Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 71
Текст из файла (страница 71)
ВолноВые ЛВижения иделльнои;кидкости 1гл. чнг Рассмотрим еше вопрос о том, как расположится жидкость при равновесии, т, е. Каковы будут тогда координаты хе и уп частицы с лагранжевыми координатами а и Ь. Напишем уравнения трохоиды, отвечающей постоянному значению параметра Ь: х =- а + Йе" 21 п Фа, у = Ь вЂ” )теьь сов Ьа. Интеграл Ю = ~ (у — Ь)аьх представляет площадь, ограниченную трохоидой и прямой у=Ь (части плошади над этой прямой считаются положительными, под нею — отрицательными). Так как ~2х=(1-+(ь)теььсовда)г(а, то 8 = — ~ )теьь сов Ьа (1+ а)геьь соз 12а) аа = а = — ьсеьь ~ сов(ьаг(а — Ь1(вевьь ~ соввйааа Очевидно, Гыпаапь МпИ з!В2п соз йа аьа = ~ — ~ = )и а а = — =О, е сове йааьа = — 1 (!+сов 2йа)г(а = 2, р А значит, Щве2ьь кр2е2ьь Х 2 Поэтому, если жидкость, лежащую под рассматриваемой трохоидой, представить находящейся в состоянии равновесия, то уравнение границы будет, очевидно: ,,)ь2Е2ЬЬ уь Х В частности, при Ь= О получим, что уравнение свободной поверх- ности жидкости при равновесии будет: паз Уе= — — 1; 455 энеРГия волн Значит, гребни волны лежат выше поверхности спокойной жидкопгго стн на величину /1+ Л, подошвы же лежат ниже поверхности .)р спокойной жидкости на величину /с — — ' Что же касается зависимости между хо н а, то легко видеть, что г/хо=г/а; в самом деле, если рассмотреть в плоскости (а, Ь) элемент плоскости т/аг/Ь, то ему будет отвечать площадь в плоско- сти (х, у), равная Е) (а, Ь) ' ~ г/аг/Ь=(1 — ЬоР,'еыо)г/аг/Ь, (16.4) и площадь г/ходуо при равновесном положении жилкости; так как зти площади должны быть равны, то '/хо г/уо = (1 — й 'К 'ею о) г/а г/Ь, г/уо=(! .
/е/Ь вЂ”.. (1 — Йтйоеыо)И в!! 2аеы~ 1 значит г/хо — — г/а. Отметим еще, что площаль, заключенная между двумя соседними трохоидами и двумя вертикалями, отстоящими друг от друга на расстошши, равном Л. будет по формуле (16.4) равна ~ХЬ I — — 'у г/а =(1 — /гтйое"о)ЛГ/Ь. ,у Е! (а, Ь) о (1 6.5) Очевидно, что высота рассматриваемых волн равна 2/с. Так как й ~(1//е =Л/2к, то эта высота никогда не может превзойти величины Л/и — О, 32Л. Укажем еще, что предельным профилем волны у нас является пиклоила, имеющая точку возврата первого рода. Теория показывает, что безвихревые волны имеют предельный профиль другого вида, а именно: он должен иметь угловую точку, в которой сходятся симметрично относительно вертикали две дуги, составляющие одна с лругой угол в 120'! при этом высота этой предельной волны будет гораздо меньше, чем в случае трохоидальных волн, не достигая лаже 0,15Л.
й 17, Энергия волн. В этом параграфе мы рассмотрим вопрос о том, из каких частей слагается энергия волн и как она передается от олной части жидкости к другой, Рассмотрим сначала волны несжимаемой жидкости, происходящие под действием силы тяжести. Тут энер~ия волн будет слагаться нз кинетической энергии движения 456 Волновые лвн!кения идеАльнОЙ жидкости 1гл. ч!н отдельных частиц !кидкостн и из потенциальной энергии, происхолящей от того, что центр тяжести жидкости при ее волновом движении лежит выше, чем при равновесии.
Рассмотрим сначала безвихревые пернолические волны длины )ь на жидкости конечной глубины и (при й= со получаем случай бесконечно глубокой жидкости). В этом случае следовательно, живая сила, приходящаяся на длину )., будет равна где Я обозначает заштрихованную на чертеже (рис. 169) область (толщину жидкости в направлении, перпенлпкулярном к плоскости Охг, т. е.
в направлении ! -д оси Оу, считаем равной единице). в, 4 д Применяя формулу Грина, получим: 1 1' А!э 2Р./ тДл где 1. обозначает контур площади Я. ':ж/',. и — внешнюю нормаль к 1.. Но интегрзл по С0 пропалет вследствие граничного условия др(ди = О. Значения функции ~р в соответствующих точках вертикалей 00 и ВС Рнс. !69.
будут вследствие периодичности движения одинаковыми, а значения дт1ди будут отличаться только знаком (так как нормали в соответствующих точках 00 и ВС направлены противоположно друт лругу), значит, ~р — 11з = О; дт дв овтвс наконец, на ОАВ за направление внешней нормали можно принять направление оси Ог, н за 1(з можно принять с1х. Итак: Т= — р 1 !р — 11х. дт 2 ! дг з (17.1) Потенциальную энергию.
приходящуюся на длину )ь мы вычисли ! следующим образом. Проведем две вертикальные плоскости, перпен- ЭНЕРГР!Я Волн а гп а значит, потенциальная энергия, приходящаяся на длину )ь будет: ь У= — рд / ьзг(х. 1 2 о (17,2) Так, например, для стоячих волн на жидкости конечной глубины 7з мы имеем !см. Э 11, формулы (11.4)): ал сЫг (з+ Ь) ~р = — яп йх соз а1 (аз = й'д Й кй), сь ад ь= аяпдхяпа1, следовательно, производя вычисления, имеем: — ( + ) япйх созаР. дз асила Т= 2 Р-,сдав соз аг ( з(~ нхцх 2 Рой'2 сов~а е ибо Х А'7зЙМ=аэ и / япз7зхг(х= —. 1 2 ' а Итак: Т= — соз а1. разф 4 (17.3) Аналогично вычисляется У= —,рдазз1пзат 1 япзйх~(х= ~ ~ япааб (17А) Отметим два обстоятельства: во-первых, сумма кинетической н пот отенцизльной энергии постоянна: дикулярные к оси Ох з авух точках Ф н А и пусть М=г7х.
Тогда над осью Ох будет находиться объем жидкости ьг(х, масса этого объема будет рь1х, центр тяжести будет лежать на высоте «/2, следовательно, потенциальная энергия силы тяжести будет равна (по известной формуле У=туг) г2 рл. — л'х, 2 волновыв двнжнгия идеальном жидкости 1гл.чггг во-вторых, кинетическая и потенциальная энергии все время переходят друг в друга, причем средние их значения, взятые за промежуток времени, равный одному периоду т = 2п1е, одинаковы, ибо соя ее лгг = / 5!па ег пг = — ° о о Для прогрессивных волн мы имеем: т=— ал св л(а+ а) а спал з(п (Ьх — Ы); ь = а соз (Ьх — ег); и вычисление, аналогичное только что приведенному, дает: Т=Ъ'= ге 4 (17.5) так что здесь остаются постоянными и кинетическая и потенциальная энергии по отдельности.
В случае трохоидальных волн потенциальную энергию можно вычислить таким же образом. Мы поступим, однако, иначе. А именно, рассмотрим две соседние трохоиды, отвечающие двум значениям Ь и Ь+Ю. Площадь, заключенная между ними и двумя вертикалями, отстоящими друг от друга на расстоянии )„ равна 8 —.. Х (1 — Ьзгсзеыь) г(Ь. Центр тяжести частиц, составляющих эту площадь, лежит, конечно, на прямой у = Ь, так как всякой частице, лежащей над этим уровнем, отвечает такая же частица, лежащая под ним.
В равновесном же положении эти частицы лежат на прямой )12 2ьь у=Ь— Х Значит, потенциальная энергия этого слоя частиц равна ,~;барж ур), (1 — ИЖзеыь) — ' Ю, (г — г рпгсз / (е2иь лз1с земь) г(ь ц врез ~ г 1 лтйгт ~2л 4л ) =- '"" ~(1 — "„~ ~, (17.6) а полная потенциальная энергия жидкости, рассчитанная на длину волны. будет равна 4 |а! ПЕРЕНОС ЭНЕРГИИ Скорость каждой частицы равна, как мы знаем, га = ггеа~а, следовательно, кинетическая энергия, рассчитанная на длину волны, будет: т — р)зае Л ~~ е' ' (1 йа(Рте») г(Ь вЂ” — ~ ~1 — †' -] . (1 У,У) 1 Лурй~ г 2аа)ра 1 2 4 ь рл 1' Опять получается равенство кинетической и потенциальной энергии.
й 18. Перенос энергии. Возьмем прогрессивную волну, например на бесконечно глубокой жидкости, так что аа = — ела з1п (ах — ар); ад а о = — — = — ее*сов(йх — ар)= ааеа'соз(йх — ар); дт ада дх а тогда давление определяется по формуле (2.12): а — Ра дт = — — — дз = адеаа соз(лх — а1) — 4,». дг Возьмем теперь какую-либо плоскость, перпендикулярную оси Ох, например плоскость Оух, и вычислим, какая энергия переносится волнами через эту плоскость с отрицательной стороны оси Ох на положительную. Вычисление будем вести для полосы этой плоскости, ширина которой в направлении оси Оу равна единице. Возьмем элемент а(я этой полосы и подсчитаем работу сил давления на этот элемент за время г(г; так как сила равна р да, а проекция скорости на направление силы есть о„, то проекция элементарного перемешения на то же направление будет о„г11, и значит, искомая работа будет равна Ро„дх Ит =1а'пайеаа' сова(йх — ар)+(Рв — Рдг) асею соз (рех — Я) Ыг Л.
За один период е=2п1а работа этих сил давления будет равна аядараюа Г(Х вЂ” Паедрама да а а на всю рассматриваемую полосу эта работа будет.' (Р катар ~ е2Фа,(х алая паайра аадрР. 2а 4я 4 Работа же, производимая в единицу времени, будет равна аапр 1 а'др 4 а 4 46о волновыг. движения ндвлльноп жидкости (гл. юн Этой формуле можно дать интересное истолкование. Введем для этого вместо с групповую скорость (7 по формуле с = 2(7. Тогда мы получим: 2 В', = — а'лз(7. Но — а ь"р представляет приходящуюся нз единицу длины полную 1 з энергию волн; мы видим, таким образом, что энергия волн переносится со скоростью, равной групповой скорости волн.
Этот результат имеет место н в других случзях волновых движений. Механизм переноса энергии легко обьяснить для случая трохоидальных волн. Рассмотрим какую-либо вертикальную плоскость РЯ (рис. 170), и пусть какая-либо частица пересекает эту плоскость; в течение одного периода эта частица пересечет плоскость дважды, ее кинетичеРис. 170. ская энергия при этом по- стоянна, следовательно, через плоскость РЯ пройдет столько же кинетической энергии в одну сторону, сколько в другую; далее, дзвление для одной и той же частицы тоже все время постоянно, следовательно, работа сил давления за все время одного периода уничтожится, ибо в точке А будет совершаться такая же отрицательная работа, какая в точке В совершалась положительная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
