Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 75
Текст из файла (страница 75)
В этом случае мы после того как дифференцирование по у выполнено, считать стоянным, равным Тн Тогда имеем зависит сравнеможем, Т по- (20.23) (20,29) Перейдем к безразмерным координатам х,, у,: (20. 30) х=х,Н, у=у,Н. Подстановка ш ег!и П г,,41 (20.3! ) приведет к уравнению — + —, + 8гщ =- О, дл! ду! (20,32) Если температура нашей струи на большом расстоянии вверх по течению Т не зависит от высоты (Т=О) и если скорость У тоже постоянна, то А и В будут строго постоянными.
В обычных условняк в атмосфере т имеет порядок т — 5 >( — 6 х — 1д 0,49,8 10! — 4 'к' 10 град(см! величина же — —. — ' — ' — ---.10 град см х Й 1,4 2,87. 10' Так как Т ж 250, то величина „имеет порядок 4 10 см а д!ПЗ -7 -1 ду д!П(У вЂ” 6 — 1 С другой стороны, — имеет порядок !О слг, ибо вели пша У ду увеличивается, вообще говоря, с высотой вдвое на расстоянии порядка 10 км. Обычно в атмосфере (l имеет порядок 10' см сек ', в то же время а 3,3 ° 10 см сек '.
Поэтому ((//а .) =10 з и мы можем с большой точностью отбросить в А и В все члены, содержащие (лг/а-' (и производные от них). Ориентируясь еще на д!П(У порядок величины, можно записать приближенно дт 484 ВОлнОВые дВижения идейльной жидкости ггл. чн1 ЧТΠ—,' =Нд~ — ', ~1 — — ')~ +( — '! — "~-) . (20.3У) и=со !.
Теперь (20.32) булет уравнением с постоянными коэффициентами н решение его может быть легко получено. Введем вспомогательную функцию 8(х1, у,) из равенства е(х1, у,).=5(х1, у,)-(-(Ур (О)(! — — ' — ) — „. (20.38) 1 — «/ «х, Функция О удовлетворяет неоднородному урзвнению — -!- — 1+ ЗВАЛ.= — УР (0) ~1 — -- — ' — ~ ~ з + У вЂ” ~ (20.39) дхз1 дЭ1 ~ 1 — Л ~ ~ дзх, дх1 ~ и однородным краевым условиям: прн у,=-О при у,= — ! Ищем решение для 5 в виде (20.40) (20. 41) дЭЧ 5(х,, у,) = В 8„(х1) з!и; „ун (20. 42) Одночленное решение уловлетворяет условию (20.40); для того чтобы оно удовлетворяло условию (20.41), необходимо, чтобы «„, определялось из соотношения ь Тх 'зТВ' (20. 43) В интервале О ( у, (! мы можем, с другой стороны, прелставить (lр (О) ~! — ) в виде ряда у.
СО ~р (0)(1 — !'Л)=~с.з Т.уг (20.44) В=О где Й 5!з !л 1+ — „сох тл — Л л тл мя 2тл 2тл (20,45) Итак, залача сведена к решению однородного уравнения (20.32) с краевыми условиями (20.34) (неоднородное) и (20.35) (олноролное) В качестве примера доведем до конца решение для случая, когда волны в сжнмламои жидкости 485 '!! ч Вставляя (20.42) и (20.44) в уравнение (20.39) и сравнивая члены прн э!п -(,уп получим обыкновенные лифференциальные уравнения для 5, (х,): — †.+ (8 — .( ) ~ =- — — + 8'— Л8лт.г /!(22881 г ! В метеорологически интересных случаях ветяч»на гг будет значпгельно меньше единицы, Если принять Тв — Т = !О', Н=10а сж, !о мы получим гг =0,02.
Это значит, что корни трансцендентного уравнения (20.43) булут близки к корням уравнения !8 Т .= 0 н можно считать = пп'). ! !! С другой стороны, величина ог имеет в шпересующих нас случаях порядок !От. Так, например, по (20 33) при (/ = 10з с м(сек, Н = 10а ем. ; == 6. !О. а ем)град, Т, == 250', а= 1,4, л =-980 см(се!с' мы получим 8з;-120. Это значит, что коэффпциенг ог — (,', для нескольких первых значений и будет положителен, но, начиная с некоторого номера и, становится отрицателен (если 8г=- !20, то прп л =- !. 2, 3: бв — -(в ) О, а прп л.
4: 8т — Т-',( 0), В этом существенное отличие случая сжимаемой бароклннной а!мосферы от случая несжимаемой жилкости. Последний мы можем и.!лучить. формально полагая р =- сопя(„а:= оз, Т =- д/Й (ср. уравнен!!Я (20 19) н (20.'23)). Но тогда по (20.33) бУдет о=О, пРичелг Тв опреде.штся по-прежнему из (20.43), тле л:= (Уг/дН. Теперь, ч!обы - было положительным, .(, до!окно быть чисто мнимым: )в =гГ,, уравнение (20.43) пам теперь даст !8 Г„=- ггГв, и если и < 1, это узавнение бу.шт иметь одно и только одно решение для Г„. Решения !20.46) булуг существенно различны для ов — Т- ''> 0 и !ля",а- — г с О. В первом случае пам яр~!летов иметь дело с пе!в рподпч.скнми, во втором — с экспоненцнальными функциями. И в том и в дру,ом сл)чае мы должны откинуть решение однородного уравнения (20.46)," в первом случае потому, что по смыслу задачи возмущение лолжно отсутствовать далеко перед препятствием (прп х, = — =с), во втором — потому, что решение должно быть о!раннченным при х, = — + со.
Таким образом, нам прилется иметь ') Отметим попу~но, что если бы лгы заменили в постановке задачи свободную поверхность струи твердой стенкой, то мы лолжны были бы нос!авкть в качестве второго краевого условия вместо (20.18) краевое услов'!с (",,), и — — О, т. е. вместо (20,35) условие (ш) ! — О. Прн этом равенс "во;„= !ш долвню будет выполняться точно, а в (2044) н (20.45) нал надо волож!и'ь л = 0 486 волновыи движения идеальном жидкости !гл.шп дело лишь с частным решением неоднородного уравнения (20А6), которое легко определяется методом вариации произвольного постоянного.
Решение, затухаюшее при х, = — со, будет иметь вид к, Я (х) — ь / з~п]~г82 72(х — Ч]~ 0 182 ()] (8 У— та -со (20. 47) если У ь Т'-„, и +ы ( ) сь / ) гл /~1 Г/ ~ НУ(8) ( 8т ~(6)) ( (20.48) если У ~ Та. Примем, что (2)х, — (~Ы/г(х1)к, - - = (И Е/г(х1)ю = О. Тогда, выполняя интегрирование по частям в (20,47), получим для 82> 72. Х 5ь (х,) = — с„— „— с„Т'„ / соз ~~/Р— Т'(х, — е)] Е(8) Д, (20.49) ~! Аналогичным образом по (20.48) для У < ф х, 1/ 2;,2 — е' '" ( ' ) Л(!)Ж, (20.50) Подставляя Я„в (20.42), а затем в (20.38), принимая в расчет (20.44), (20.31) и (20.24), получим решение нашей задачи. Если й очень мало, то Т„=ип, с„=(2/ии) (/р (О), и мы получим: Н /е о'(хп у,)= — и(/ — е " ьл ] г„пте„(х,)з1пьаун (20.5!) р (О) — ( — -г)г ъ~ л 1 где для л (8/к те„(х,) = 2 ] сов[~/8т — и'и' (х~ — 8)] Л(В) А, (20.52) 4 ая волны в сжимаемом жидкости а для л ) в/и ю, (х,) = ~ е- г ""-"' ь' -о 2(с) А — ~ ег""* '* Сч-И Е(И) А.
(20.53) к, Найдем еще уравнения линий тока. Пусть речь идет о линии тока, расположенной на высоте у,=л далеко слева от препягствия. Уравнение такой линии тока будет: у, = И+ е (х,). Тогда можно написать: $ т( ' у)1ю в+в= лх ~ «( ' у)1у, «ем Отсюда, с точностью до малых второго порядка (в мало), получим: е(х,) = — г о'(хн Ь)ахи Чтобы лучше представить картину обтекания, рассмотрим простой пример. Пусть препятствие имеет в сечении плоскостью (хи у,) вид прямоугольника, так что при — со-<х, < — Е л =О, при — Е <х, <Е Е(у1)=Я,=совий (2054) при Е <х, < ° г=о. Тогда (20.52) даст члены вида (20.55) где 3 = у'ьв — итпв . С другой стороны, члены, отвечающие (20.53), будут иметь вид тв„(х,) = — — вй (Ь„Е) е л, 22~ ах и тв,(х,)= ' е вв вй(б„х), л 2г, ви (а„Е) те„(х1) = ' " е в, д — со-<х, < — Е при (20.56) при — Е <х <Е Е <х, <оо при где Л вЂ” ~/пвпв у при — оо <х,< — Е ю„ при — Е <х, <Е тв„ при Е <х,<оо тв„ (х,) = О, (х,) = —.' вйп 3„(х+Е), ьп (х,) =- — в|в (В„Е) сов (3„х), 4е, ~в 488 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКООТ!! !ГЛ.
Ш!! Мы видим, что члены типа (20.56) будут быстро затухать как с наветренной, так и с подветренной стороны препятствия. Как легко видеть, в нашем случае симметричного по отношению к оси У препятствия этн члены дают симметричный по отношению к осн Г вклад в картину обтекания. Наоборот. члены типа (20.55) (малые номера л) не дают никаких возмущений с наветренной стороны, но порождают незатухающие периодические возмущения с подветренной стороны. Эти возмущения носят название волн подветренной стороны. Подобные возмущения приводят в природе часто к образованию позади хребта параллельных гряд облаков (там, где вертикальные токи положительны, возникают дополнительные условия для конденсации Влаги н облакообразования; там, где т (О, имеем нисходящие токи и уменьшение облачности), которые неподвижно стоят, несмотря на сильный перпендикулярно к ним направленный ветер.
а — 1й к — 1 Л Мы предполагали, что — — — / > О. Если ' — — ((О!)— ъ р волн типа (20.52) не будет и все решения для та„(у!) будут иметь характер (20.53). Волны подветренной стороны пропадают. В общем случае, когда (/ зависит от высоты, будет иметь значение кривизна профиля скорости.
Если (/ (О и — — / > О, мы будем иметь е х — 1 д В»« вновь 8з > 0; наоборот, если (ув > 0 и достаточно велико, то даже при — ' — > ( может оказаться 8 (О. я — 1 й 2 к »с 5 21. Упражнения. 1. Найти скорость распространения и период колебаний для океанских вали в 145 м длиной, Ответ. с = 15.05 м/сек; « = 9,64 сек. 2. Океанские волны перемещаются .са скоростью 1О м/сек.
Найти длину этих волн н их пернал. Ответ. 1 = 64,05 м; « = 6,41 сек. 8. Заметили, чта поплавок поднимается н опускается на волне пятна. дцать раз в минуту. Найти длину волн н скорость нх распространенна, считая глубину жидкости очень большой.
Ответ. 1 = 24,98 м; с = 6,25 м/сек. 4. Вычислить приходящуюся иа длину волны кинетическую и потенциальную энергию прогрессивных вали длниы 1, происходящих пал действием силы тяжести на поверхности раздела двух жидкостей, глубины которых Л !) Эта отвечает случаю так нззываемага «сверхалнабатнческага» градиента 1. Заметим, чта если бы прн решении задачи обтекания учнтывалвсь влажность воздуха н конденсация водянага пара (вазннкающая прн подъема несущего валяной пар воздуха), нам пришлось бы видоизменить уравнение притока тепла типа (20.4) за счет введения скрытой теплоты конденсации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
