Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 65
Текст из файла (страница 65)
и тем меньше, чем глубже лежит рассматриваемая частица. Для поверхностных частиц жидкости этот ралиус равен амплитуде волны; на глубине, равной длине волны. этот радиус будет в 535 раз меньше. Каждая частица описывает окружность в направлении, обратном направлению движения часовой стрелки (рис. 159). В самом деле, если обозначить через 9 угол, который составляет с отрицательной осью Ог радиус-вектор, соединяющий центр окружности (х„, е) с точкой (х, х). то, очевидно будет: пРОГРесснвные волны п из сравнения этих формул с (6,9) видно, что 8=)ех +Ы; этот угол с течением времени увеличивается, значит, каждая частица вращается около равновесного своего положения против часовой стрелки; при этом угловая скорость вращения равна, очевидно, а, поэтому скорость каждой частицы равна взел".
Рис. 159 показывает положение восьми частиц в дза последовательных момента времени, разделенных промежутком т)8, разным одной восьмой части периода. Рис. !59. Сразу видно, что за промежуток времени т/8 профиль волны, не изменяя своего вида, переместился на восьмую часть длины волны влево, т.
е, на Л!8, Таким образом, профиль волны перемещается влево со скоростью с =-Л1т. Отметим еще, что чзстицы, лежащие в гребне волны, проходят, очевидно, через верх своей траектории и, значит, двигаются влево, т е. туда же, куда распространяются волны (но, конечно, с гораздо меньшей скоростью).
Во впадинах же направление движения частиц будет противоположно направлению распространения волн. Вычислим еше давление по формуле (2.12): р — ре дт дт = — — — дг = — асг е ' соз (Их + ет) — дг; тзк как разности г — га и х — ха суть величины бесконечно малые, то, заменяя з первом члене правой части г и х на зе и х„и пользУЯсь 16.9), находим; Р— Ра 21 з„нзз 418 волновыв движвння идеальной жидкости 1гл шм Это обозначает, что те частицы, которые при равновесии лежат В ОДНОЙ ГОРИЗОНтаЛЬНОИ ПЛОСКОСТИ г4 До, ВО ВСЕ ВРЕМЯ ДнижЕНИЯ образуют поверхность, на которой давление будет оставаться постоянным и притом таким же, каково оно было при равновесии.
Частицы свободной поверхности жидкости отличаются от других только тем, что для ннх го=0. Отсюда мы заключаем, что за свободную поверхность жидкости можно принять поверхность, образованную частицами, для коих го одно и то же. Можно, таким образом, снять слой жидкости, не нарушая волнового двюкення остальной жидкости. Таким образом, каждый слой жидкости колеблется независимо один от другого, а потому мы можем, если хотим, заменить снятый слой жидкости таким же слоем другой жидкости другой плотности. Совершенно аналогично предыдущему можно рассмотреть движение с потенциалом скорости: р = — - е з1п17ех — о1); лл гы а 16.12) для него профиль волны С=асозгкх — е7) 16.1 3) но / ю ( из ( ыо ыо 8,83 9,68 ~ 10,45 11,19 5,60 ~ 6,20 ' 6,70 7,15 12,50 13,11 13,70 14,26 14,80 15,30 8,00 8,39 8,76 / 9,12 9,46 9,80 11,86 7,59 см/сок т сок 5 7.
Сведение прогрессивных воли к установившемуся движению. Теорию прогрессивных волн можно развить еще другим методом, который мы и изложим. Пусть прогрессивная волна распространяется вправо, не изменяя своего внешнего вида, со скоростью с. Сообщим всей массе жидкости скорость с, направленную параллельно отрицательной оси Ох. Тогда профиль волны сделается, очевидно, неподвижным в пространстве. Кроме того, в каждой точке пространства величина и направление представляет косннусонду, перемещающуюся в направлении положительной осн Ох с тои же самой скоростью с.
Траектории частиц будут опять окружностями тех же радиусов ае'", только пробегаться зти окружности будут по часовой стрелке. Приведем табличку, показывающую, как изменяются скоросзь распространения прогрессивных волн и нх период в зависимости от длины волны для случая очень глубокой в сравнении с втой длиной волны жидкости. СВЕДЕНИЕ ПРОГРЕССИВНЫХ ВОЛН 419 скорости не булут уже изменяться с течением времени, а это означает, что течение жидкости сделается установившимся. Иа рис. 160 показаны линии тока, являющиеся в то же время траекториями частиц жилкости. По этим траекториям жидкость течет со скоростью, приблизительно равной с.
В частности, такой линией тока является и профиль Волны. С динамической же точки зрения ничего не изменилось, т е. давление должно остаться тем же самым, пбо, как мы знаем из механики, пРЯмолинейное РавномеРное движение точек происходит при отсутствии сн.т и, следовательно, никаких новых сил вводить не надо, Значит, нз крайней линии тока С. давление р должно быть постоян- ным (оно должно равняться атмосферному давлению рз). Итак, задача сводится к следуюшей: найти установившееся движение жидкости, прн котором Рис. 160.
профиль волны С служит линней тока, на которой давление р равно постоянной величине рз. Линии тока более глубоких частей жидкости лолжны все более и более выпрямляться и в пределе становиться прямыми линиями, по которым течение жидкости совершается со скоростью с, направленной влево. Так нак движение безвихревое, то существует потенциал скорости в(х, е); обозначим еще через ф(х, е) функцию тока. Тогла у+гф будет комплексным потенциалом; как мы знаем, ю=р+Гф является аналитической функцией комплексного переменного х+гсж ш = р+ Гф = Г (х+ гг).
Если бы волны не было, т. е. свободной границей являлась бы ось Ох, то мы имели бы дело с равномерным течением жилкости вдоль отрицательной оси Ох со скоростью с. Комплексный потенциал такого однородного поступательного потока выражается известной формулой и = — с(х+1г). Рассмотрим теперь движение со следующим потенциалом: тв = у+гф = — с (х+ ге) -+ гасе ин ""1 = = — с(х+Ге)+ Ьсе" (совках — 1сйп лх), причем мы предположим )гв бесконечно малой величиной. Отделяя вегцественную и мнимую части, мы найдем: с=- — сх-(- все" и!Елх; ф=- — сг+асе *совах, 27~ 420 ВОлнОВые дВижения идеАльнОЙ жидкости !Гл чн! Давление р вычисляется из интеграла Бернулли — Эйлера: 'о+С, Р 2 2 У нас о2 о2+о2 ( т) +( т) ( — с+исйесесоз ах)2 +!Вслевав)п лх)2= ст — 2асеаее'соа их+ атсехте2"', но последним членом, содержашим квадрат бесконечно малой вели.
чины ав, можно пренебречь, поэтому, воспользовавшись еше формулой Все~' соз Фх = ф+ сг, мы получим: о2 = с2 — 2са (ф+ сг) = ст — 2сяф — 2йсег, и значит: 22 — = — ег+ йсег+йсф — — с2+-С 2 ~. ! 2 2 или — = (Фс — д) г+ ясф+- сопзй Р (7.2) Для того чтобы на линии тока ф=О давление р было постоянным, необходимо и достаточно, чтобы коэффициент при г, меняющемся на этой линии по уравнению (7.1), был равен нулю.
Поэтому се=а= ~', /г 2я ' т. е. профилем волны может служить косинусоида (7.1), если длина волны Л связана со скоростью распространения волны соотношением 2яс' Л= — ' К Налагая на полученное установившееся движение равномерный поток вправо со скоростью с, мы остановим движение жидкости на бесконечности, причем профиль волны, имеющий вид косинусоиды (7.1).
будет перемещаться вправо с постоянной скоростью с, т. е. мы получаем прогрессивные волны длины Л. ф 8. Групповая скорость. До сих пор мы рассматривали движение ряда следующих друг за другом волн, вполне тождественных Но профиль волны должен быть линней тока, а на линии тока функция ф должна быть постоянной; примем, что ф=О. Тогда уравнение профиля будет сг =Всеь'совах или, так как приближенно е»'= 1, г = исоа йх. (7.1) 421 ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ между собой. Если рассмотреть группу волн с различными длинами волн, то явление усложняется. При этом оказывается весьма полезным ввести понятие групповой скорости.
Как мы увидим впоследствии в 5 18, групповая скорость определяет скорость переноса энергии волнами и является поэтому важной динамической характеристикой волновых процессов. Мы разьясним это понятие на одном простои случае. А именно, сложим два потенциала формы [6.12) с двумя разными и: ад ал 9 = — — е~' з1п[нх — а1)+-- — ~- еа'я гйп(А'х — а'1), [8.1) где а'= )/уР. уравкение, определяюшее вид свободной поверхности, в данном случае будет: 1 ду(х, О, Т) — — — = а [сов [ах — а1)+сов [и'х — а'1)[. [8.2) Преобразуем это выражение: 1 л+л а+а 1 Га — л а — а = 2х сов[.— — .— х — 1~сов ~ х — 1~. [8,3) 2 2 Рис.
161 показывает вид профиля волны в очном частном случае, Мы видим, что различные волны будут иметь теперь различную амплитуду, Г!ри этом явственно выделяется волновой харзктер изменения этой змплитуды. Все это можно получить непосред- Г' ствекно из формулы [8.3), если предположить, что а' х очень мало отличается от а [а значит, а' мало отличается от а, так как а — непрерывная функция а по формуле [5.7)[. В самом деле, в этом случае Рис.
161. последний множитель в [8.3) б е Улет очень мало изменяться на протяжении небольшого числа волн длины ь = ны л= Л+Л, и, значит, на таком участке мы имеем ряд волн с амплитудой г л — л' а — а 2а соз [ — — х— 2 2 Однак днако в разных местах эта амплитуда будет иметь разные зна- чения и и будет изменяться от. 0 до 2а на протяжении отрезка оси Ох, равного по дли е 2: 2 = л д., Итак. расстояние по Оси Ох 422 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕЛЛЬНОН ЖИДКОСТИ [ГЛ.
[гЦГ между двумя соседними группами волн с наибольшими амплитудами равно 2я/(Й вЂ” [г'), Разбираемый случай представляет еще ряд особенностей в сравнении с прелыдушими. Прежде всего вид профиля волны все время будет непрерывно изменяться. Это видно, например, из формулы [8.2), так как она показывает, что профиль волны получается сложением двух разных косинусоид, перемещающихся с разной скоростью и, следовательно, смещающихся относительно друг друга.
Теперь мы обратим внимание на одно замечательное явление, Мы знаем, что в волновом движении переме[цается только форма поверхности. Возьмем определенную волну Е и будем следить за ее перемещением. Лмплитуда этой волны будет изменяться, как мы видели, очень мелленно, сама же волна будет перемешаться в сторону положительной оси Ок со скоростью а+б б а+А' /г ' Рассмотрим теперь целую группу волн с наибольшей амплитудой. Эта наибольшая аиплитудз получается для тех точек оси Ох, для которых )сов( — 2 — х — 2 [) ~ 1 ° т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
