Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 67
Текст из файла (страница 67)
дт ! дет д7 ' л дее которое по условию должно выполняться только на поверхности 7=-0, будет выполняться во всякой точке жидкости. В самом деле, функция дт 1 д'т ф= + д7 7 дГе Выясним значение величины г,г; из уравнения (9.4) следует, что / Г(х, 0)ИХ=О. Таким образом, получаем следующее физическое толкование наших условий: в начальный момент поверхность жидкости всюду горизонтальна, за исключением области вблизи оси 07; здесь мы имеем в начальный момент сильно поднятую поверхность жидкости, причем объем поднятой жидкости равен Я (если считать толгцину жидкости в направлении оси Оу, перпендикулярном к плоскости движения, за единицу).
Кроме того, начальные скорости всех частиц жидкости равны нулю (ибо Г (х) = 01. Требуется определить дальнейшее движение жидкости. Мы будем считать число е бесконечно малым, а следовательно, функцию г(х) бесконечно большой; это, конечно, физически невозможно, но зато сильно упрощает вычисления. Нужно только иметь в виду сделанное упрощение и при истолковании полученных результатов применять формулы с осторожностью. При сделанных допущениях формула (9.11) принимает вид е',(х, 7)= —,+, г г" (;.)г1е= —,+ и нам надо найти решение ~у(х, 7, Е) уравнений (9.!) и (9.2), для которого 43О волновые движения иделльнон жидкости 1гл. шн является, конечно, решением уравнения Лапласа, ибо ЬФ= — + — — =-О; дат 1 деат дг е дг с другой стороны, при г = 0 функция Ф (х, л, Е) равна нулю, поэтому Ф (х, г, г) тоэкдественно равна нулю.
Итак; де дт дте "дх' (9.13) оэьт е л дат д ле'В а л д" Гдт'1 — ='-"' — — — ='-')'" — Р де~~ длл дГвле' де~ (, де / Воспользовавшись формулами (9.12), мы получим: Поэтому искомое решение есть Яйс %~ йЧ'" д" Г ~(, ~, )= — ~~( — )" —,— — — ~ — — — 1.
(9.14) в ~ю~ (2л+1)1 дхл (ха+хе/' а з Найдем, во что обратится р(х, л, 1) при в=О. Так кзк, с одной стороны, х хз хг = —; — —,+ — — ... (9.15) хе + е ! лг 1 хя х4 хз х' 1Г1+ — 1 х'/ и, с другой стороны, мы имеем ряд Маклорена по степеням гн г ~~ г" /д" г х'+х1 .ГМ л1 (,дхь хз+л') з' п з (9.! 6,' то из сравнения (9.16) и (9.16) получим; [ (' ~)..= дэь-~1 1 — — =( — 1)ь(2й+ 1)1 дхэа"' (х'-(-лг/~, з хвьее Будем искать теперь функцию 9(х, г, г), разложенную в ряд Маклорена по степеням г: е(х, л, г) — м(х, в, 0)+ — ( — ) + — ( —,) + ... Но нз (9.13) мы легко заключим, что 43! ПРОФИЛЬ ВОЛНЫ 4 ю1 Поэтому, полагая в формуле (9.14) х= — 0 и о=2/е-!-1, найдем: »е»ы/4»4» ( !)»(2»+ гр(х, О, /)= — — — у — . (9.17) (4»+3)! хд~»~ 0 10. Профиль волны.
Перейдем к исследованию полученного Волнового движения. Мы ограничимся рассмотрением профиля волны и зех изменений, которые с ним происходят. Профиль волны определяется, как мы знаем, из уравнения 1 дт(х, О, /) е. д/ поэтому из уравнения (9.17) мы получим; поэтому, если ввести обозначение 4/» 2х (10.2) то Сядет О !Ф ФБ ( 1 1 3 ° 5 1 ° 3 ° 5 7 ° 9 Обозначим фуикщ/ю в скобках через Ф4 Фг Л1(Ф) = Ф вЂ” — + 35 3579 тогда (10 3) г, (х, /) = — Л( ~ — ) . (10.4) Ряд, дающий м(4»), сходится при всяком вь однако для численного вычисления этот ряд годится только в том случае, если Ф=~/»72х мало (аналогично тому, как это имеет место дли рядов сов х или з!их), Укажем другое вырагкение для Л((Ф), годное при больщих 4».
для этого рассмотрим функцию )( (4») = /ву/ + /е — + /з — + 3 3 ° 5 очевидно, что Л(( ) ч(х, /) = — 7 — ' . (10.1) ф ( 1)»(2»+1)1 а / (4»+ 2)! х»»Ф» »=о Но (2»-(-1)! 1 2. 3 ... 2» (2»+1) (41+2)! 2 4 6... 4»(4/г+2).1 3 5... (4»+1) 1 2»»»'! ° 3 5... (4»+1) 432 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ 1ГЛ. Ч! Н где знак 1гп обозначает мнимую часть комплексного числа. Ясно, что ~Х 1 1 2 ч 3 +ге„'А+12 +...,= + ии 2~)ги 3 ) 2)'и 2 Интегрируя это линейное дифференциальное уравнение, найдем: 2и — 2 ~'е у =- е 2 ~ ~~ ' пи+ С, 2)' и но у(0) =- О, следовательно, С = О, и значит: л у (е2) — Е 2 / 2 ° т' и о (10.5) е о й =2~~2, 12)' 2 2У'2 — 2иь е и и е мы воспользовались так называемыми интегралами Френеля 1 / соз О2 с(о = Е1п о2 ио = — гг,' =2У 2' о Поэтому у(~) = — ) 2ке ~ = ~ соз ( )+151п ( 4)~' и значит, М(е2) —; — соз ~ — — — ) = у —" — з(п~ — + — '.).
(10.б) 4) У 2 12 4)' ЕГ2 Итак, при больших значениях — имеем приближенную формулу 2х 01 и . !и п~ 01 Гй . !ЕГ2 ез з)п ( — + — ") = у — В1п ~ — + — ), (10,7) х)' 2е (2 4~ 2х)2 х я ~ 4х 4) Представим полученные результаты графически. Функцию ((х, г) МожнО рассматривать либо в данный момент 1, либо в данной точка Рассмотрим для простоты только случай очень большого е2, тогда при отыскании приближенного выражения для у (ы) можно в интеграле верхний предел заменить на ОО. Но тогда, произведя замену и = 2о2, получим: пяоаиль волны 4 ~01 оси Ох. Рис.
!62 представляет вид функции ч(х, г) в определенный момент времени. Так как С (х, 1) = —, М ~ — -~ = —, аМ (ог), где йгг ог =— 2х то при больших х и, следовательно, малых а надо вычислять О(х, г) по формуле (1О 4). Таким образом, чтобы найти точки, в которых профиль волны пересекает ось Ох, надо найти корни уравнения М (а) = 0; первый из этвх корней будет а, = 4,595. Чтобы найти гребни и подошвы волны, надо найти корни д". уравненив †' = О, или, что то дх же, корни уравнения — = М + огМ' = 0; оа первые из этих корней будут: а,' = 3,0736. а' = 3,36.
Ряс. 162. Лля малых х надо пользоваться формулой (10.7), которую могкно переписать так; )Г2Я „, !ог е1 = — а' а)п~ — + — )1 Р'. осо (2 4! отсгодз видно, что при малых х и, следовательно, больших ог получас~си ряд воли, которые будут тем короче по длине и тем выше, чем ближе рассматриваемая точка к началу координат. В самом деле, точки пересечения профиля с осью Ох определяются теперь из условия 2 4 — + — — пп (л — целое) нлн го т. е. о 12 л (4п — 1) .
р сстояние между двумя смежными точками будет: 1 ) 4ЛГо оог о (4п — 1 4п+3/ я(4п — 1)(4п+3) 23 Зоо, ноо 434 волновыь движвния идилльнон жидкости !гл щн и убывает до 0 при возрастании и и вь Амплитуда же волн растет до со пропорционально полуторной степени еь формула (10.2) дает: х=— аы 2м Следовательно, прн увеличеш1и ! определенное значение м перемешается с ускорением д'х л гца (о * ( (х, г) = — Л4 (ы) 1/м з(п ~ — + — '~, ф — . гч лт лх 1' 2лх (2 4) первой — при малых г', второй — при больших. Колебания уровня происходят, как видно, все быстрее и быстрее, причем амплитуда колебаний растет пропорционально времени. Рассмотрим движение в той области значений х и Г, где ((х, О определяется формулой (!0.7), 0 Так как ач 2х то Рис. 163. лм вы лх 2х' ' Но при изменении х на длину волны ) м должно изменяться на 4п (чтобы мы получили следующую волну), значит: 4л 3.Р— — т.
2х' ' (10.8) Точно так же при изменении 1 на период колебаний т и должно измениться на 4л, чтобы мы могли получить в данном месте прохождение следующей волны, значит: 4л Лà — — т. е. т х тем меньшим, чем больше само ы. Значит, при увеличении Г профиль волны будет растягиваться пропорционально квадрату времени, причем вертикальные ординаты будут в таком же отношении уменьшаться (так что площадь, огращшенная какой-нибудь волной, будет оставаться без изменения). Рассмотрим теперь рис.
163, представляющий (.(х, г) в данном месте. В этом случае пользуемся формулами 435 ПРОФИЛЬ ВОЛНЫ 4 ~В! Наконец, чтобы определить скорость распространения Волны, нужно проследить за движением гребня; но гребень отвечает все время одному и тому же значению м, следовательно, х и ! меняются по форму.те х=дгз/2еь и значит, скорость волны есть Лх Р! Н Так как то получается известная нам формула Отсюда видно, что групповая скорость будет равна 1 х У= — с= —, 2 Рпо очевидно и из формулы (10.8), так как групповая скорость обозначает скорость, с которой распространяются волны определенной длины, но л будет постоянной для тех х и г, для коих ! г не 2 — =1 — — = — с.
х / 4"! 1 Теперь становится понятной причина того, почему рассматриваемые волны дзига)отся с постоянным ускорением. Волны, больше продвинувшиеся по оси Ох, имеют большую длину и, значит, перемещаются с большей скоростью, поэтому ряд волн всегда будет растягиваться, а следовательно, скорость перемещения этих во.чн будет становиться все больше и больше, н они будут двигаться с постоянным ускорением. Последнее для гребня первой волны равно ьТФ;=0,32бд, для подошвы второй 0,120д н т. д. Таким образом, получается такая картина: начало координат испускает из себя в обе стороны бесконечную последовательность Волн, которые уходят затем иа бесконечность.
На самом деле, конечно, нельзя осуществить тот случай, который мы рассматривали, а именно первоначальное поднятие конечной мзссы жидкости на бесконечно малом участке оси Ох. Если бы та же самая жидкость была поднята на участке оси Ох длины 21, то наши рассуждения " некоторой своей части перестали бы быть верными. А именно, нюш! рассуждения будут справедливы лишь постольку, поскольку л'нны рассчатривземых волн будут велики в сравнении с 21, т. е, о1ношение 4-,.х' 2зх 21- = агг! Ф! 436 ВОлнОВые дВижеНия идеАльнОЙ жидкООТИ [гл, чн[ и, кроме того, отношения х/21 должны быть велики в сравнении с единицей, чтооы мы могли применять полученные нами результаты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
