, случиться, что найдется такое положение О возмущающего центра, что волны, созданные им в любом, соседнем с О, положении О', будут иметь в точке Р ту же сзмую фазу (или почти ту же самую), что и волны, созданные в положении О.
Такие волны взаимно сложатся и дадут в точке Р некоторое возмущение. Поэтому для отыскания результирующего возмущения в точке Р нужно рассмотреть те положении О возмущающего центра, при которых фазы волн, созданные в О и в соседнем положении Я', будут в точке Р совпадать. Из формулы (23.!) видно, что для этого нужно, чтобы в точках () и О' аргумент уР/г имел бы одинаковое значение. Так как г = РО, а Г = — , то г и г зависят от положения Я. Осг' с Если в точке О', соседней с точкой О, величина атз/г должна им~~ь то же значение, что в точке О, то дифференциал этой величины в точке О должен равняться нулю: 501 КОРАБЕЛЬНЫЕ ВОЛНЫ А Ы1 Соединим точки О и Р прялгой линией и разделим ОР в точке С пополам; прямая СМР соединяя середины сторон ОР и ООг треугольника ОРОг, параллельна стороне РЯг этого треугольника и. значит, перпендикулярна к РМР Поэтому угол СМ,Р есть прямой.
Значит, если на СР как на диаметре мы построим окружность, то последняя пройдет через точку МР Так как точка М, лежит еще на тси Ох, то мы получаем следующее правило для определения отвечающего точке Р положения центра возмущения: надо соединить Рис. 174. точку Р с точкой О (настоящим положением центра возмущения), разделить ОР пополам в точке С, построить на СР как на диаметре окружность, найти точки пересечения М, и Ма этой окружности с осью Ох (по которой движется центр возмущения), тогда, откладывая отрезки МгО, = ОМ, и МЯ,= ОМ,, мы и получим искомые Рис. 175. положения 4), и Я, центра возмущения. При этом РО, перпендикулярно к РМ, и Р(;Ге перпендикулярно к РМа. Точек пересечения М, и М, может оказаться две, одна или ни одной Одна точка пересечения будет в том случае, когда ось Ох будет касаться окружности СМР (рис. 175); из чертежа видно, что МВ 1 зто будет лишь в том случае, когда з(п~ МОР=--~ — = —, т.
е. если ~ МОР=-19'е8'. Если ~ МОР превосходит эту величину, то волновые движения идглльноп жидкости !гл, чи — = а = сопз!., е,са 4г (23.4) 1ле г — расстояние точки Р до соответствующего центра возмущения гс1 (нли Яз), а 1= — !илн — 7!. При этом каждому поло- 00~ 7 00«т с 1 с женцю точки Р отвечает свое положение точки О, и свое !. Значит, Г и г будут функциями от положения точки Р, которое мы будем характеризовать горизонтальными координатами х и у.
Проще всего найти кривые постоянной фазы в параметрической форме. Из рис. 174 ясно, что ОМ,=М,О1= —, М,Р= — з!п0, ~Я,М,Р= — ' — О, 2 ' х = ОМ1+ М,Рсоа ( — — 9) = — — (1 + гйпа О), сг у = — М Р з! и ~ — ' — 9) = — — — а!и 9 соз О. 'т2 ! 2 Но из уравнений (23.3) и (23.4) следует, что для кривых постоян- ной фазы а: КР сг с'а =а, — = — соз0, !23.5) 2са сов З ' 2 значит, уравнения кривых постоянной фазы имеют вид с~« с'а х = — соз 0 !1+ з!па 9) = — (5 соз 9 — соз 30), 4д с'а с'а у = — — созе 0 з!п 9 = — — (з!п 0 + з!и 3 О).
4д !23.6) Как видно из этих уравнений, все кривые постоянной фазы подобны, причем центром подобия является точка О. Достаточно поэтому построить одну из кривых. Внд этих кривых показан на рис. 1?6, Докажем, что часть ВА кривой получается прн изменении 0 от 0' до 35' 1 6', часть АО при изменении 0 от 35" 16' до 90'. Часть кривой ВСО получается при отрицательных значениях 0. Для доказзтельства рассмотрим опять рис. 174. Из него видно. что всем точкам Р, лежащим на одном и том же радиусе ОР, составляющем с осью Ох угол р, отвечают два значения угла 0' ие будет ни одной точки пересечения окружности с осью Ох.
Таким образом, волны чувствительной амплитуды образуются только в угле раствором 39" 56', биссектрисой которого является ось Ох. Перейдем теперь к отысканию вида корабельных волн. Для этого мы найдем кривые постоянной фазы, т. е, геометрическое место точек Р, для которых фзза будет одна и та же (например, такими кривыми являются гребни волны или впадины). Для такой кривой фаза постоянна, т. е. а аз1 коглввльныв волны обозначим их через 0, = / ОМ,С и 0а= / ОМаС, Если угол 3 очень мал, то 0, близко к 90* и 0, близко к нулю, При увеличении угла 3 угол О, убывает, угол 0з возрастает; эти углы О, и 0 становятся равными друг другу прн 0 =19 28'.
Из рис. 175 видно, что в этом случае 0, =0 =~ ОМС = — ~ МОС= — (96ь — 19'28') =-3~'16'. Итак, через взятую точку Р (рис. 176), лежащую внутри угла ЛОС, проходят две кривые ОА'РВ'С' и ОРАВС рассматриваемого семейства; величины соответствую- к ~них фаа надо вычислять по формуле 123 А). Величина а принимает, по 10 0 гз' определению, экстремальные значения в точках О, и О . В' Ю Очевидно, что при перемещении точки О от Ю до точки О, а будет возрастать от 0 до ан при дальнейшем же перемещении точки Я из положения 1), в Оа величина а будет убывать от а, до аа, Итак, Рис.
176. д, ) вы Но очевидно, что меньшее значение фазы аа отвечает кривой ОА'В'С'. Поэтому точке Р, рассматриваемой как точха кривой ОА'РВ'С', отвечает значение 0ж а той же точке, рассматриваемой как точкз кривой ОРАВС, отвечает значение Оп Отсюда и вытекает, что при перемещении точки Р по части кривой ОРА угол 0 будет меняться от 90' до 35'16', на части же АВ угол 0 будет меняться от 35'16' до 0'. Точки О, А и С являются, как можно показать, точками возврата первого рода. Итак, при движении корабля образуются две системы волн: диагональные —- аида ОА и ОС и поперечные — вида АВС; первая система происходит от положений возмущающего центра типа Он вторая — от голоженнй типа О;1 обе эти системы накладываются друг на друга и образуют в совокупности корабельные волны.
Отметим еще, что при 0=9 будет х=ОВ, следовательно, по формуле 123.6) ОВ = —. Ю Отсюда следует, что расстояние между двумя соседними гребнямп поперечных волн будет равно 2пса)д, так как двум такич гребням отвечают значения фаз, разлячающиеся па 2п. Поэтому длина волны для этих поперечных волн будет: Х =- 504 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕЛЛЪНОЙ ЖИДКОСТИ ЩЛ. Шп а скорость их распространения будет )/д1/2г= с, т. е. скорость распространения образующихся при движении корабля поперечных волн совпадает со скоростью корабля.
Этого, конечно, и надо было ожидать. Отметим в заключение, что примененный нами метод дает только приближенную теорию, воспроизводящую лишь главные черты явления; на более детальном исследовании мы не останавливаемся, $24. Стоячие колебания тяжелой жидкости в сосуде. До сих пор мы предполагали, что жидкость простирается в горизонтальном направлении во Все стороны до бесконечности, Теперь мы рассмотрим движение жидкости в какой-нибудь ограниченной области, происходящее под действием силы тяжести.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
